有軌電車(chē)防撞的共軛梯度檢測(cè)方法

王 華，劉亞輝，閆曉茹

(四川交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 ,四川 成都 611130)

0 引 言

智能交通系統(tǒng)(ITS)在今天已為中國(guó)交通運(yùn)輸行業(yè)所熟悉，既被作為交通運(yùn)輸領(lǐng)域前沿科技的代表之一，又被作為交通現(xiàn)代化的標(biāo)志[1]。如何有效地將數(shù)據(jù)通信技術(shù)、計(jì)算機(jī)信息處理技術(shù)應(yīng)用于交通運(yùn)輸管理體系是當(dāng)務(wù)之急。有軌電車(chē)防撞系統(tǒng)作為ITS的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)[2]，是整個(gè)交通運(yùn)輸管理系統(tǒng)的重要組成部分。

然而，當(dāng)前有軌電車(chē)的交通運(yùn)行安全主要由車(chē)輛運(yùn)行司機(jī)及交通信號(hào)系統(tǒng)保障。它沒(méi)有獨(dú)立路權(quán)，與社會(huì)車(chē)輛存在交叉路段，并且行駛過(guò)程中受光線、建筑物、路面積水、樹(shù)木、路標(biāo)、坡道、彎道等的影響。因此，如何避免有軌電車(chē)與社會(huì)車(chē)輛、行人碰撞而發(fā)生的交通事故，確保有軌電車(chē)的行車(chē)安全，探測(cè)電車(chē)前方障礙物并根據(jù)障礙物的危險(xiǎn)程度提示司機(jī)采取有效駕駛措施是非常必要的。目前，有軌電車(chē)采用的障礙物探測(cè)系統(tǒng)有多種[3]，如激光雷達(dá)系統(tǒng)、毫米波雷達(dá)系統(tǒng)等，它們均需要對(duì)雷達(dá)的回波信號(hào)進(jìn)行濾波處理。

針對(duì)采用均勻線性陣列(ULA, uniform linear array)[4]的有軌電車(chē)?yán)走_(dá)防撞系統(tǒng)，進(jìn)行空時(shí)自適應(yīng)處理(STAP, space-time adaptive processing)[5]。在STAP中需要求解大型維納霍夫方程，直接方法解決這個(gè)問(wèn)題要求矩陣求逆，運(yùn)算量為R(J3N3)，其中J為通道數(shù)，N為脈沖數(shù)。通常情況下，空時(shí)協(xié)方差矩陣的維數(shù)較大，直接求逆法運(yùn)算量很大，因此，迭代算法越來(lái)越受到重視。在STAP中，采用迭代法不僅可以經(jīng)過(guò)很少迭代求得精確權(quán)向量，還可以得到系列Krylov子空間STAP方法。在眾多的迭代方法中，共軛梯度法(CG, conjugate gradient)[9]在Krylov子空間中尋找權(quán)向量的解，運(yùn)算量為R(J2N2)。JIANG Chaoshu等[6]已經(jīng)證明，它在迭代過(guò)程中產(chǎn)生了一系列檢測(cè)器，且該檢測(cè)器具有CFAR特性，其虛警概率與迭代次數(shù)無(wú)關(guān)，即與理想匹配濾波器(MF, matched filter)相同。筆者將共軛梯度算法應(yīng)用于有軌電車(chē)的雷達(dá)防撞系統(tǒng)，獲得一系列具有CFAR特性的最優(yōu)檢測(cè)器。

1 信號(hào)模型

有軌電車(chē)?yán)走_(dá)防撞系統(tǒng)模型可以簡(jiǎn)化為圖1，重點(diǎn)關(guān)注匹配濾波器部分。

針對(duì)采用ULA的有軌電車(chē)?yán)走_(dá)防撞系統(tǒng)，假設(shè)待檢測(cè)信號(hào)為J通道信號(hào)s(n)∈CJ×1，它會(huì)受到空時(shí)干擾c(n)的影響，則[1]：

H0:x(n)=c(n)

(1)

H1:x(n)=as(n)+c(n)

(2)

式中：x(n),n=1,2,…,N為第n個(gè)接收向量；a為s(n)的確定的但未知的復(fù)幅度。令s=[sT(1),sT(2),…,sT(N)]T,c=[cT(1),cT(2),…,cT(N)]T,x=[xT(1),xT(2),…,xT(N)]T,則它們均為JN×1維的復(fù)向量。在STAP中，空時(shí)導(dǎo)向向量s是已知的。對(duì)ULA雷達(dá)，s可表示為：

s=st?ss

(3)

(4)

2 共軛梯度法檢測(cè)原理

通過(guò)將CG算法應(yīng)用于濾波器權(quán)向量的求解，可以獲得一系列近似權(quán)向量，對(duì)應(yīng)一系列最優(yōu)檢測(cè)器，且該檢測(cè)器具有CFAR特性，其虛警概率與求解最優(yōu)權(quán)向量的迭代次數(shù)無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，這些檢測(cè)器均是MF。

2.1 MF和AMF檢測(cè)器

為了獲得共軛梯度法檢測(cè)器，先推導(dǎo)MF和AMF檢測(cè)器[7]。針對(duì)文中的信號(hào)模型，在H0假設(shè)下，條件概率密度函數(shù)為：

(5)

(6)

由式(5)和式(6)可知，似然函數(shù)為：

(7)

對(duì)式(7)求對(duì)數(shù)得：

lnΛ=a*sHR-1x+axHR-1s-aa*sHR-1s=2Re{a*sHR-1x}-|a|2sHR-1s

(8)

根據(jù)最大似然估計(jì)的概念可得：

(9)

令

(10)

得：

(11)

將式(11)代入式(9)中，可得MF的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為：

(12)

其中η是MF的檢測(cè)門(mén)限。MF的權(quán)向量與R-1s呈線性關(guān)系：

wMF=αR-1s

(13)

式中：α為任一實(shí)數(shù)。

當(dāng)根據(jù)輔助數(shù)據(jù)估計(jì)得到空時(shí)協(xié)方差矩陣時(shí)，此時(shí)的檢測(cè)器稱(chēng)為AMF。因此，AMF的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量可表述為：

(14)

2.2 共軛梯度法檢測(cè)器

CG算法是求解線性方程組的一種迭代方法[8-10]，該法在迭代過(guò)程中可以產(chǎn)生一系列快速收斂的近似解{w(k)}。

對(duì)于Rw=s這種對(duì)稱(chēng)正定矩陣問(wèn)題，CG算法主要考慮如何極小化下列函數(shù)：

(15)

式中：w∈n，R∈n×n，并且R對(duì)稱(chēng)正定。

算法1(CG算法)：如果R∈n×n對(duì)稱(chēng)正定，s∈n，w0∈n為初始近似值(Rw0≈s)，則根據(jù)下列算法，可以計(jì)算出w∈n，使得Rw=s

k=0

r0=s-Rw0

whilerk≠0

k=k+1

ifk=1

p1=r0

else

pk=rk-1+βkpk-1

end

wk=wk-1+αkpk

rk=rk-1-αkRpk

end

w=wk

在實(shí)際應(yīng)用[8]，由于協(xié)方差矩陣R的維數(shù)多，直接矩陣求逆的運(yùn)算量大，采用CG算法，少于JN次迭代就可以獲得權(quán)向量，并且產(chǎn)生一系列近似權(quán)向量wk(k=0,1,2,…)。

在(14)式中，每一個(gè)權(quán)向量wk都可以形成一個(gè)檢測(cè)器：

(16)

因此，式(16)實(shí)際上是一系列檢測(cè)器，稱(chēng)為CG-AMF檢測(cè)器。

定理1：如果R=I+B為n×n對(duì)稱(chēng)正定矩陣，且rank(B)=r，則算法1最多r+1步收斂。

算法1和直接矩陣求逆法的運(yùn)算復(fù)雜性分析如下[10]：

采用直接法對(duì)協(xié)方差矩陣求逆，需要(JN)3次乘法，算法復(fù)雜度為R(JN)3。采用CG算法，一次迭代僅需1次矩陣、向量乘法，算法復(fù)雜度為R(JN)2；2次標(biāo)量乘法，算法復(fù)雜度為R(1)；6次向量、標(biāo)量乘法，算法復(fù)雜度為R(JN)2。在實(shí)際應(yīng)用中，協(xié)方差矩陣通常具有定理1的低秩校正結(jié)構(gòu)，最多r+1步收斂，并且r通常遠(yuǎn)小于JN，因此，CG算法會(huì)快速收斂，運(yùn)算復(fù)雜度較直接矩陣求逆法可大大降低。

2.3 共軛梯度法檢測(cè)器特性

分析兩種情況下CG-AMF檢測(cè)器的性能。

JIANG Chaoshu等[6]已經(jīng)證明，當(dāng)空時(shí)協(xié)方差矩陣R是任意的，無(wú)論迭代多少次，CG-AMF都是恒虛警檢測(cè)器。對(duì)于給定的虛警概率，檢測(cè)概率由CG-AMF檢測(cè)器的輸出信干噪比決定，不隨迭代次數(shù)變化而變化。在K維Krylov子空間中，CG-AMF檢測(cè)器在第K次迭代時(shí)輸出信干噪比最大，因此，它是最優(yōu)檢測(cè)器，并且滿足定理2。

定理2：對(duì)第k個(gè)CG-AMF檢測(cè)器，有如下3個(gè)性質(zhì)：

wk是最小線性均方估計(jì)器，在所有k維Krylov子空間線性估計(jì)器中，它使wk最小，其中：

(17)

κ(R,s,k)?span{s,Rs,R2s,…,Rk-1s}

(18)

在κ(R,s,k)的線性估計(jì)器中，wk相應(yīng)的輸出信干噪比最大：

(19)

如果x～CN(as,Rc)，那么，在H0假設(shè)下，a=0，在H1假設(shè)下，a≠0。wk的虛警概率Pfa,k和檢測(cè)概率Pd,k為：

Pfa,k=exp (-ηk)

(20)

(21)

式(20)說(shuō)明，對(duì)任意k，CG-AMF檢測(cè)器都是恒虛警檢測(cè)器。由于κ(R,s,k)?κ(R,s,k+1)，可以得出ρk≤ρk+1。因此，CG-AMF檢測(cè)器是由降秩和全秩AMF檢測(cè)器組成的系列CFAR檢測(cè)器。當(dāng)?shù)螖?shù)增多時(shí)，檢測(cè)概率提高，運(yùn)算復(fù)雜程度也提高。對(duì)于給定的檢測(cè)概率，可以通過(guò)選擇合適的降秩CG-AMF檢測(cè)器以降低計(jì)算代價(jià)，而不需完全迭代。

在有軌電車(chē)防撞雷達(dá)系統(tǒng)常見(jiàn)結(jié)構(gòu)中，當(dāng)R=Ri+σ2I+Δ時(shí)，擾動(dòng)項(xiàng)Δ是決定性干擾。在沒(méi)有干擾時(shí)，CG算法經(jīng)過(guò)第r+1次迭代收斂，因此，如果r較小，它獲得AMF權(quán)向量的運(yùn)算量要比直接法求矩陣逆少很多。如果有擾動(dòng)項(xiàng)Δ時(shí)，CG算法經(jīng)過(guò)完全迭代才能收斂，那么CG算法在第r+1次迭代時(shí)的收斂情況需要考慮如下引理1和定理3：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

當(dāng)擾動(dòng)消失時(shí)可以得到：

(28)

式(28)說(shuō)明，在一階近似情況下，CG-AMF檢測(cè)器wr+1收斂于AMF檢測(cè)器wMF。

定理3：在滿足引理1和一階近似情況下，AMF和CG-AMF的輸出信干噪比相同：

(29)

引理1指出，權(quán)向量之差wAMF-wr+1包含一階擾動(dòng)項(xiàng)，并且一階擾動(dòng)項(xiàng)在輸出信干噪比中消失，可以忽略。定理3指出，一階近似時(shí)，AMF和CG-AMF檢測(cè)器的檢測(cè)概率相同。當(dāng)擾動(dòng)很小時(shí)，即使采用CG算法，還是需要完全迭代，但是利用第r+1次迭代產(chǎn)生的中間結(jié)果wr+1，就可以獲得與AMF檢測(cè)器幾乎相同的檢測(cè)性能。

3 仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證

采用瑞利分布的雜波仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證分析。參數(shù)如下：

有軌電車(chē)運(yùn)行速度vp=11 m/s；脈沖重復(fù)周期T=1/8 000 s；陣元間距d=0.04 m；雜噪比CNR=70 dB；虛警概率pf=0.01；通道數(shù)J=4；脈沖數(shù)N=32。

仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證結(jié)果如圖2～圖7。

在圖2中可以看出，128(JN=4×32=128)維的協(xié)方差矩陣有128個(gè)特征值，并且有大約40個(gè)由雜波和干擾形成的特征值，其余為由高斯白噪聲及少量擾動(dòng)形成的特征值，這與上文分析相符。

圖3、圖4和圖5中，權(quán)向量經(jīng)過(guò)遠(yuǎn)少于128次的CG法迭代即收斂，輸出SINR隨迭代次數(shù)增加而快速增加，檢測(cè)概率在40步迭代后趨近于1，這比矩陣直接求逆獲得濾波器的權(quán)向量節(jié)省了不少運(yùn)算量，有利于降低成本，與分析一致。

在虛警概率為0.01的情況下，通過(guò)3 000次蒙特卡洛仿真，分別進(jìn)行15步、40步CG法迭代，對(duì)比MF和CG-MF的檢測(cè)性能，檢測(cè)曲線如圖6和圖7。

由圖6和圖7看出，隨著迭代次數(shù)的增加，CG-MF的檢測(cè)性能趨近于MF，與理論分析相符。

4 結(jié) 語(yǔ)

主要研究有軌電車(chē)運(yùn)行過(guò)程中周?chē)碾s波、干擾和噪聲的特征，將共軛梯度法匹配濾波器應(yīng)用于有軌電車(chē)的防撞雷達(dá)系統(tǒng)中。理論分析、仿真數(shù)據(jù)表明，在共軛梯度法迭代過(guò)程中，不僅獲得了一系列CFAR最優(yōu)檢測(cè)器，并且提高了運(yùn)算效率，有利于降低成本。