IGM-FM串聯(lián)模型在高鐵路基沉降預測中的應(yīng)用

張獻州，夏晨翕，陳 霄，蔣英豪，陳建營

(1. 西南交通大學 地球科學與環(huán)境工程學院，四川 成都 611756;2. 高速鐵路運營安全空間信息技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實驗室，四川 成都 611756)

0 引 言

我國首條高速鐵路——京津城際，開通運營距今已十年，在工程建設(shè)、裝備制造、運營管理等方面建設(shè)者們積累了不少經(jīng)驗。為了保障高速鐵路高平順、高穩(wěn)定運行，對于路基、橋涵、隧道等線下工程的工后沉降近乎苛刻，在設(shè)計建設(shè)中甚至有“工后零沉降”的理念。高速鐵路路基變形嚴重制約列車行車速度，對沉降變形標準歷經(jīng)了認識-實踐-再認識的過程。高速鐵路路基沉降初期沉降速率快，沉降量大，后期趨于穩(wěn)定，總體呈現(xiàn)“變形量級小、數(shù)據(jù)相對波動大”的特點，根據(jù)Q/CR 9230—2016《鐵路工程沉降變形觀測與評估技術(shù)規(guī)程》(下簡稱《規(guī)程》)將適用于路基段的評估指標總結(jié)于表1。此外，沉降過程管理中的監(jiān)測時間、監(jiān)測頻次，設(shè)計總沉降量和最終沉降量等也是重要評估指標。

表1 無砟軌道路基沉降評估過程指標

路基沉降預測方法主要有3類：理論公式法、數(shù)值計算法和以實測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的曲線回歸法。《規(guī)程》中推薦了包括雙曲線法[2]、三點法、指數(shù)曲線法、Asaoka法等國內(nèi)外比較成熟曲線回歸法，及灰色系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在內(nèi)的系統(tǒng)理論法[3]。

因基準點和工作基點修正、施工破壞、測點轉(zhuǎn)移、接管等情況造成的沉降監(jiān)測點前后兩期數(shù)據(jù)差異變化的情況稱為斷高。這種異常處理不當會影響高速鐵路路基工程沉降評估的判斷和分析，當前修正斷高普遍采用“歸零法”，即假設(shè)在斷高時無沉降量產(chǎn)生，將當期觀測成果歸零處理。葉茂[4]提出卡爾曼濾波迭代法，分別使用高程數(shù)據(jù)和高差數(shù)據(jù)來修復斷高，以此提高了預測精度。高速鐵路路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)屬于時序數(shù)據(jù)，上述各情況產(chǎn)生的斷高可視為確定監(jiān)測時間序列下連續(xù)數(shù)據(jù)缺失。為避免沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的浪費和重要監(jiān)測信息的缺失，綜合考慮沉降速率、施工工況和時間間隔等因素的影響，利用斷高數(shù)據(jù)相鄰期實測沉降量建立插值函數(shù)來補全斷高當期數(shù)據(jù)。

1 改進GM(1,1)模型

灰色系統(tǒng)能夠有效解決呈“小樣本、貧信息”的不確定數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)GM(1,1)模型建模步驟如下：

1)將樣本序列x0=(x0(1),x0(2),…,x0(n))一次累加生成，以弱化其隨機性得到1—AGO序列如式(1)：

x1=(x1(1),x1(2),…,x1(n))

(1)

2)由式(1)得白化微分方程如式(2)：

(2)

式中：α為發(fā)展系數(shù)，μ為灰作用量。

3)GM(1,1)模型的灰微分方程如式(3)：

x0(k)+α·z1(k)=μ

(3)

式中：背景值z(1)(k)為x(1)的均值序列如式(4)：

(4)

4)將白化微分方程積分，利用最小二乘法求解參數(shù)α和μ，得到響應(yīng)序列如式(5)：

(5)

5)利用一次累減得到還原序列如式(6)：

(6)

構(gòu)建的GM(1,1)模型是否適用于中長期預測，視發(fā)展系數(shù)α的大小而定。當-α≤0.3時，GM(1,1)模型適用于中長期預測，當0.3≤-α≤0.5時，GM(1,1)模型適用于短期預測。

以上為傳統(tǒng)GM(1,1)模型建模過程，其存在的不足為3個方面：

1)傳統(tǒng)GM(1,1)模型適用于等時距觀測序列，現(xiàn)場釆集的觀測序列一般很難達到等時距要求；

2)傳統(tǒng)GM(1,1)模型以x1(1)作為迭代初值有兩個缺陷缺：①由最小二乘計算之后，擬合曲線并不都通過點(1,x1(1))；②x1(1)是樣本序列中第一個值，并不通過累加生成產(chǎn)生，規(guī)律性不強且與未來預測數(shù)據(jù)時間關(guān)聯(lián)度最不密切；

3)傳統(tǒng)GM(1,1)模型以緊鄰的2個1-AGO數(shù)據(jù)均值作為背景值的構(gòu)造雖然簡單，但對劇烈變化的序列適應(yīng)性差[5]。

針對上述缺點，筆者分別進行優(yōu)化。

1.1 非等時距GM(1,1)模型構(gòu)建

構(gòu)建非等時距GM(1,1)模型的思想是以觀測序列的時間間隔作為乘子。記觀測序列時間間隔為Δki=ki-ki-1≠const(i=2,3,…,n)，則：

(7)

最小二乘法進行求解待估參數(shù)如式(8)：

[α,μ]T=(BTB)-1BTY

(8)

式中：

在初始條件x1(k1)=x0(k1)下，解得時間響應(yīng)序列，一次累減后還原值如式(9)：

(9)

1.2 基于背景值的優(yōu)化

對區(qū)間[k-1,k]上的白化微分方程積分，如式(10)：

(10)

式(10)與式(3)比較，誤差來源主要是應(yīng)為背景值z1(k)的構(gòu)造不同造成。傳統(tǒng)GM(1,1)構(gòu)造的背景值z1(k)實則為圖1中梯形abcd的面積，GM(1,1)模型擬合曲線所圍成曲邊梯形面積與梯形abcd面積值差值為ΔS。當樣本序列變化平緩時，背景值z1(k)接近于實際面積，誤差可忽略，認為構(gòu)造的背景值合適。

1)令：

(11)

構(gòu)造齊次指數(shù)函數(shù)如式(12)：

x1(t)=ReAt

(12)

帶入式(11)得式(13)：

(13)

(14)

將式(14)帶入式(13)得式(15)：

(15)

式(15)即為基于齊次指數(shù)函數(shù)的背景值優(yōu)化模型。

1.3 基于迭代初值的優(yōu)化

在傳統(tǒng)模型中調(diào)整或修改迭代初值優(yōu)化。通過最小二乘原理優(yōu)化初值和添加初值修正因子[9-10]。筆者充分利用已占用的“最少信息”，對原初始值x0(1)增加一個修正參數(shù)λ作為迭代初值，將其帶入GM(1,1)的響應(yīng)函數(shù)后經(jīng)過還原，則非等時距GM(1,1)預測新模型如式(16)[11]：

(16)

(17)

求微分后得式(18)：

(18)

式(18)計算可得式(19)：

(19)

1.4 新陳代謝GM(1,1)模型

高速鐵路路基沉降變形數(shù)據(jù)中，距預測期次越遠的數(shù)據(jù)預測效果越差.建立新陳代謝GM(1,1)模型目的為：剔除不能體現(xiàn)系統(tǒng)當前特性的最老信息x0(1)，置入最新信息x0(n+1)，用新組成的一組數(shù)據(jù)序列進行預測[12]。

筆者將經(jīng)過上述基于齊次指數(shù)函數(shù)的背景值優(yōu)化和初值修正的非等時距GM(1,1)模型稱為IGM(1,1)模型(improved grey model)。IGM(1,1)模型屬于修正后的指數(shù)函數(shù)模型，可以較好地擬合高速鐵路路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的變化趨勢。

1.5 精度檢驗

IGM(1,1)模型預測完成后需作精度檢驗，相對誤差和后驗差檢驗指標為[13]：

根據(jù)驗差比值和小誤差概率的值，與表2對比檢驗IGM(1,1)精度。

表2 模型精度等級

2 傅里葉變換修正IGM(1,1)模型

對IGM(1,1)模型的預測殘差作傅里葉變換(FFT)，可以有效剔除數(shù)據(jù)頻譜的噪聲(高頻段)和保留本質(zhì)信息(低頻段)，提高預測精度。

(20)

C=(FTF)-1FTe1

(21)

式中：

F=

3 馬爾科夫二次殘差模型

IGM(1,1)雖然克服了傳統(tǒng)GM(1,1)建模的缺陷，能夠利用少量樣本數(shù)據(jù)進行高精度的預測，但該模型應(yīng)用仍有存在對于隨機波動性強的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)，擬合—預測的中長期預測會有較大偏差的局限性。Markov模型能通過樣本序列的波動范圍預測出研究變量的預測范圍[15]。應(yīng)用Markov對一次殘差進行修正，使其既能反映狀態(tài)的隨機過程，又能有效預測出路基未來一次的沉降范圍。

設(shè)隨機系統(tǒng)W在時刻t的狀態(tài)為in，系統(tǒng)在t+1時刻的狀態(tài)只與t時刻狀態(tài)有關(guān)，即：

p{Wn+1=in+1|W0=i0,W1=i1,…,Wn=in}=p{Wn+1=in+1|Wn=in}

(22)

(23)

描述系統(tǒng)m步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣(transition probability matrix)為式(24)：

(24)

PT(s)=PT(0)Ps(?)

(25)

因此，已知系統(tǒng)初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣，即可對下一期的系統(tǒng)分布進行預測：

M(k+1)=φ1υ1+φ2υ2+…+φnυn

(26)

4 IGM(1,1)-FM組合預測模型

高速鐵路路基沉降預測評估中，諸多單項模型應(yīng)用條件苛刻，建模過程中只能考慮單一沉降因素，直接應(yīng)用不能準確反映路基全生命周期內(nèi)的沉降變形規(guī)律。如雙曲線法僅適用于恒載以后的數(shù)據(jù)，預測結(jié)果偏保守；三點法的起始點選取滿足等時距，且要求原始數(shù)據(jù)隨時間變化收斂等條件[17]。高速鐵路路基工程結(jié)構(gòu)特性不同、地質(zhì)情況復雜、總體變形量級小，通過單一模型的組合，分散單個預測模型特有的不確定性，取長補短，提高預測整體精度和穩(wěn)健性，使之有效反映變化規(guī)律。

4.1 殘差修正型串聯(lián)式組合模型

模型組合方法從結(jié)構(gòu)上可分為串聯(lián)、并聯(lián)、嵌入和混合式[18]。串聯(lián)式組合預測模型認為，沉降變形數(shù)據(jù)符合變形趨勢項、變形周期項和變形隨機項疊加的規(guī)律[19]，即

xt=Qt+Zt+St

(27)

式中：Qt為變形趨勢項，代表數(shù)據(jù)的發(fā)展趨向，有一定的延續(xù)性和連貫性；Zt為變形周期項，代表數(shù)據(jù)的規(guī)律性波動；St為變形隨機項，是因隨機噪聲引起的數(shù)據(jù)變動。

高速鐵路路基沉降量級小，若數(shù)據(jù)分解不合理會終導致殘差量級過小甚至小于測量誤差，反映不出路基沉降規(guī)律。筆者研究高速鐵路路基沉降變形數(shù)據(jù)的合理化分解，選取適當模型對數(shù)據(jù)進行預測，提取趨勢項保留隨機項，則周期變化存在于其殘差序列中。建立一種殘差修正型串聯(lián)式組合模型在理論上具有可行性，模型流程如圖2。

模型建立具體步驟如下：

筆者將上述構(gòu)造的組合預測模型定義為IGM(1,1)-FM殘差模型。

4.2 模型效果評價

為了反映筆者建立的組合預測模型效果，筆者擬采用平均絕對百分比誤差(mean absolute percentage error，MAPE)和《規(guī)程》中相關(guān)系數(shù)η來評價指標進行檢驗：

(28)

(29)

5 工程實例

某高速鐵路路基DK0511+610斷面沉降板0551610L采用天寶DiNi03電子水準儀按二等水準測量方法進行水準測量，實測數(shù)據(jù)共126 d，對應(yīng)的荷載-時間-沉降(P-T-S)曲線如圖3，其中負值表示下沉。

5.1 沉降數(shù)據(jù)補插

圖3中，第8、14、21、70、82、84 d經(jīng)過“接管”處理，傳統(tǒng)的方法是將當天沉降量“歸零”。擬合起點為第84 d(填筑完成日期)，故當期沉降量至關(guān)重要，不能直接“歸零”，筆者采用線性插值法實現(xiàn)數(shù)據(jù)補插。第8、14、21、70、82、84 d線性補插之后單次沉降量為0.63、0.60、0.57、0.35、0.30、0.269 mm，重新計算得累計沉降量如表3。

表3 某高鐵路基0551610L1累計沉降量

5.2 IGM(1,1)-FM組合預測

進行兩步預測，具體思路為：首先，選取前39天路基沉降觀測數(shù)據(jù)x0={x0(1),x0(2),…,x0(39)}作擬合建模，使用IGM(1,1)-FM模型預測第40 d沉降量；接著將預測的第40 d沉降量置入模型中，剔除第1d數(shù)據(jù)，得到新的序列x0={x0(2),x0(3),…,x0(40)}，對第41 d沉降量進行預測。依次剔除更新，最終完成第41 d預測。以下為預測第40 d沉降量過程：

IGM(1,1)模型驗后差比值θ=0.346 9，小概率誤差Ω=1.00，模型精度等級為一級；發(fā)展系數(shù)-α<0.3，適合于中長期預測。

上述區(qū)間已包含整個殘差范圍，根據(jù)Markov原理首先對一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移個數(shù)進行統(tǒng)計，如表4。

表4 一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移個數(shù)統(tǒng)計

表5 狀態(tài)轉(zhuǎn)移表

5.3 預測效果評價

將第40 d的IGM(1,1)模型和IGM(1,1)-FM擬合值和預測值如表6按照3.2求得δMAPE和相關(guān)系數(shù)η，進行效果評價。

表6 模型擬合40 d預測值

將預測的最后兩期模型精度列于表7。

表7 模型精度對比

δMAPE值能反映預測值的精度，δMAPE<10為精度極佳。由此可分析，IGM(1,1)-FM模型優(yōu)化精度得到進一步提高。相關(guān)系數(shù)R能反映預測趨勢的一致性，根據(jù)《規(guī)范》“曲線回歸相關(guān)系數(shù)不應(yīng)低于0.92”[1]的要求，IGM(1,1)-FM模型的R值更高，說明預測和實測相關(guān)性滿足規(guī)范要求，且一致性更高。

6 結(jié) 論

1)針對“斷高”數(shù)據(jù)筆者考慮利用斷高數(shù)據(jù)相鄰期實測沉降量建立插值函數(shù)來補全斷高當期數(shù)據(jù)，避免了沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的浪費和重要監(jiān)測信息的缺失。

2)GM(1,1)模型建模過程中尚存諸多缺陷，筆者構(gòu)建了基于齊次指數(shù)函數(shù)的背景值優(yōu)化和初值修正的非等時距IGM(1,1)模型(improved grey model)，運用“剔就添新”的新陳代謝思想預測高速鐵路路基沉降第40、41 d數(shù)據(jù)。

3)對于隨機波動性強的高速鐵路路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)，IGM(1,1)模型呈單一指數(shù)型變化，擬合—預測的中長期預測效果會有較大偏差。筆者基于高速鐵路路基沉降變形數(shù)據(jù)的合理化分解，利用傅里葉級數(shù)和Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對一次殘差進行二次組合預測，更好地擬合高速鐵路路基沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的變化趨勢。