正弦脈寬調(diào)制波通用諧波計(jì)算與分析方法

嚴(yán)海龍

(福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350116)

1 引言

正弦脈寬調(diào)制(sinusoidal pulse width modulation，SPWM)[1-7]技術(shù)目前已經(jīng)在實(shí)際中得到非常廣泛的應(yīng)用。SPWM信號(hào)的生成與控制主要有硬件法和軟件法兩大類[8]。硬件法，顧名思義，是采用專用集成電路，成本相對(duì)較高；軟件法則是通過(guò)微處理器實(shí)時(shí)生成SPWM波。早些年人們是采用微機(jī)或單片機(jī)來(lái)計(jì)算，由于受處理器運(yùn)算速度的限制，計(jì)算的速度和精度往往無(wú)法同時(shí)滿足，現(xiàn)在具有高速運(yùn)算功能的數(shù)字信號(hào)處理器(digital signal processor，DSP)的出現(xiàn)，尤其是電動(dòng)機(jī)控制專用型DSP的出現(xiàn)，使得這一問(wèn)題輕松得到解決。軟件法生成SPWM信號(hào)的具體實(shí)現(xiàn)有很多方法，比如采樣型SPWM法、諧波消去法、等面積法等，尤其是采樣型SPWM法比較普遍，其中包括自然采樣法、對(duì)稱規(guī)則采樣法、不對(duì)稱規(guī)則采樣法[9]。自然采樣法因?yàn)樯婕暗角蠼獬椒匠?，所以一般只作為理論指?dǎo)。不對(duì)稱規(guī)則采樣法較對(duì)稱規(guī)則采樣法的采樣時(shí)刻更接近于自然采樣法，使得其生成的SPWM波更加接近于正弦波，即諧波含量更低，因此在實(shí)際中得到更為廣泛的應(yīng)用。然而，不對(duì)稱規(guī)則采樣法在每個(gè)載波周期內(nèi)要采樣兩次，是以采樣次數(shù)多、占用微處理器內(nèi)存資源大和實(shí)時(shí)性相對(duì)較差為代價(jià)，來(lái)獲取較對(duì)稱規(guī)則采樣法諧波含量低的優(yōu)點(diǎn)[10]。

如果想要研究出性能更好的新型SPWM技術(shù)，諧波含量的定量計(jì)算與分析則是必不可少的，這是評(píng)估新技術(shù)優(yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo)[11]。為此，本文基于MATLAB數(shù)值計(jì)算和傅里葉級(jí)數(shù)，提供了一種采樣型SPWM波的諧波通用計(jì)算與分析方法，并以不對(duì)稱規(guī)則采樣法SPWM波的生成及其諧波分析為例，驗(yàn)證了該方法可以為SPWM新技術(shù)的研究提供參考作用，如文獻(xiàn)[10-11]等中的新技術(shù)的研究。最后，本文通過(guò)對(duì)占空比為30%的方波的諧波計(jì)算，驗(yàn)證了該方法也可以作為任意周期性PWM波的諧波通用計(jì)算工具。

2 采樣型SPWM波的MATLAB生成方法

圖1所示是不對(duì)稱規(guī)則采樣法生成SPWM電壓波形的原理示意圖，正弦調(diào)制波函數(shù)Um·sinwt，其中Um是正弦波的幅值，w是正弦波的角頻率，且w=2πf，f為正弦波的頻率，正弦波周期T=1/f。 高頻三角載波的幅值為Uc，頻率為fc，周期Tc=1/fc。M=Um/Uc稱為調(diào)制度或調(diào)制比，即正弦調(diào)制波峰值與三角載波峰值之比；N=fc/f=T/Tc稱為載波比。本文以不對(duì)稱規(guī)則采樣法SPWM波為例，分析所提出的諧波計(jì)算方法。如圖1所示，不對(duì)稱規(guī)則采樣法既在載波的頂點(diǎn)對(duì)稱軸位置采樣，又在載波的底點(diǎn)對(duì)稱軸位置采樣，也就是在每個(gè)三角載波周期內(nèi)采樣兩次，比對(duì)稱規(guī)則采樣法多了一倍。

圖1 不對(duì)稱規(guī)則采樣法SPWM原理圖

由參考文獻(xiàn)[8]可知，兩種采樣法的A相脈寬計(jì)算公式分別是:

對(duì)稱規(guī)則采樣法:

不對(duì)稱規(guī)則采樣法:

式中，k=0，1，2…N-1；M為調(diào)制度；N為載波比。

圖2所示是基于MATLAB的SPWM電壓波形生成主程序流程圖，利用數(shù)組思維計(jì)算各相電壓及生成電壓波形，程序的關(guān)鍵點(diǎn)在于兩個(gè)數(shù)組t(時(shí)間)和Ua(A相電壓)長(zhǎng)度必須一致，這里采用t與數(shù)組序號(hào)i同步增長(zhǎng)的方式保證兩者數(shù)組長(zhǎng)度一致。

圖2 SPWM電壓波形生成主程序流程圖

A相電壓Ua(i)的波形生成子程序流程圖如圖3所示，B相電壓Ub(i)和C相電壓Uc(i)的波形生成子程序與A相類似，即在計(jì)算關(guān)斷區(qū)間Toff1和導(dǎo)通區(qū)間Ton時(shí)，B相在A相的基礎(chǔ)上減去2π/3相角，C相在A相的基礎(chǔ)上加上2π/3相角即可。

圖3 A相PWM電壓波形生成子程序流程圖

設(shè)逆變器前端母線電壓為500V，上述圖3對(duì)應(yīng)的不對(duì)稱規(guī)則采樣法PWM波形生成參考程序如下:

該程序的關(guān)鍵在于利用向零取整函數(shù)fix計(jì)算載波序號(hào)k值，并說(shuō)明t在區(qū)間[k*Tc，(k+1)*Tc]。

取M=0.8，N=15，f=50Hz時(shí)，利用圖2和圖3所述方法生成的不對(duì)稱規(guī)則采樣法SPWM波形見圖4所示。

圖4 不對(duì)稱規(guī)則采樣法PWM電壓波形

3 諧波含量的計(jì)算與分析

3.1 各次諧波含量的計(jì)算

本文基于傅里葉級(jí)數(shù)，將諧波含量的計(jì)算具體詳細(xì)化，并且提供相應(yīng)的MATLAB軟件編制通用方法。

如果周期性線電壓函數(shù)Uab(t)的周期為T，頻率為f=1/T，基波角頻率w=2πf，Uab(t)=Uab(t+T)，那么Uab(wt)可以分解為無(wú)限項(xiàng)三角級(jí)數(shù)——傅里葉級(jí)數(shù)，即如式(3)～(7)所示。

式中，A0是直流分量，An是n次諧波余弦分量，Bn是n次諧波正弦分量，Cn是n次諧波幅值。n=1時(shí)，C1是基波幅值。

圖5是采用傅里葉級(jí)數(shù)及MATLAB數(shù)值計(jì)算的各次諧波含量計(jì)算主程序流程圖。圖中M為調(diào)制度，N為載波比，T為調(diào)制波周期。

圖5 各次諧波含量計(jì)算主程序流程圖

以不對(duì)稱規(guī)則采樣法為例，A相電壓的諧波余弦分量計(jì)算子程序可參考如下，B相電壓的計(jì)算類似，在關(guān)斷時(shí)間和導(dǎo)通時(shí)間的計(jì)算式上與A相滯后2π/3。如此A相與B相的諧波余弦分量之差便為線電壓Uab(t)的諧波余弦分量，而線電壓Uab(t)的諧波正弦分量的計(jì)算亦是類似。

以上關(guān)鍵思維有三點(diǎn):一是采用了分段處理，即每個(gè)載波期間各自積分，分段計(jì)算后再疊加；二是分相處理，不直接計(jì)算線電壓的余弦分量，而是由各自計(jì)算A相和B相的余弦分量后相減所得。三是采用＠(t)將多個(gè)變量函數(shù)的自變量限定為t。

采用圖5方法，不對(duì)稱規(guī)則采樣法生成的線電壓諧波分布情況見圖6所示。

圖6 不對(duì)稱規(guī)則采樣法線電壓諧波分布情況(N=15)

計(jì)算結(jié)果表明，4N次(N為載波比)以下諧波中，含量比重較大的是N±2、2N±1、3N±2、3N±4次諧波，即載波比及其倍數(shù)附近次數(shù)的諧波。改變載波比N，亦能得到相同的結(jié)論。4N次及以上高次諧波可在交流調(diào)速時(shí)被電機(jī)自身漏感濾波掉，可根據(jù)計(jì)算精度要求不予分析。對(duì)稱規(guī)則采樣法生成的線電壓諧波分布情況分析與不對(duì)稱規(guī)則采樣法的類似，只要在涉及到計(jì)算導(dǎo)通時(shí)間時(shí)分別采用上述式(1)和(2)。

3.2 總諧波系數(shù)的計(jì)算

交流調(diào)速系統(tǒng)中，為了比較各種采樣法SPWM波輸出線電壓的總諧波幅值，即評(píng)價(jià)兩者輸出電壓波形的質(zhì)量，可以引入總諧波系數(shù)THD:

式中，n是諧波次數(shù)，Un為諧波幅值或有效值，取幅值時(shí)即為式(7)中的Cn，U1為基波幅值，即C1。

THD的計(jì)算流程圖如圖7所示，采用此方法計(jì)算對(duì)稱規(guī)則采樣法和不對(duì)稱規(guī)則采樣法生成的的線電壓波形THD比較見圖8。由圖8可定量驗(yàn)證不對(duì)稱規(guī)則采樣法較對(duì)稱規(guī)則采樣法生成的SPWM波諧波含量確實(shí)更低，即更加接近正弦波。類似的，我們可以采用本文的方法計(jì)算分析其他PWM波的諧波情況，在此基礎(chǔ)上，也可以為探索新型SPWM技術(shù)提供方法依據(jù)。

圖7 總諧波系數(shù)THD的計(jì)算主程序流程圖

圖8 采樣法SPWM線電壓THD的比較(N=15)

4 其他PWM波諧波分析的通用性驗(yàn)證

以占空比為30%的PWM方波舉例說(shuō)明，采用本文的方法或思路可以計(jì)算出該P(yáng)WM波的各次諧波分布情況，結(jié)果為:在60次諧波以內(nèi)，除基波外，比重較大的諧波有29次、49次、58次。采用圖7的方法計(jì)算該P(yáng)WM波的THD值，結(jié)果見表1所示，忽略高次諧波的影響，該 PWM波的 THD值為0.3075。

表1 占空比為30%的PWM方波THD值計(jì)算

5 結(jié)論

交流調(diào)速系統(tǒng)中，傳統(tǒng)采樣型SPWM技術(shù)因?yàn)椴蓸哟螖?shù)的不同各有優(yōu)缺點(diǎn)，為在原有SPWM技術(shù)的基礎(chǔ)上研究新型SPWM逆變技術(shù)，諧波含量的計(jì)算與分析是必不可少的，這是評(píng)估SPWM技術(shù)優(yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo)。本文基于MATLAB數(shù)值計(jì)算和傅里葉級(jí)數(shù)，提供了一種PWM波的諧波通用計(jì)算與分析方法，并重點(diǎn)以不對(duì)稱規(guī)則采樣法為例，給出了詳細(xì)的諧波計(jì)算過(guò)程以及相應(yīng)程序段或關(guān)鍵思維點(diǎn)。文中不對(duì)稱規(guī)則采樣法、對(duì)稱規(guī)則采樣法以及方波三種PWM波的諧波計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了該方法可以作為SPWM新技術(shù)研究的輔助工具，也可以作為任意周期性PWM波的諧波通用計(jì)算工具。