帶形狀參數(shù)的三次三角域Bézier曲面*

查東東,劉華勇,王曾珍

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽 合肥 230601)

1 引言

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，三角域上非張量積型的Bézier曲面因?yàn)樵谛螤钤O(shè)計(jì)上的靈活性，得到了大量的應(yīng)用。同時(shí)學(xué)術(shù)界為克服它在控制多邊形不變時(shí)不能調(diào)整曲面外形的缺點(diǎn)，引入了形狀參數(shù)。例如，文獻(xiàn)[1]構(gòu)造了三角域上的局部形狀可調(diào)的三次Bézier曲面；文獻(xiàn)[2]從幾何角度定義了帶形狀參數(shù)的四次Bézier曲面；文獻(xiàn)[3]在不升次的前提下，擴(kuò)展了三角域上的三次Bézier曲面；文獻(xiàn)[4]分析了三角域上生成三角多項(xiàng)式曲面的方法。文獻(xiàn)[1-4]中的曲面除了繼承原有的特性，還能利用形狀參數(shù)來調(diào)節(jié)曲面的形狀，但上述曲面還存在著不能兼顧局部形狀參數(shù)和全局形狀參數(shù)的缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]討論了帶有3個(gè)形狀參數(shù)的三角曲面；文獻(xiàn)[6]介紹了三角域上二元n次Bernstein基函數(shù)的擴(kuò)展；文獻(xiàn)[7]給出了針對(duì)空間散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)的三次曲面插值方法；文獻(xiàn)[8]給出了帶多局部形狀參數(shù)的擬二次Bernstein基函數(shù)。文獻(xiàn)[5-8]中曲面的構(gòu)造，都未實(shí)現(xiàn)拼接的連續(xù)性，且文獻(xiàn)[5]的局部形狀參數(shù)和全局形狀參數(shù)效果是非獨(dú)立的，或?qū)η娴男螤羁刂屏€略有不足。文獻(xiàn)[9]將指數(shù)函數(shù)合并到多項(xiàng)式函數(shù)中；文獻(xiàn)[10]基于遞推關(guān)系構(gòu)造了帶形狀參數(shù)的基函數(shù)；文獻(xiàn)[11]擴(kuò)展了帶有多個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲線和曲面。

本文構(gòu)造了帶有形狀參數(shù)的三次三角域Bézier曲面，構(gòu)造出的曲面不但能實(shí)現(xiàn)較高的光滑拼接，還可以用3個(gè)局部形狀參數(shù)和1個(gè)全局形狀參數(shù)修改曲面形狀，其中，3個(gè)局部形狀參數(shù)取值相同時(shí)具有對(duì)稱性的形狀控制效果。形狀參數(shù)大大豐富了曲面的形狀控制效果。

2 帶形狀參數(shù)的三次三角域Bernstein基函數(shù)

2.1 基函數(shù)的定義

定義1給定面積坐標(biāo)(u,v,w),其中，u,v,w≥0,u+v+w=1,稱:

(1)

為帶形狀參數(shù)λ,α1,α2,α3的三次三角域Bernstein基函數(shù)，簡(jiǎn)稱為三次三角域λα-Bernstein基。其中,-2<λ≤1,0≤α1,α2,α3≤1。

2.2 基函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)5(角點(diǎn)性質(zhì)) 當(dāng)i+j+k=3時(shí)，有:

性質(zhì)6(角點(diǎn)導(dǎo)數(shù))

(2)

證明若

(3)

其中,Xi,j,k∈R。將式(2)代入式(3)整理得:

□

3 帶形狀參數(shù)的三次三角域Bézier曲面

3.1 三次三角域λα-Bézier曲面

定義2給定面積坐標(biāo)(u,v,w),其中u,v,w≥0,u+v+w=1,呈三角陣列的控制頂點(diǎn)Pi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=3)∈R3，稱:

(4)

為帶形狀參數(shù)α1,α2,α3,λ的三次三角域Bézier曲面，簡(jiǎn)稱為三次三角域λα-Bézier曲面。

借由轉(zhuǎn)換矩陣，也可將r*(u,v,w)寫作三次三角域Bézier曲面形式：

(5)

(6)

3.2 三次三角域λα-Bézier曲面性質(zhì)

性質(zhì)8(凸包性) 三次三角域λα-Bézier曲面完全被包含在控制點(diǎn)Pi,j,k構(gòu)成的凸包內(nèi)。

性質(zhì)9(幾何不變性和仿射不變性) 三次三角域λα-Bézier曲面的形狀僅依賴于控制頂點(diǎn)Pi,j,k∈R3(i,j,k≥0,i+j+k=3)，幾何變換不改變曲面的形狀。

其中，N是任意向量且N∈Rd(d=3)，M是一任意k×k(k=3)階矩陣。

性質(zhì)10(角點(diǎn)性質(zhì)) 當(dāng)i+j+k=3時(shí)，有：

性質(zhì)11(退化性) 當(dāng)α1=α2=α3=λ=1時(shí)，三次三角域λα-Bézier曲面退化為三次三角域Bézier曲面。

性質(zhì)12(形狀可調(diào)性) 當(dāng)Pi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=3)固定時(shí)，可以改變形狀參數(shù)α1,α2,α3,λ的值來控制曲面的形狀。

圖1為給定同一控制點(diǎn)Pi,j,k下，形狀參數(shù)α1,α2,α3,λ分別取不同值時(shí)得到的三次三角域λα-Bézier曲面?？梢钥闯龈鲄?shù)的效果：

(1)λ趨于1 時(shí)，曲面整體就越靠近控制網(wǎng)格，如圖1a～圖1c所示。

Figure 1 Influence of different values of λ，α1，α2 and α3 on the surface圖1 λ、α1、α2、α3分別取不同值時(shí)對(duì)曲面的影響

(2)α1、α2、α3控制效果是類似的，這也與基函數(shù)的性質(zhì)3相對(duì)應(yīng)。它們各自控制著相應(yīng)角點(diǎn)處的局部曲面形狀，是對(duì)稱的。其中α1控制著角點(diǎn)P300的局部曲面形狀，α1越趨于0，P300的局部曲面越靠近線段P210P201。α1越趨于1，P300處的局部曲面越靠近P300，如圖1d～圖1f所示。同理可得：α2控制著角點(diǎn)P030的局部曲面形狀，α2越趨于0，P030的局部曲面越靠近線段P120P021。α2越趨于1，P030處的局部曲面越靠近P030，如圖1g～圖1i所示。同理可得：α3越趨于0，P003的局部曲面越靠近線段P012P102。α3越趨于1，P003處的局部曲面越靠近P003，如圖1j～圖1l所示。

3.3 n次三角域λα-Bézier曲面

借助De Casteljau算法可以遞推n(n≥4)次三角域λα-Bernstein基函數(shù)[1]：

(7)

定義3給定面積坐標(biāo)(u,v,w),其中u,v,w≥0,u+v+w=1,呈三角陣列的控制頂點(diǎn)Pi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=n)∈R3，稱:

(8)

為帶形狀參數(shù)α1,α2,α3,λ的n次三角域Bézier曲面，簡(jiǎn)稱為n次三角域λα-Bézier曲面。

3.4 三角域λα-Bézier曲面與類似方法的比較

本文將λα-Bézier曲面與文獻(xiàn)[11]中擴(kuò)展的Bézier曲面進(jìn)行了如下比較:

(1)以控制網(wǎng)格為目標(biāo)函數(shù)，引入2-范數(shù)來衡量曲面到控制網(wǎng)格的距離，2-范數(shù)越小，距離越短，逼近程度越高。

當(dāng)λα-Bézier曲面比文獻(xiàn)[11]中擴(kuò)展Bézier曲面更貼近控制網(wǎng)格時(shí)，有：

(2)比較文獻(xiàn)[11]算法和本文算法的時(shí)間復(fù)雜度，借助Matlab秒表計(jì)時(shí)函數(shù)計(jì)算出各種算法的運(yùn)行時(shí)間，以運(yùn)行時(shí)間近似替代。為減少誤差算法運(yùn)行時(shí)間按如下方式統(tǒng)計(jì):每種算法一組實(shí)驗(yàn)執(zhí)行100次循環(huán)，取100次運(yùn)行時(shí)間的平均值，進(jìn)行10組實(shí)驗(yàn)，再取10組平均運(yùn)行時(shí)間的最優(yōu)值，比較2種算法的運(yùn)行時(shí)間最優(yōu)值。多次實(shí)驗(yàn)后可以看出，改進(jìn)算法略有領(lǐng)先，但基本上兩者相差不大。

Figure 2 Comparison of curved surfaces from different angles圖2 不同角點(diǎn)視角曲面對(duì)比圖

(3)λα-Bézier曲面和文獻(xiàn)[11]中擴(kuò)展Bézier曲面都能全局和局部地修改形狀，但λα-Bézier曲面具有全局形參和局部形參，文獻(xiàn)[11]中曲面形狀的全局修改還是依靠共同修改多局部形參,且參數(shù)過多。

算法對(duì)比如表1所示。

Table 1 Comparison of different algorithms表1 不同算法的對(duì)比

4 曲面拼接

4.1 三次三角域Bézier曲面的C1連續(xù)拼接

給定2張三次三角域Bézier曲面

由三角域Bézier曲面的拼接條件[12]知，若滿足：

則2張三次三角域Bézier曲面r1(u,v,w)和r2(u,v,w)在公共邊界(w=0)實(shí)現(xiàn)C1連續(xù)。

4.2 三次三角域λα-Bézier曲面的C1連續(xù)拼接

定理1給定2張三次三角域λα-Bézier曲面

若滿足：

(1)α1=α2=λ=1；

□

Figure 3 Jointing of cubic triangular λα-Bézier surfaces圖3 三次三角域λα-Bézier曲面的C1拼接

Figure 4 Examples of λα-Bézier surface jointing around corner points圖4 λα-Bézier曲面繞角點(diǎn)的C1拼接實(shí)例

4.3 三次三角域Bézier曲面的G1連續(xù)拼接

給定2張三次三角域Bézier曲面:

(9)

其中，Qi,j,k為曲面r2(u,v,w)上的點(diǎn)坐標(biāo)。

由三角域Bézier曲面的拼接條件[11]知：

當(dāng)i,j≥0,i+j+k=3時(shí)滿足:

P0,j,k=Q0,j,k

(10)

有r1(0,v,w)=r2(0,v,w)，即2張三次三角域Bézier曲面r1(u,v,w)和r2(u,v,w)在公共邊界(u=0)實(shí)現(xiàn)G0連續(xù)；

實(shí)現(xiàn)G1連續(xù)需在式(10)基礎(chǔ)上還滿足:

(11)

其中，ε和η為自由因子。

式(10)可轉(zhuǎn)化為:

(12)

則同時(shí)滿足式(10)和式(12)時(shí)，r1(u,v,w)和r2(u,v,w)在公共邊界(u=0)實(shí)現(xiàn)G1連續(xù)。

4.4 三次三角域λα-Bézier曲面的G1連續(xù)拼接

給定2張三次三角域λα-Bézier曲面:

(13)

Figure 5 Jointing of cubic triangular λα-Bézier surfaces圖5 三次三角域λα-Bézier曲面的G1拼接

又可以將式(13)改寫為:

(14)

當(dāng)i,j≥0,i+j+k=3時(shí)滿足:

(15)

(16)

將式(6)和式(16)代入式(14)可得:

(17)

實(shí)現(xiàn)G1連續(xù)需在式(17)基礎(chǔ)上還滿足:

(18)

將式(6)、式(17)代入式(18)可得:

(19)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文構(gòu)造了帶有形狀參數(shù)的三次三角域Bézier曲面，在繼承三次三角域Bézier曲面原有性質(zhì)外，曲面滿足C1、G1連續(xù)的融合條件也比較簡(jiǎn)單，文中給出了一些參數(shù)不同取值下的曲面形狀可調(diào)的實(shí)例。此外，本文在保持基函數(shù)次序不變的情況下，給出了可調(diào)的局部形狀參數(shù)和全局形狀參數(shù)，可以根據(jù)需求更方便地調(diào)節(jié)曲面的形狀。