緊扣本質 巧算方差

文／張偉俊

方差是刻畫一組數據離散程度的統(tǒng)計量，它是一組數據中的每一個數據與其平均數的差的平方的平均數。一組數據的方差越大，它的離散程度就越大（波動越大）；一組數據的方差越小，它的離散程度就越?。ú▌釉叫。?。但是，在應用方差公式解決問題的時候，有些同學總是覺得這個公式記憶起來、計算起來都很難，容易產生錯誤。因此，我們有必要進一步來理解方差概念的本質，探索方差計算的簡便方法，從而提高解決問題的正確率。

一、理解公式，靈活應用

上述兩種計算方差的公式在實際操作中各有各的優(yōu)勢?！跋绕椒皆僮鞑睢?，雖然操作簡潔，但參與運算的數值往往較大；“先作差再平方”，雖然操作繁瑣，但相對來說參與運算的數值會小一些。因此，在實際應用中，我們可以視情況靈活應用這兩種公式來計算方差。

例1 計算數據1，2，3，4，5的方差。

比較上述兩種方法，可以發(fā)現：一般情況下，計算方差還是運用方法1 比較簡便，而當計算各個數據與平均數的差的平方比較麻煩，且直接計算各個數據的平方比較簡單時，運用方法2比較簡便。

二、數形結合，直觀判斷

數和形是數學研究的兩個主要對象，它們各有特點，也各有各的優(yōu)勢。在解決問題的時候，我們經常運用數形結合、數形轉化的方法，或以數輔形，或以形助數，優(yōu)化解決問題的思路和方法。比較幾組數據的離散程度，就是比較這幾組數據方差的大小，這可以通過計算方差來比較，但有時候也可以從形的角度來判斷。

例2 （2020·遼寧盤錦）在市運動會射擊比賽選拔賽中，某校射擊隊甲、乙、丙、丁四名隊員的10 次射擊成績如圖所示。他們的平均成績均是9.0 環(huán)，若選一名射擊成績穩(wěn)定的隊員參加比賽，最合適的人選是 。

【解析】四名隊員的平均射擊成績相同，要從中選擇一名射擊成績穩(wěn)定的隊員參加比賽，就是要選出射擊成績方差最小的隊員參加比賽。

方法2：從本質上講，方差反映的是一組數據偏離平均數的程度。從四名隊員射擊成績的“散點圖”可以直觀地看出他們的射擊成績都在平均成績9.0 環(huán)附近波動，乙、丙的波動幅度明顯大于甲、丁的波動幅度。同時，甲、丁的前八次射擊成績都是4 個9.1 環(huán)和4 個8.9 環(huán)，而最后兩次成績甲是9.1 環(huán)和8.9 環(huán)，丁是兩個9.0 環(huán)，因此，丁的波動幅度小于甲的波動幅度，即丁的成績波動最?。ㄗ罘€(wěn)定），故選丁參加比賽。

比較以上兩種方法，可以看出：方法1是從“數”的角度，通過計算作出準確判斷，但是過程顯得繁瑣；方法2是從“形”的角度進行比較，顯得直觀、簡潔。但是，我們要明白，當數據排列復雜時，從“形”的角度往往很難作出準確判斷，所以從“形”的角度進行比較是有局限性的。因此，我們在實際應用中，還是要具體情況具體分析，數形結合，選擇適切的方法。

三、把握規(guī)律，化繁為簡

在數學學習的過程中，同學們常常會發(fā)現一些重要的結論或規(guī)律，并運用這些結論或規(guī)律解決問題。因此，從某種程度上講，數學學習也是一個發(fā)現規(guī)律、把握規(guī)律并運用規(guī)律的過程。在方差的學習過程中，你有哪些發(fā)現呢？

例3 （2019·浙江杭州）稱量五筐水果的質量，若每筐以50 千克為基準，超過基準部分的千克數記為正數，不足基準部分的千克數記為負數，甲組為實際稱量讀數，乙組為記錄數據，并把所得數據整理成如下統(tǒng)計表（單位：千克）。

實際稱量讀數和記錄數據統(tǒng)計表

通過以上探究，我們可以發(fā)現一個重要結論：如果數據x1，x2，x3，…，xn的平均數和方差分別為-x、s2，那么數據x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a的平均數和方差分別為-x+a、s2。其實道理很簡單，每個數據都增加了a，平均數當然也增加了a；每個數據都增加了a，說明這組數據的波動幅度沒有變化，所以方差保持不變。運用這個結論，我們就可以簡化一些數值較大的求平均數和方差的問題。比如：求數據1001，1002，1003，1004，1005 的平均數和方差，就可以先求數據1，2，3，4，5的平均數和方差。

除此以外，平均數和方差還有一些重要的性質（如下表）值得我們去探究，請同學們自己動手去推導一下吧。

___________________________________序號_______x1，x2，x3，…，xn x1+a，x2+a，x3+a，…，xn+a_____kx1，kx2，kx3，____________…，kxn kx1+a，kx2+a，kx3+a，…，kxn+a__平均數_-x_____-x+a k-x____k-x+a___方差s2 s2 k2s2__k2s2