無速度多追蹤的量化間歇控制

唐 茜，涂細凱，鄭笑雨，張冰冰

（1.湖北工業(yè)大學(xué)工業(yè)設(shè)計學(xué)院，湖北 武漢 430068；2.湖北工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，湖北 武漢 430068）

1 引言

過去二十幾年來，多智能體的分布式協(xié)同控制一直是各學(xué)科非常感興趣的話題，廣泛的應(yīng)用于分布式一致性、編隊控制、包容控制和同步等。其中，一致性問題是分布式協(xié)同的關(guān)鍵問題[1-3]。一般來說，一致性問題的目標是設(shè)計合適控制算法，通過鄰居智能體之間的局部信息交換，使得所有智能體的狀態(tài)最終收斂到一致。

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)導(dǎo)者的數(shù)量，一致性可以分為：無領(lǐng)導(dǎo)一致性、一致性追蹤（Leader-Following）和多追蹤（Multi-Tracking）等。近些年來，多追蹤問題受到越來越多的注意。多追蹤問題中，一個多智能體網(wǎng)絡(luò)由多個群集組成，每個群集的所有跟隨者的狀態(tài)最終收斂于領(lǐng)導(dǎo)者的軌跡，同時，不同的群集之間收斂的軌跡不同[4-5]。注意到，代數(shù)圖理論一直是研究多智能體一致性問題[6-8]的有效方法。

值得注意的是相比于位置信息，智能體的速度信息更難測量。因此，研究速度不可測的二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題是非常有必要的。前文提到大部分工作的前提是智能體之間信息的傳輸是連續(xù)的，然而，由于傳輸帶寬的限制，這種傳輸形式不太可靠。因此，對于研究二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題來說，與連續(xù)數(shù)據(jù)相比，采樣數(shù)據(jù)是更實際的來源。

在實際應(yīng)用中，由于傳輸信息的帶寬有限制，采樣數(shù)據(jù)需要提前量化。因此，使用量化數(shù)據(jù)研究多智能體的一致性問題更有現(xiàn)實意義。進一步，量化誤差對網(wǎng)絡(luò)一致性性能的影響也不能忽視。但是，針對具有量化數(shù)據(jù)的二階多智能體系統(tǒng)的一致性結(jié)論并不多。另一方面，在各種量化方法中，隨機量化器的量化間隔是平均的，并且其量化誤差的特性可以用于研究一致性問題。因此，針對二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題，采用了隨機量化的方案進行研究。通信時滯的影響也應(yīng)該要考慮，因其是降低網(wǎng)絡(luò)性能的另一個因素。

針對考慮通信時滯的二階多智能體系統(tǒng)，提出了一種量化的間歇控制規(guī)則用于解決系統(tǒng)的多追蹤問題。不同于上述文獻，僅僅使用了系統(tǒng)的采樣位移信息，且控制輸入是可變的。同時，引入了隨機量化的方案，在傳輸之前量化位移信息。基于代數(shù)圖論、隨機量化和穩(wěn)定性理論，分析得到了被控系統(tǒng)實現(xiàn)多追蹤的一些充分必要條件。

符號定義：定義m階單位矩陣為I∈?m×m，m階零矩陣為0 ∈?m×m，并將I5∈?5N×5N簡化為I5。定義1ml∈?ml×1為所有元素是1的ml階列向量，Re(·)和Im(·)分別是復(fù)數(shù)的實部和虛部。AT和det(A)分別代表矩陣A的轉(zhuǎn)置和行列式。?為Kronecker運算，P{·}和E{·}分別代表量化和期望運算。

2 預(yù)備知識和多追蹤問題

2.1 預(yù)備知識

加權(quán)有向圖G={V，ε，A} 中節(jié)點集為V={1，2，…m}，邊集為ε?V×V，非對稱加權(quán)鄰接矩陣為A=[aij]∈?m×m。假如從節(jié)點j到節(jié)點i存在一個有向連接，則定義e(j，i)∈ε。當且僅當e(j，i)∈ε時aij＞0，假設(shè)沒有自回路，也就是說對所有i∈V，令aii=0。定義節(jié)點i∈V的鄰居節(jié)點集為Ni={j∈V，|(j，i)∈E}，節(jié)點i∈V的入度為。有向圖G的對角矩陣為D=，拉普拉斯矩陣定義為L=D-A。

定義1：（子網(wǎng)絡(luò)）定義網(wǎng)絡(luò)Gs={Vs，εs，As} 為 網(wǎng) 絡(luò)G={V，ε，A} 的子網(wǎng)絡(luò)，滿足Vs?V、Es?E和As?A。

2.2 問題描述

考慮具有m個節(jié)點的多智能體網(wǎng)絡(luò)G={V，ε，A}，其由n≥2個子網(wǎng)絡(luò)Gs={Vs，εs，As} (s=1，2，…，n)組成，每個子網(wǎng)絡(luò)包含ms個節(jié)點，并且滿足。同時，對任意s≠s′，Vs≠?，滿足。第sth個子網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點標記為Vs=，且令m0=0。

基于文獻[9]中對隨機量化的定義：假設(shè)數(shù)據(jù)h∈[-R，R]量化后長度為l比特，那么，我們可以得到量化點r=2l個和量化區(qū)間δ=2R/2l，以下為量化數(shù)據(jù)的方式：

那么，對于此量化器我們可以得到一個很重要的特性：

假設(shè)每個智能體具有如下二階動態(tài)特性：

其中，xi(t)∈?，νi(t)∈? 分別是智能體i(i=1，2，…，m)的位移和速度量。μi(t)為狀態(tài)反饋量。

第sth個子網(wǎng)絡(luò)期望的追蹤軌跡為：

其中，fs≥0 ∈[0，+∞)在時間t內(nèi)是分段連續(xù)的函數(shù)，(t)∈?，∈?表示第sth個子網(wǎng)絡(luò)期望的位移和速度量。僅研究了二階多智能體的勻速多追蹤問題，即fs=0。

二階多智能體系統(tǒng)（1）在期望軌跡為（2）下的多追蹤問題可以重新寫為：

定義2：對任意初始狀態(tài)，二階多智能體系統(tǒng)（1）能夠?qū)崿F(xiàn)多追蹤當且僅當

其中，Lx和Lν是關(guān)于δ的兩個單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足：

3 通信時滯下的量化間歇控制

在實際應(yīng)用中，信息傳輸?shù)倪^程中不可避免的存在時滯，這種情況對一致性控制協(xié)議的性能有很大的影響。假設(shè)多智能體系統(tǒng)通信時滯為τ，智能體之間只在采樣時刻進行通信，采樣時間序列為0 ≤t0＜t1＜…＜tk＜…，那么定義采樣區(qū)間為ξ=tk-tk-1。針對多追蹤問題提出了如下間歇控制方案：

其中，控制參數(shù)α＞0，β＞0，γ＞0，tk＜t≤tk+1。?xi(tk)=q(xi)-xi為第ith個智能體的位移量化誤差為第sth個子網(wǎng)絡(luò)的期望位移量化誤差。η(t)為脈沖函數(shù)，表示如下：

其中，ε∈(0，ξ]為控制持續(xù)時間，函數(shù)(t)的選取可以依據(jù)不同的狀態(tài)，可以為矩形函數(shù)、三角函數(shù)、梯形函數(shù)和非線性函數(shù)。從量化方程我們可以得到位移量化誤差的如下性能：

其中，δxj和δxds分別為智能體的位移和期望位移的量化誤差區(qū)間。

令

令H(tk)=[p(tk)T，y(tk)T，?(k)]T，多智能體系統(tǒng)（1）可以改寫為：

全文只考慮通信時滯滿足τ＜ξ-ε的情況，

令：

引理1：[10]基于控制協(xié)議（4），二階多智能體系統(tǒng)（1）可以實現(xiàn)多追蹤當且僅當ρ(A)＜1，其中ρ(·)為矩陣A的譜半徑。

證明：令

從式（8）可得，

明顯可知，

必要性：如果ρ(?)≥1，那么ρ(? ??)≥1，基于控制協(xié)議（4）的多智能體系統(tǒng)（1）一定是分散的，無法實現(xiàn)多追蹤。

充分性：如果ρ(?)＜1，那么ρ(? ??)＜1，一定存在一個足夠小的常數(shù)?＜1滿足‖? ??‖2=?＜1。那么

其中，f(δs)=。

由于?＜1，可得：

并且，

結(jié)合不等式（10），

因此，存在正的常數(shù)a＞0和b＞0，使得

也就是說

很明顯，不等式右邊為函數(shù)δs的單調(diào)遞增函數(shù)。由定義2可知，系統(tǒng)（1）可以實現(xiàn)多追蹤。

其中，

證明：矩陣A的特征多項式為：

矩陣A的特征值滿足：

不難發(fā)現(xiàn)，對每個給定的θi，都可得五個矩陣A的特征值，其中0為一個特殊的特征值。為了簡化計算，令

不難發(fā)現(xiàn)當且僅當R(z)＜0時ρ(A)＜1，也就是說二階多智能體系統(tǒng)可以漸進到達多追蹤當且僅當多項式（13）時Hurwitz穩(wěn)定的。

4 案例分析

我們采用具有五個智能體的多智能體網(wǎng)絡(luò)，測試所提出的通信時滯下的量化間歇控制協(xié)議。網(wǎng)絡(luò)的拓撲圖，如圖1所示。將此網(wǎng)絡(luò)G劃分為兩個子網(wǎng)絡(luò)，兩個子網(wǎng)絡(luò)分別為：V1={1，2，3}和V2={4，5}。

圖1 具有5個節(jié)點的多智能體系統(tǒng)的拓撲圖Fig.1 The Topology Diagram of a Multi-Agent System with 5 Nodes

牽制矩陣為B=[0，1，0，0，0；0，0，0，0，1]，也即牽制節(jié)點分別為節(jié)點2和節(jié)點5。Laplacian矩陣L為：

令脈沖函數(shù)為η(t)=1，通信時滯為τ=0.05，控制持續(xù)時間為ε=0.001，期望軌跡為。選擇控制參數(shù)α=5，β=0.4和γ=2。從定理1可得，系統(tǒng)可以現(xiàn)實多追蹤當且僅當0.1 ＜ξ＜3.5?；诳刂茀f(xié)議（4），考慮通信時滯為τ，ξ=3.4時二階多智能體系統(tǒng)（1）可以實現(xiàn)多追蹤，如圖2所示。ξ=3.5時二階多智能體系統(tǒng)（1）可以實現(xiàn)多追蹤，如圖3所示。

圖2 ξ=3.4時通信時滯下的多智能體系統(tǒng)的多追蹤軌跡。Fig.2 The Multi-Tracking Trajectory of Multi-Agent System Under Communication Time Lag ξ=3.4

圖3 ξ=3.5時通信時滯下的多智能體系統(tǒng)的多追蹤軌跡。Fig.3 The Multi-Tracking Trajectory of Multi-Agent System Under Communication Time Lag ξ=3.5.

5 結(jié)論

針對通信時滯存在下的二階多智能體的多追蹤問題，提出了一個間歇控制協(xié)議，此控制協(xié)議中每個智能體的控制僅基于采樣位移信息。為了克服通信帶寬的限制，在信息傳輸前，采取隨機量化的方案量化智能體的信息?；诖鷶?shù)圖論、隨機量化和穩(wěn)定性理論，分析得到了實現(xiàn)系統(tǒng)多追蹤的一些充分必要條件。仿真研究表明，所提出的控制協(xié)議可以保證每組中的智能體狀態(tài)趨同于領(lǐng)導(dǎo)者的軌跡，另一方面不同組之間互不影響。最后，數(shù)值案例研究證實了所提出的間歇控制協(xié)議的有效性。將來，我們將考慮不同通信時滯的范圍，完善系統(tǒng)的多追蹤問題，提出的控制方案也可以應(yīng)用于更多的案例。