由一道課本習(xí)題引發(fā)的思考和探究

李幽蘭

引例:(人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課本第100 頁(yè)例1)某車間有22 名工人,每人每天可以生產(chǎn)1200 個(gè)螺柱或2000 個(gè)螺母,1 個(gè)螺柱需要配2 個(gè)螺母,為使每天生產(chǎn)的螺柱和螺母剛好配套,應(yīng)安排生產(chǎn)螺柱和螺母的工人各多少名?

解:設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)螺柱,(22-x) 名工人生產(chǎn)螺母.

2×1200x=2000(22-x)

解方程,得

答:應(yīng)安排10 名工人生產(chǎn)螺柱,12 名工人生產(chǎn)螺母.

問題 (人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課本第106 頁(yè)習(xí)題3.4 第2題)制作一張桌子要用一個(gè)桌面和4 條桌腳,1m3木材可制作20個(gè)桌面,或者制作400 條桌腿,現(xiàn)有12m3木材應(yīng)怎樣計(jì)劃用料才能制作盡可能多的桌子?

此題本意應(yīng)該是考查學(xué)生對(duì)于題目出現(xiàn)兩個(gè)量之間配套關(guān)系的實(shí)際問題的理解能力和掌握能力。七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《教師教學(xué)用書》給出的參考答案如下:

解:設(shè)用xm3木材制作桌面。

4×20x=400(12-x)

解得

答:用10m3木材制作桌面,2m3木材制作桌腿。

然而,這道題的問題是“應(yīng)怎樣計(jì)劃用料才能制作盡可能多的桌子?”,這并不能說明制作桌子最多的時(shí)候用料一定是剛好用完,或者剛好配套的時(shí)候制作的桌子最多,如果用書上的這個(gè)問法,那么似乎用不等式來處理更為妥當(dāng)一點(diǎn),或者也可以用一次函數(shù)最值來說明。

法一:當(dāng)我們直接設(shè)可以制作x張桌子時(shí),即可表示出制作桌面所需要的用料和制作桌腿所需要的用料,那么制作桌面和桌腿的用料之和不能超過12m3.

解:設(shè)可以制作x張桌子,則用木材制作桌面,用m3木材制作桌腿。

答:用10m3木材制作桌面,2m3木材制作桌腿.

法二:設(shè)用xm3木材制作桌面,可制作20x個(gè)桌面,那么12-xm3木材制作桌腿,可制作400(12-x) 個(gè)桌腿,設(shè)制作y張桌子.我們就需要對(duì)制作的桌面和桌腿的數(shù)量進(jìn)行分析和討論。

解:設(shè)用xm3木材制作桌面,那么12-xm3木材制作桌腿,設(shè)制作y張桌子。

(1)若4×20x≤400(12-x),即0＜x≤10,

則y=20x

∵20＞0

∴y隨x的增大而增大

∴ 當(dāng)x=10 時(shí),y取最大值,最大值為200.

(2)若4×20x ＞400(12-x),即x ＞10,

則y=100(12-x)=-100x +1200

∵ -100＜0

∴y隨x的增大而減小

∵x ＞10,且x是正整數(shù)

∴ 當(dāng)x=11 時(shí),y取最大值,最大值為100.

綜上所述,當(dāng)x=10 時(shí),y取最大值,可制作的桌子最多,即用10m3木材制作桌面,2m3木材制作桌腿。

對(duì)于這道題目建議把問題“應(yīng)怎樣計(jì)劃用料才能制作盡可能多的桌子?”換成“應(yīng)怎樣計(jì)劃用料才能剛好配套生產(chǎn)桌子?”,這樣更加清晰直接。同樣的,在課本第107 頁(yè)第9 題“某糕點(diǎn)廠中秋節(jié)前要制作一批盒裝月餅,每盒裝2 塊大月餅和4 塊小月餅.制作一塊大月餅要用0.05 千克面粉,一塊小月餅要用0.02 千克面粉.現(xiàn)共有面粉4500 千克,制作兩種月餅應(yīng)各用多少面粉,才能生產(chǎn)最多的盒裝月餅?”,這道題的問法存在同樣的問題,如果直接就說恰好配套生產(chǎn)盒裝月餅的時(shí)候是生產(chǎn)盒裝月餅最多的時(shí)候,那么這種做法說服力不夠,略微有點(diǎn)武斷。

顯然,這兩道題目運(yùn)用不等式或一次函數(shù)來解決這道題目更有說服力,也更為恰當(dāng),而且不利于學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中建立不等式和函數(shù)最值的數(shù)學(xué)思維。所以還是建議把這兩道題目的問法修改一下,直接提問效果更好。為了讓學(xué)生感受到剛好配套生產(chǎn)的時(shí)候就是生產(chǎn)最多的時(shí)候,我們可以設(shè)計(jì)第二問給出另一種生產(chǎn)方案,讓學(xué)生比較兩種產(chǎn)方案,看哪種方案生產(chǎn)的最多,從而發(fā)現(xiàn)剛好配套的時(shí)候達(dá)到最值,為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。