基于圓弧主應(yīng)力跡線的黏性土主動土壓力分析

王佳宇，曹文貴，王雨波，張慧姐

（湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

擋土墻后土壓力的計算一直是土力學(xué)研究的重點問題，明確作用于擋土墻上土壓力的大小和分布，對于擋土墻設(shè)計具有重要的工程實際意義。自從18世紀朗肯和庫侖土壓力方法理論創(chuàng)建以來，其憑借參數(shù)清晰、計算模型簡單等優(yōu)點被廣泛使用，并逐漸成為土壓力分析研究中的兩大經(jīng)典理論。但經(jīng)典理論并不完美，存在明顯的不合理之處，朗肯理論假定墻背豎直光滑得到墻后土體沿墻高呈線性分布的規(guī)律，沒有考慮墻土摩擦角對土壓力的影響；庫侖理論對于整體土楔體建立平衡方程，僅能得到土壓力合力，無法獲得土壓力沿墻高的分布，該理論也不適用于黏性填土。

針對經(jīng)典理論的不足，眾多學(xué)者對土壓力問題進行了大量的后續(xù)研究工作。目前研究擋土墻后黏性土土壓力主要有兩種思路：其一，基于庫侖塊體極限平衡理論，考慮墻背接觸面和滑裂面上黏聚力的影響，對滑動土體建立整體靜力平衡方程，求解得到復(fù)雜情況下墻后土體土壓力的合力表達式[1?5]。但該方法仍無法獲得土壓力沿墻高的分布規(guī)律；其二，考慮土拱效應(yīng)的影響，基于薄層微分單元研究土壓力分布的規(guī)律。目前，運用最多的分層方法是水平分層[6?15]，將墻后土體劃分為無數(shù)水平薄層，假定層面上分布等效均勻豎向應(yīng)力，通過對薄層單元進行受力分析，進而得到土壓力分析方法。這類方法計算模型簡單直觀，得到了土壓力非線性分布的表達式，但該方法忽略水平層上下截面的剪應(yīng)力、假定豎向應(yīng)力均勻分布，存在明顯的不足。通過對土拱效應(yīng)的深入研究，Li 等[16]和Cao 等[17]提出了沿主應(yīng)力跡線割線分層的新理論，近似認為主應(yīng)力跡線為傾斜直線，在分層截面上只分布主應(yīng)力，沒有剪應(yīng)力，簡化了受力分析，但該方法只是一種近似處理，不符合實際受力情況。Cao 等[18]在此基礎(chǔ)上提出沿主應(yīng)力跡線分層的方法對土壓力進行平衡分析。由于薄層單元是按主應(yīng)力軌跡進行劃分的，所以層間只作用大主應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力，有效避免了直線分層的不足，為土壓力分析開拓了新的思路，經(jīng)驗證取得更為合理的結(jié)果。但是，目前基于主應(yīng)力跡線分層方法還僅局限于無黏性土的研究，不適用于黏性填土的分析，且主應(yīng)力跡線幾何形狀、幾何參數(shù)確定較為復(fù)雜，這正是本文研究的主要內(nèi)容。

綜上所述，本文基于主應(yīng)力跡線分層的土壓力分析方法，充分考慮了黏聚力對土壓力分析的影響，取曲線薄層微分單元為研究對象，合理分析曲線單元受力情況，建立靜力平衡關(guān)系，推導(dǎo)得到黏性土土壓力的分布、合力及作用點高度計算的新方法。

1 應(yīng)力偏轉(zhuǎn)規(guī)律及應(yīng)力狀態(tài)分析

1.1 基本假定

如圖1所示，擋土墻高為H，ABG是處于主動極限狀態(tài)下的三角形土楔體，土體為黏性土，靠近墻頂附近區(qū)域的土體ABCD在自身黏聚力和內(nèi)摩擦角的作用下保持穩(wěn)定，土體內(nèi)部形成張拉裂縫，裂縫深度為z0。鑒于實際擋土墻土壓力問題的復(fù)雜性，為了方便研究，進行以下假定：

圖1 土楔體及主應(yīng)力跡線模型Fig.1 Soil wedge and principal stress trace model

（1）擋土墻豎直，墻背粗糙，填土面水平且無附加荷載，墻土摩擦角為δ；

（2）擋土墻后土體為黏性土，內(nèi)摩擦角為φ，墻土接觸面處黏聚力為cw，土體黏聚力為c，且滿足cw=ηc，其中η=tanδ/tanφ；

（3）擋土墻背離土體發(fā)生平動位移時，靠近墻頂附近區(qū)域土體內(nèi)部形成張拉裂縫，其深度可用下式計算[1?5]：

式中：γ—土體重度。

（4）假定擋土墻后土體主動極限狀態(tài)下滑裂面為直線，傾角為β，大小依據(jù)文獻[1]的理論結(jié)果進行計算：

（5）為了方便研究黏性土土體應(yīng)力狀態(tài)變化的情況，引進文獻[15]中坐標平移的方法。將圖2所示莫爾應(yīng)力圓中的縱坐標τ向左偏移ccotφ距離，新舊坐標系之間的關(guān)系可表示為：

圖2 墻土接觸面受力分析和莫爾圓情況Fig.2 Deflection of the principal stress and Mohr circle at the contact surface of the wall back

式中：σ 、τ—舊坐標系中的橫、縱坐標軸；

σ′、τ′—新坐標系中的橫、縱坐標軸。

1.2 應(yīng)力偏轉(zhuǎn)及應(yīng)力狀態(tài)分析

實際擋土墻工程中不存在絕對光滑的情況，墻土之間的摩擦力導(dǎo)致墻土接觸面主應(yīng)力方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，進而引發(fā)其他土體微分單元的主應(yīng)力發(fā)生偏轉(zhuǎn)，直到土體破裂面處停止。Handy[6]基于土拱效應(yīng)把土拱形狀定義為主應(yīng)力跡線，認為即使主應(yīng)力方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，土體內(nèi)仍存在相互垂直的大小主應(yīng)力跡線。由于本文研究主動極限狀態(tài)下土壓力變化規(guī)律，故引入小主應(yīng)力跡線模型，如圖1所示。

在墻背粗糙的影響下，主應(yīng)力方向發(fā)生了偏轉(zhuǎn)。圖2（a）表示深度為z時墻土接觸面E點處土體單元受力狀態(tài)。兩直角邊上分別作用有最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力，最小主應(yīng)力方向由原來的水平偏轉(zhuǎn)為與豎直方向呈θ0角度；斜邊與墻背重合，作用有正應(yīng)力 σh和剪應(yīng)力 τw。假設(shè)墻土接觸面處于極限平衡狀態(tài)，則該點土體的大小主應(yīng)力滿足以下關(guān)系：

根據(jù)圖2（b）莫爾應(yīng)力圓可得應(yīng)力表達式為：

聯(lián)立式（5）（6）（7）可得墻土接觸面小主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角表達式為：

圖3所示為滑裂面F點處土體單元受力狀態(tài)。兩直角邊上分別作用有最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力最小主應(yīng)力方向偏轉(zhuǎn)為與豎直方向呈θ1角度。當土體達到極限平衡狀態(tài)時，大主應(yīng)力作用面與滑裂面夾角為ψ=45°+φ/2，因此主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角θ1表達式為：

圖3 滑裂面處主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)情況Fig.3 Deflection of the principal stress at the slip surface

由式（8）（9）可知墻背接觸面和滑裂面上主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角θ0、θ1與埋深無關(guān)，只與墻土本身的屬性有關(guān)，即在墻上任意深度處，主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角均相等。但在同一條主應(yīng)力跡線上的不同位置處，主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角不同。

2 土壓力公式計算

2.1 主應(yīng)力跡線幾何形狀、參數(shù)確定

為深入分析擋墻后土拱效應(yīng)對土壓力的影響，眾多學(xué)者針主應(yīng)力跡線形狀進行了探討，分別有假設(shè)主應(yīng)力跡線形狀為懸鏈線、圓弧、拋物線、對數(shù)螺旋線等。應(yīng)宏偉等[8]經(jīng)過理論推導(dǎo)、對比分析發(fā)現(xiàn)，主應(yīng)力跡線形狀對土壓力強度大小及分布影響較小。為簡化研究思路，本文采用圓弧小主應(yīng)力跡線形式，土楔體在墻背摩擦角的作用下主應(yīng)力發(fā)生偏轉(zhuǎn)，土體內(nèi)形成無數(shù)圓弧主應(yīng)力跡線，取其中一段微分單元EFF'E'為研究對象，如圖4所示。圓弧上E點與圓心的連線與水平方向的夾角為θ0，F(xiàn)點與圓心的連線與水平方向的夾角為θ1，主應(yīng)力跡線i位置處與圓心的連線與水平方向的夾角為θi。為了獲得曲線微分單元EFF'E'的受力分析，首先需要確定圓弧的幾何位置和參數(shù)，求解圓弧半徑過程如下：

圖4 主應(yīng)力跡線分層模型及薄層單元受力分析Fig.4 Layered model of the principal stress trace and force analysis of thin-layer elements

建立直角坐標系：G為原點，豎直方向為z軸，水平方向為x軸，E點坐標為（0，H?z），設(shè)F點橫坐標為x0，根據(jù)直線方程可知其縱坐標z0=x0tanβ，圓弧主應(yīng)力跡線上E、F兩點滿足下列幾何關(guān)系：

2.2 主動土壓力強度計算

2.3 土壓力合力及其作用點高度計算

3 實例驗證與參數(shù)分析

3.1 實例驗證

為了驗證本文方法的正確性，選取文獻[19]中的實驗數(shù)據(jù)對本文結(jié)果進行驗證。該實驗墻背豎直，墻高為4 m，土的天然重度為γ=18.95 kN/m3，不排水三軸快剪指標為內(nèi)摩擦角φ=16.6°，土與墻間摩擦角δ=8.3°，黏聚力c=4.6 kPa。

圖5 給出了本文方法與實測數(shù)據(jù)和其他理論方法的對比結(jié)果。由圖5 可知，本文方法和文獻[11][12]均得到了土壓力強度沿墻高呈非線性分布的規(guī)律，在接近墻腳位置處的應(yīng)力值發(fā)生突變。本文方法和文獻[12]計算結(jié)果始終小于朗肯理論計算值，文獻[11]在擋土墻上面一部分略大于朗肯理論計算值，偏于保守，下面一部分小于朗肯理論計算值 。從數(shù)據(jù)對比分析來看，本文方法計算結(jié)果無論從大小還是分布均與實測結(jié)果更加吻合，驗證了本文方法的合理性及優(yōu)越性。

圖5 主動土壓力對比分析Fig.5 Comparative analysis of active earth pressure

3.2 參數(shù)分析

為了更深入地探討各參數(shù)對黏性土主動土壓力分布的影響，選取工程中常用的參數(shù)范圍，通過控制變量法，從定性的角度總結(jié)墻土摩擦角-內(nèi)摩擦角（δφ）、黏聚力c等因素對土壓力強度分布的影響規(guī)律。

圖6 表示墻土摩擦角δ對土壓力分布的影響，由圖6 可知，隨著δ增大，土壓力逐漸減小。δ值較小時，土壓力近似呈線性分布，在接近墻踵處突變?yōu)樨撝?。δ逐漸變大，土壓力分布從近似直線變?yōu)榍€分布，應(yīng)力突變點逐漸提高。如圖7所示，始終保持δ/φ=2/3，隨著φ增加，土壓力不斷減小，塑性臨界深度逐漸增大。圖8 表示黏性土黏聚力對土壓力分布的影響，隨著土體黏聚力c增加，土壓力逐漸減小，塑性臨界深度逐漸增大。

圖6 墻土摩擦角δ 對土壓力分布的影響Fig.6 Influence of the wall-soil friction angle on earth pressure distribution

圖7 土體內(nèi)摩擦角φ 對土壓力分布的影響Fig.7 Influence of the friction angle in soil on the distribution of earth pressure

圖8 黏聚力c 對土壓力分布的影響Fig.8 Influence of cohesion on the distribution of earth pressure

圖9 表示土體內(nèi)摩擦角對側(cè)向土壓力合力的影響，朗肯理論合力表達式只與φ相關(guān)，當φ為定值時，合力即為定值；隨著δ增加，本文方法與文獻[7]方法合力逐漸減小，這是由于墻土間摩擦力可抵消一部分土壓力，因此合力減小，與實際情況相符合。圖10 表示墻土摩擦角對合力作用點高度的影響，隨著δ增大，本文合力作用點高度緩慢升高，擋土墻整體穩(wěn)定性變差；而文獻[7]合力作用點近似直線上升趨勢，與朗肯理論作用點結(jié)果偏差太大，故本文計算結(jié)果更加具有合理性。

圖9 墻土摩擦角δ 對土壓力合力的影響Fig.9 Influence of wall-soil friction angle on the resultant force of earth pressure

圖10 墻土摩擦角δ 對土壓力合力作用點高度的影響Fig.10 Influence of wall-soil friction angle on the height of the resultant point of earth pressure

4 結(jié)論

（1）通過與實測數(shù)據(jù)和現(xiàn)有的理論方法進行土壓力大小和分布規(guī)律的對比分析，驗證本文方法的合理性及優(yōu)越性；從定性的角度分析了墻土摩擦角、土體內(nèi)摩擦角、黏聚力等因素對土壓力強度分布的影響規(guī)律及影響程度。

（2）研究結(jié)果表明：黏聚力對土壓力大小有明顯的影響，隨著黏聚力的增加，土壓力逐漸減小；墻土摩擦角δ較小時，土壓力線性分布特征越明顯，隨著δ增大，土壓力合力逐漸減小，合力作用點緩慢提高，土壓力分布逐漸減小且非線性分布特征越明顯。

（3）由于本文研究中假定張拉裂縫為朗肯裂縫，沒有考慮墻背粗糙程度對裂縫深度的影響，比實際工程測得的裂縫高度偏低一點，對研究結(jié)果的適用性有一定的影響，因此對裂縫深度的計算還需有進一步的研究。