基于HPM視角下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究*

萬小燕

(江蘇省蘇州吳江汾湖高級中學(xué) 江蘇 蘇州 215000)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的核心，高中人教版數(shù)學(xué)教材中幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，要求學(xué)生利用集合語言、對應(yīng)關(guān)系去理解函數(shù)。但是從實際的教學(xué)情況而言，函數(shù)變量改變過于復(fù)雜，整體的學(xué)習(xí)效率低，如何高質(zhì)量完成教學(xué)任務(wù)是目前教師要重點考慮的問題。對此，文章選擇HPM視角來分析函數(shù)概念教學(xué)，希望讓學(xué)生理解函數(shù)概念背后的人文精神，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的自信心。

1.HPM視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的作用

1.1 傳播數(shù)學(xué)文化。如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，需要教師基于HPM視角進行綜合分析，例如在闡述數(shù)學(xué)建模的時候，將上世紀數(shù)學(xué)的發(fā)展和日常生活進行有效整合；講述函數(shù)知識時與變量結(jié)合，從小學(xué)開始，每個人所接觸的事物在變化，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種體現(xiàn)形式。將函數(shù)和體檢心電圖進行對比，x為時間，y是生物電，將函數(shù)概念拓展到計算對象和性質(zhì)層面，為學(xué)生日后的可持續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。所以HPM視角下的函數(shù)教學(xué)，學(xué)生在探索中形成正確思維，體會到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，即便他們忘記了概念、公式，但是數(shù)學(xué)思想仍留存于他們心中。

1.2 完善函數(shù)知識結(jié)構(gòu)。函數(shù)具有嚴密、抽象的特點，人教版數(shù)學(xué)教材所展現(xiàn)的函數(shù)例題大多經(jīng)過加工、處理，對知識的發(fā)展并未做詳細說明，函數(shù)知識一般以公式、定理的形式存在，學(xué)生對概念認知非常模糊。雖然人教版必修1的26頁閱讀材料中介紹函數(shù)的發(fā)展過程，但是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生探索興趣低，教師沒有明確規(guī)定的情況下，學(xué)生不會認真閱讀。對此，教師要轉(zhuǎn)變思路，課堂上詳細闡述函數(shù)的形成過程，以醞釀期、形成期到成熟期三個階段為出發(fā)點，主動向?qū)W生介紹函數(shù)的發(fā)展，強化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建完善的函數(shù)知識學(xué)習(xí)框架。

2.基于HPM視角下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

2.1 課前導(dǎo)入階段呈現(xiàn)HPM視角。知識的形成和現(xiàn)實生活有非常密切的聯(lián)系，為了讓學(xué)生認識到函數(shù)概念的意義，教師在教學(xué)開始前主動解釋函數(shù)在現(xiàn)實中的地位、價值，在HPM視角下回到歷史，重視函數(shù)發(fā)展歷程，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定思想基礎(chǔ)。而在具體實踐的過程中，教師從四個階段來刻畫函數(shù)概念的形成：

(1)解析式階段。18世紀，數(shù)學(xué)家研究函數(shù)改變，將x的不同次冪作為x的函數(shù)，接著拓展到x的代數(shù)式，《無窮分析引論》中Euler以解析式來定義函數(shù)，讓函數(shù)改變不再局限于代數(shù)式中。

(2)變量依賴階段。18世紀中期對函數(shù)解析式改變的認知提出了爭議，Euler也發(fā)現(xiàn)某些分段函數(shù)不符合這一規(guī)律，所以在“解析式”的基礎(chǔ)上進行完善，《微分基礎(chǔ)》中誕生了“函數(shù)變量依賴”的定義。

(3)變量對應(yīng)。19世紀，Dirichlet將對函數(shù)概念有了重新定義，從“任意性”層面出發(fā)，認識到函數(shù)存在解析式和曲線，所以將函數(shù)作為任意變量的對應(yīng)關(guān)系，并以“性狀極怪”的實例加以說明。這一理念的提出，打破了大眾對函數(shù)的刻板印象，它并非一個簡單的解析式，也并非簡單曲線。

(4)集合對應(yīng)。19世紀集合論的存在，對函數(shù)又用了重新定義，假設(shè)E、F是兩個集合，可以相同，也能不同，函數(shù)是由定給關(guān)系所決定的?；谝陨系臍v史教學(xué)，選擇函數(shù)概念發(fā)展的關(guān)鍵時期做綜合闡述，從而讓高中生對這一章節(jié)的知識有更為清楚的認知。

2.2 課堂教學(xué)設(shè)計滲透HPM視角。HPM視角下的函數(shù)概念教學(xué)，除了在課前融入數(shù)學(xué)歷史外，還可以采用借鑒、重演的形式，幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀。對此，教師列出三個函數(shù)案例，讓學(xué)生嘗試著以第二階段“變量依賴”的層面去分析：

(1)春季運動會女生100記錄統(tǒng)計表；

(2)常值函數(shù)y=0(x∈R)；

(3)Dirichlet提出的函數(shù)的特點為：x是有理數(shù)時，y=1，x是無理數(shù)時，y=0。

教師詢問學(xué)生如何看待第三個問題，兩個變量之間是否存在依賴關(guān)系，這三個案例就能發(fā)現(xiàn)是從“變量依賴”的角度去分析函數(shù)，但是不夠具體和詳細，同學(xué)們應(yīng)該如何修改和完善。學(xué)生在討論中總結(jié)答案，將“依賴”變?yōu)椤皩?yīng)”，整個過程中，如若有兩個變量x與y，對x每個確定的值，y都有對應(yīng)，所以x為自變量，y是x的函數(shù)。

2.3 課后訓(xùn)練階段展現(xiàn)HPM視角。一堂課結(jié)束后，教師為了繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生的探索興趣，提出一些新穎的數(shù)學(xué)習(xí)題，鞏固課上學(xué)過的知識，或者是對函數(shù)知識進行適當?shù)难由旌屯卣埂Ｈ缜笞C：f(x)=2x2-3是偶函數(shù)；又或者是分析y=1和y=10是同一函數(shù)嗎？當學(xué)生在練習(xí)過程中重新回顧函數(shù)概念演變過程。從課后訪談情況而言，學(xué)生能準確區(qū)分初高中函數(shù)的不同點，而數(shù)學(xué)教師的分階段教學(xué)，讓學(xué)生更為深刻地感受函數(shù)概念的發(fā)展歷程。

結(jié)束語

HPM視角下的數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)多元發(fā)展的趨勢，所以教師采用附加式教學(xué)法，順利融入函數(shù)概念，引發(fā)學(xué)生的情感沖突，逐步探討、分析的過程中構(gòu)建完整的學(xué)習(xí)框架。需要注意的是，HPM視角下的教學(xué)理論，并非只適用于函數(shù)方面，也能應(yīng)用到對數(shù)、概率等知識中，希望教師擁有豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，靈活運用，發(fā)揮出數(shù)學(xué)史的現(xiàn)實價值。