Theis不穩(wěn)定潛水井流模型的改進(jìn)
——具入滲補(bǔ)給

陳崇希，唐仲華

（中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430074）

潛水含水層地下水的補(bǔ)給、排泄主要是垂向的地面入滲補(bǔ)給、蒸發(fā)排泄（蒸發(fā)可視為入滲的負(fù)值）及側(cè)向的地表水補(bǔ)給、排泄。作為水文地質(zhì)學(xué)最基本的問題之一—地下水可持續(xù)開釆量的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則,是補(bǔ)給增量與排泄減量之和。地下水的開采動(dòng)態(tài)，也涉及補(bǔ)給量與排泄量的改變。因此地下水開采的預(yù)測(cè)模型必須包含上述兩類的補(bǔ)排因素，否則不能滿足要求。

地下水井流問題，是當(dāng)今地下水動(dòng)力學(xué)理論和應(yīng)用最重要的課題之一。然而地下水井流的兩個(gè)經(jīng)典解析模型，即1863年的Dupuit 穩(wěn)定井流模型[1]和1935年的Theis 不穩(wěn)定井流模型[2]（包括以影像井替代河流邊界的作用），也只有地表水體的補(bǔ)排，而不涉及地面入滲補(bǔ)給和蒸發(fā)排泄。如此，這兩個(gè)經(jīng)典模型基本上只能在旱季用于地下水井流試驗(yàn)求取含水系統(tǒng)的參數(shù)，而不能夠用于預(yù)測(cè)。

陳崇希[3]作為初次研究具有入滲補(bǔ)給和地表水補(bǔ)排的井流問題，是從經(jīng)典的Dupuit 圓島穩(wěn)定井流模型的改進(jìn)—具入滲補(bǔ)給開始，建立了相關(guān)的水位分布方程和流量方程。應(yīng)當(dāng)特別指出，Chen 等[4]提出一個(gè)新型的穩(wěn)定井流模型，它有別于Dupuit 圓島穩(wěn)定井流模型，它不是圓島，不是靠湖海水的補(bǔ)給增量形成穩(wěn)定井流，而是依賴初始的地下水的蒸發(fā)與地面入滲補(bǔ)給的平衡，當(dāng)抽水后潛水位下降導(dǎo)致蒸發(fā)量減少，且單位時(shí)間減少的蒸發(fā)量等于地下水抽水流量時(shí)，地下水流便轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定流。就地下水可持續(xù)開采量評(píng)價(jià)準(zhǔn)則而言，此穩(wěn)定井流模型是由于地下水的（蒸發(fā)）排泄減少量等于抽水量而形成的穩(wěn)定井流。

在完成對(duì)Dupuit 模型的改進(jìn)—具入滲補(bǔ)給之后，本文著手對(duì)Theis 不穩(wěn)定潛水井流模型的改進(jìn)—具入滲補(bǔ)給的研究。

經(jīng)典的無界含水層Theis 不穩(wěn)定井流模型不能直接加以地面入滲補(bǔ)給，這種條件會(huì)出現(xiàn)地下水位無限上升的荒謬狀態(tài)。因此，本文引入定水位的河流邊界，當(dāng)抽水井遠(yuǎn)離河流邊界，或者說河流邊界對(duì)抽水井漏斗區(qū)的作用還沒有明顯起作用時(shí)，這時(shí)的問題，就是Theis 不穩(wěn)定井流加上地面入滲補(bǔ)給的模型，從而使得本問題得以順利研究。當(dāng)河流邊界對(duì)井流發(fā)生明顯作用時(shí)，此時(shí)的井流同時(shí)考慮了側(cè)向地表水的補(bǔ)排和地面入滲、蒸發(fā)的補(bǔ)排作用。這就是我們所需要的模型。

首先基于質(zhì)量守恒原理，假定滲流服從Darcy 定律并滿足Dupuit 徦定，建立了地下水運(yùn)動(dòng)基本微分方程。然后，研究了兩類自然界比較常見的區(qū)域，即兩條平行定水位邊界條件（所謂河間地區(qū)）和一條定水位邊界平行另一條隔水邊界構(gòu)成的兩類無限條形區(qū)域，建立了在均勻穩(wěn)定入滲補(bǔ)給條件下的Theis 潛水井流問題。這是一個(gè)復(fù)雜的水文地質(zhì)問題。其次，與用水頭刻畫的承壓水流不同，這是一個(gè)非線性的潛水流問題，我們采用第二類線性化的勢(shì)函數(shù)來刻畫潛水流問題。此外，我們將一個(gè)含有入滲補(bǔ)給、抽水井作用以及初始條件（現(xiàn)有的井流問題的初始條件通常是h（t=0）為常數(shù)的關(guān)系）是一個(gè)未知待求的復(fù)雜水文地質(zhì)問題（數(shù)學(xué)模型），分解成幾個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的水文地質(zhì)問題（子模型），這些簡(jiǎn)單的子模型或者已有它的解，或者比較容易求解。之后再把它們合成，成為原復(fù)雜水文地質(zhì)問題（數(shù)學(xué)模型）的解。此外，提出并采用“邊界對(duì)邊界的反映法”用以求解一條定水位邊界平行另一條隔水邊界構(gòu)成的無限條形區(qū)域的同一問題，減少了許多推導(dǎo)過程。

上述導(dǎo)出的方程，可用來預(yù)測(cè)相應(yīng)條件的地下水位分布特征與動(dòng)態(tài)規(guī)律，以及為降雨入滲補(bǔ)給條件下抽水試驗(yàn)確定含水系統(tǒng)有關(guān)參數(shù)提供了理論基礎(chǔ)。

此外，本文對(duì)上述獲得的理論成果做了初步的應(yīng)用，也是個(gè)重要的應(yīng)用。即在河水水質(zhì)不能滿足要求的河流附近，有一口抽水井，建立了計(jì)算該抽水井在不汲取河水前提下的抽水井臨界流量方程，獲得具重要意義的、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔的關(guān)系式。該方程也可以用于濱海區(qū)的抽水井，在不發(fā)生海水入侵前提下的臨界抽水流量計(jì)算。它的意義，似乎更具普遍性。

本文給出了河間地區(qū)某典型條件下的地下水流網(wǎng)圖。其流網(wǎng)與Theis 井流的不同，也與無入滲補(bǔ)給的承壓均勻流中的井流不同。其特點(diǎn)是，區(qū)域上由兩條河之間的地下分水嶺向兩側(cè)水力坡度由小到大地分布。在這個(gè)背景下，一個(gè)定流量抽水井工作一定時(shí)間的流網(wǎng)圖。它是不穩(wěn)定流過程某時(shí)刻的流網(wǎng)。

Wilson[5]討論了具入滲補(bǔ)給的井流問題，但是均屬于穩(wěn)定流范疇。本文討論的基于Theis 不穩(wěn)定井流模型加上地面入滲補(bǔ)給，兩者是不同的。

與Theis 模型相同，本文僅討論隔水底板水平的均質(zhì)含水層，且為穩(wěn)定均勻入滲的條件。

1 兩平行定水位邊界井流問題解析解

1.1 假設(shè)條件及數(shù)學(xué)模型

設(shè)某潛水含水層為均質(zhì)、各向同性，隔水底板水平，兩側(cè)被兩平行完整河流（間距為l）切割，且兩河流水位相等（h1=h2）并保持不變；因此視為水位相等的定水位邊界，初始條件是由均勻入滲條件下形成的穩(wěn)定水位分布，隨后保持初始的入滲強(qiáng)度不變；在距河1 為 λ處有一口定流量完整抽水井（圖1）。

圖1 具有入滲補(bǔ)給的河間地區(qū)潛水井流模型Fig.1 Model of inter rivers area with infiltration recharge

取坐標(biāo)如圖1 示，x軸垂直于河流，y軸位于河1 右岸水邊線。設(shè)井流水位的基準(zhǔn)面在潛水層之下隔水層頂面處。假定滲流服從Darcy 定律并滿足Dupuit假定，根據(jù)質(zhì)量守恒原理，則該問題的基本微分方程可以寫成：

式中：K—滲透系數(shù)/（m·d?1）；

h—潛水位，本文坐標(biāo)系中即潛水層厚度/m；

ε—入滲強(qiáng)度/（m·d?1）；

μd—重力給水度。

這就是潛水流問題基本微分方程，是非線性的。為求得其解析解，需將其線性化。采用第二類線性化的方法，即設(shè)

由于含水層為均質(zhì)，于是用勢(shì)表示的潛水流動(dòng)方程為：

式中：a—水位傳導(dǎo)系數(shù)或水力擴(kuò)散系數(shù)/（m2·d?1）。

式中：hm—潛水層平均厚度/m。

如此，該問題的數(shù)學(xué)模型可以寫成：

式中：φ0—初始勢(shì)函數(shù)；

φ1φ2、—河1 和河2 的水位勢(shì)；

Qw—抽水井流量（大于0 為抽水，小于0 為注水）/（m3·d?1）；

r—極點(diǎn)位于井中心的極軸上某點(diǎn)的極徑；

(xw,yw)—抽水井位置坐標(biāo)/m；

a—潛水層水位傳導(dǎo)系數(shù)/（m2·d?1）。

模型[I]中的初始勢(shì)φ0(x,y)由子模型[II]確定。

設(shè)

即

由[I]和[II]及式（14）可得：

由此，模型[I]分解為子模型[II]和[III]。

1.2 模型的解析求解

對(duì)于子模型[II]，采用積分方法可以求得初始勢(shì)函數(shù) φ0，即：

下面討論子模型[III]—抽水勢(shì)增量 ?φ。

子模型[III]表述的是無入滲條件下兩平行河流間的Theis 不穩(wěn)定井流問題。對(duì)于這種條件，地下水動(dòng)力學(xué)已經(jīng)有解，即抽水井對(duì)邊界進(jìn)行無窮次反映（圖2）。但由于井函數(shù)W隨r的增大而減小，因此實(shí)用上有時(shí)只要取其有限個(gè)虛井即可近似表示。

圖2 兩條平行定水位邊界內(nèi)抽水井的無窮反映Fig.2 Infinite reflection of pumping wells in the area of two parallel boundaries with constant water level

已知無界含水層單井定流量抽水的Theis 方程，用勢(shì)表示為：

（1）當(dāng)邊界對(duì)抽水漏斗區(qū)尚未明顯起作用時(shí)

當(dāng)虛井的作用與實(shí)際抽水井的作用相比，可以忽略不計(jì)時(shí)，即邊界還沒有明顯起作用時(shí)，可近似認(rèn)為只有一個(gè)實(shí)際抽水井在工作。

將式（20）和（21）代入式（13），得到此條件勢(shì)的分布：

將無壓勢(shì) φ的定義代入，得水位方程：

此時(shí)，當(dāng)r=rw則h=hw，得抽水井水位方程：

由式（23）得到流量方程：

該方程的應(yīng)用，例如，某礦區(qū)有一個(gè)已經(jīng)報(bào)廢的老礦井，在它的附近計(jì)劃建立一個(gè)新礦井，擬利用老礦井抽水以疏干新礦井的水位至某設(shè)計(jì)標(biāo)高，達(dá)到安全采礦的目標(biāo)。這時(shí)，根據(jù)新礦井要求的疏干水位及疏干時(shí)間，就可以利用該公式計(jì)算老礦井的排水量Qw。某些巖土工程中的疏干排水，也可能用到此方程。

當(dāng)然，以上述方程為基礎(chǔ)，可以討論種種抽水試驗(yàn)方法，包括觀測(cè)孔的部署，來建立求取含水系統(tǒng)的各種參數(shù)的方程。

上面為忽略邊界作用，單一抽水井作用下勢(shì)和水位分布等問題的討論。

如此，作為本問題，剩下的僅僅是抽水井與邊界的距離及抽水延續(xù)時(shí)間等，如何考慮邊界的作用問題。

（2）抽水井靠近左側(cè)（河1）定水位邊界且抽水時(shí)間很不長(zhǎng)（河1 起做用而河2 尚未明顯起作用）

此類條件是經(jīng)常遇到的。這時(shí)，圖2 中河1（虛1 井）的作用必須考慮，而河2（虛2 井）的作用尚可忽略不計(jì)（圖3）。此時(shí)相關(guān)的勢(shì)函數(shù) φ為：

圖3 靠近左側(cè)定水位邊界抽水井的反映Fig.3 Reflection of a pumping well near the boundary of a constant water level

將無壓勢(shì) φ的定義代入，得水位方程：

由此可得抽水井的水位hw方程：

由式（29）得到流量方程：

于是式（29）可以寫成：

由此得到抽水井的水位hw方程：

由式（32）得到流量方程：

在此范圍內(nèi)形成近似穩(wěn)定流，可以開展具入滲補(bǔ)給條件下的近似穩(wěn)定井流相應(yīng)的應(yīng)用。

（3）隨抽水時(shí)間延續(xù)，或抽水井至兩邊界的距離差別不大，而抽水時(shí)間尚不很大時(shí)

此時(shí)，則需考慮1 個(gè)實(shí)井和2 個(gè)虛井的作用（圖2中虛1 井和虛2 井），可以寫出類似上述方程，不再贅述。

（4）當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間抽水時(shí)

這時(shí)，兩條邊界都明顯起作用，要考慮無窮反映，根據(jù)無窮反映原理，得：

由于虛擬井i的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)ywi=0，所以

式（35）無窮級(jí)數(shù)方程中，序列號(hào)i是按照虛井到點(diǎn)p的距離 ρi的大小的順序排列的，即ρi+1>ρi（圖2）。只要實(shí)際抽水井和點(diǎn)p都在兩河間分水嶺的靠河1 一側(cè)，此條件必定滿足。這也是最需要討論的實(shí)際問題。

將無壓勢(shì) φ的定義代入，得水位方程：

此即具入滲補(bǔ)給的兩條平行定水位邊界區(qū)內(nèi)井流的通用水位方程。求和項(xiàng)i（虛井）的取數(shù)，視邊界的作用可否忽略不計(jì)或作用程度而定，此條件與井位、含水層參數(shù)及抽水延續(xù)時(shí)間等要素有關(guān)。

式（35）和（37）的特點(diǎn)：第一，各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的無窮級(jí)數(shù)；第二，由于 λ小于l，故第i+1項(xiàng)的絕對(duì)值小于第i項(xiàng)的絕對(duì)值；第三，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)趨于0。所以該無窮級(jí)數(shù)是收斂的。這個(gè)特點(diǎn)反映了相應(yīng)的水文地質(zhì)條件。

圖4 是自然界的一個(gè)典型情景—具有入滲補(bǔ)給的河間地區(qū)存在一個(gè)抽水井形成的流網(wǎng)圖。其模型參數(shù)是：l=10 000 m，K=10 m/d，μd=0.2，h1=h2=100 m，h0=100 m，ε=0.000 5 m/d，λ=3 000 m，（xw=3 000，yw=0），rw=0.1 m，Qw=5 000 m3/d，hm=102.8 m，t=600 d。

圖4 Qw =5 000 m3/d 時(shí)抽水600 d 的流網(wǎng)圖Fig.4 Fow network with long-term pumping of 600 d at Qw =5 000 m3/d

此圖的一個(gè)特點(diǎn)，抽水前的地下水力坡度，由兩河間地下分水嶺處的零向兩側(cè)逐漸加大，體現(xiàn)了入滲補(bǔ)給作用。當(dāng)抽水井工作后，將會(huì)在抽水井與河流1 之間形成一個(gè)地下水分水點(diǎn)，通過這個(gè)點(diǎn)做流線，存在一條地下水分流線。在分流線之內(nèi)地下水流向抽水井，在分流線之外，地下水仍然保持流向河流1。這條分水線的意義很重要，如果這個(gè)范圍內(nèi)存在污染水體，它遲早會(huì)流入抽水井。再一個(gè)特點(diǎn)，原來的兩河間的正中間有一條直線狀地下水分水嶺。當(dāng)一側(cè)抽水以后，地下分水嶺就會(huì)呈喇叭口型向鄰河推移。這在地下水資源評(píng)價(jià)原則上有其重要意義。地下分水嶺的推移使得原來入滲補(bǔ)給到相鄰河流的，轉(zhuǎn)化為流向抽水一側(cè)來了，它成為抽水一側(cè)（水源地）的補(bǔ)給增量。對(duì)這個(gè)水源地來說，它是一個(gè)補(bǔ)給增量。這在水均衡計(jì)算上以及地下水開采動(dòng)態(tài)上都會(huì)有所反應(yīng)。

（5）長(zhǎng)時(shí)間抽水形成穩(wěn)定井流

如果t足夠大時(shí)可形成穩(wěn)定井流，俄羅斯學(xué)者鮑契維爾在1963年[6]曾對(duì)相同側(cè)邊界條件下的無入滲/無越流承壓水層穩(wěn)定井流導(dǎo)出相應(yīng)的公式（也可參考文獻(xiàn)[7]）。他認(rèn)為當(dāng)時(shí)，可近似計(jì)算。我們將其用于承壓含水層水頭降深s表示的方程，改為用勢(shì)φ表示的方程（以便轉(zhuǎn)化為用于潛水含水層的水位h方程的建立），即：

將無壓勢(shì) φ的定義代入，得水位方程：

利用文獻(xiàn)[6]的結(jié)果，可得到抽水井的水位hw方程：

于是流量方程為：

為了對(duì)形成穩(wěn)定流的時(shí)間有一點(diǎn)概念，若取l=10 000 m，K=10 m/d，平均水位h=10 m，μd=0.2，則形成穩(wěn)定流的時(shí)間t=100 000 d；若取l=1 000 m，其它參數(shù)不變，則形成穩(wěn)定流的時(shí)間t=1 000 d。由此可見，地下水不穩(wěn)定流的過程，是有必要討論的。

上面討論的是針對(duì)河間地區(qū)一個(gè)定流量抽水井所建立的方程。對(duì)于多個(gè)抽水井或者對(duì)于變流量的抽水井，均可按地下水動(dòng)力學(xué)中的有關(guān)方法處理。

2 一條定水位邊界和一條平行的隔水邊界條件井流問題

2.1 假設(shè)條件

基本條件與第2 節(jié)相同，只是右側(cè)定水位邊界改為隔水邊界。坐標(biāo)如圖5所示。

圖5 具有入滲補(bǔ)給的一定水位邊界平行一隔水邊界條件潛水井流模型Fig.5 Model of a constant water level boundary parallel to an impermeable boundary with infiltration recharge

對(duì)此問題，可以按照上節(jié)的步驟來建立相關(guān)方程。但可以換一種思維方法考慮：邊界附近的抽（注）水井可以通過反映法替代邊界的作用，那么邊界附近的邊界是否也可以采用反映法替代一邊界的作用呢？本文用此思路求解問題。

以右側(cè)隔水邊界為鏡面（對(duì)稱面），左側(cè)定水位邊界和抽水井一起反映過去，轉(zhuǎn)變?yōu)殚g距為2l的，左右兩側(cè)為平行的、水位相等的定水位邊界的區(qū)域，且有兩個(gè)互相對(duì)稱的抽水井的問題（圖6）。顯然，轉(zhuǎn)換后的問題，其中心線是其地下水分水嶺，這正是原問題隔水邊界的基本性質(zhì)。由此可見，上述邊界如同抽水井一樣，對(duì)附近邊界作反映，可以替代（后者）邊界的作用。

圖6 由圖5 問題通過邊界反映獲得的等效問題Fig.6 Equivalent problem obtained by the boundary reflection of the problem in Fig.5

請(qǐng)注意，如果以等水位線為對(duì)稱面，將隔水邊反映過去，獲得的仍然是隔水邊界，而不是等水位邊界。

如此，本節(jié)的隔水邊界平行定水位邊界的井流問題，變換為兩條平行的、水位相等的定水位邊界問題。只要將兩邊界的距離l改為 2l，且抽水井增加一個(gè)對(duì)稱的抽水井，就可按上節(jié)已建的方程來建立相應(yīng)的方 程。如此，可省去了大量的推導(dǎo)過程。

2.2 問題的解析解

（1）抽水井遠(yuǎn)離邊界且抽水時(shí)間不長(zhǎng)

雖然本節(jié)與第2 節(jié)的邊界條件不同，但由于“抽水時(shí)間不長(zhǎng)”，兩邊界對(duì)抽水漏斗區(qū)尚未明顯起作用，因此其水位方程，依式（23）并考慮定水位邊界對(duì)隔水邊界的反映，得：

由此得抽水井的水位hw方程：

由式（42）得流量方程：

（2）抽水井靠近左側(cè)定水位邊界且抽水時(shí)間很不長(zhǎng)（隔水邊界尚未明顯起作用）

此時(shí)，虛1 井的作用必須考慮，而虛2 井與虛3 井等的作用可忽略不計(jì)（圖7）。

圖7 一條定水位邊界附近抽水井的反映法Fig.7 Reflection method of a pumping well near the boundary of a constant water level

該問題水位方程可類似式（29）并按邊界對(duì)邊界的反映，得：

水位hw方程為：

流量方程為：

（3）抽水井靠近隔水邊界而遠(yuǎn)離左側(cè)河流邊界且抽水時(shí)間不很長(zhǎng)

此條件（圖8）只需考慮隔水邊界的作用，即虛1 井的作用必須考慮，而虛2 井與虛3 井等的作用可忽略不計(jì)。根據(jù)圖8，此時(shí)相關(guān)的 φ為：

圖8 抽水井靠近隔水邊界的鏡像影射示意圖Fig.8 Mirror image of the pumping well close to the impermeable boundary

該問題水位函數(shù)的解仿照式（45），注意抽水井對(duì)隔水邊界反映為抽水井，并考慮定水位邊界對(duì)隔水邊界的反映，得：

其中，

而抽水井水位hw方程 ：

由式（49）得到流量方程：

（4）當(dāng)較長(zhǎng)時(shí)間抽水需考慮多個(gè)虛井時(shí)

此時(shí)，必須考慮多次反映。

1）實(shí)井靠近河流邊界

根據(jù)無窮反映原理（圖9），得：

圖9 一條定水位邊界和一條平行隔水邊界，實(shí)井靠近定水位邊界的井流模型無窮反映示意圖Fig.9 Diagram of infinite reflection of the well flow model with a boundary of constant water level and a parallel impermeable boundary and a pumping well close to the boundary of constant water level

將無壓勢(shì) φ的定義代入，得水位方程：

此即具入滲補(bǔ)給的一條定水位邊界和一條平行隔水邊界區(qū)內(nèi)實(shí)井靠近定水位邊界井流的通用水位方程。求和項(xiàng)i（虛井）的取數(shù)，視邊界的作用可否忽略不計(jì)而定，此條件與井位、含水層參數(shù)及抽水延續(xù)時(shí)間等要素有關(guān)。

2）實(shí)井靠近隔水邊界

根據(jù)無窮反映原理（圖10），與圖9 不同，圖10 的1 號(hào)虛井為抽水井，且位于隔水邊界的右側(cè)。此條件的勢(shì)函數(shù)為：

這里的 ρi如圖10所示。由于虛井坐標(biāo)為：

圖10 一條定水位邊界和一條平行隔水邊界，實(shí)井靠近隔水邊界的井流模型無窮反映示意圖Fig.10 Diagram of infinite reflection of the well flow model with a boundary of constant water level and a parallel impermeable boundary and a pumping well close to the impermeable boundary

所以 ρi的表達(dá)式如下：

將無壓勢(shì) φ的定義代入，得水位方程：

（5）長(zhǎng)時(shí)間抽水形成穩(wěn)定井流

若t足夠大，則可形成穩(wěn)定井流，俄羅斯學(xué)者鮑契維爾[6]曾對(duì)相同側(cè)邊界的無入滲/無越流承壓水層穩(wěn)定井流導(dǎo)出相應(yīng)的公式，也可參考文獻(xiàn)[7]。他認(rèn)為當(dāng)時(shí)，可近似式計(jì)算。我們將其用于承壓含水層水頭降深s表示的方程，改為用勢(shì) φ表示的方程（以便轉(zhuǎn)化為潛水含水層的水位h方程），即：

將無壓勢(shì) φ的定義式代入上式，得水位方程：

利用文獻(xiàn)[6]的結(jié)果，得到抽水井的水位hw方程：

其流量方程為：

3 傍河（海）抽水井臨界抽水流量方程的建立

水質(zhì)不符合要求的河水（暫稱為“污染水”）的傍河抽水井，存在一個(gè)臨界抽水流量。若超過該流量，則“污染水”會(huì)入侵抽水井。作為上述建立理論的一個(gè)初步應(yīng)用，這里對(duì)前述兩平行定水位邊界井流情形進(jìn)行分析。

海邊界附近的潛水抽水井，同樣會(huì)遇到其臨界抽水流量問題。地下水可持續(xù)開采量評(píng)價(jià)中的排泄量減少諸要素中，截取地下水排泄入海以及地下水蒸發(fā)（也有稱其為無效蒸發(fā)），是真正無代價(jià)、可以“白得”的兩大要素。其他要素，往往是地下水與地表水互相轉(zhuǎn)化的關(guān)系，地下水補(bǔ)給的增量或排泄減量，是要付出代價(jià)的。由此可見，濱海區(qū)抽水井臨界流量的計(jì)算是極其重要的課題。

3.1 在河流1 附近抽水井的臨界抽水流量

為建立抽水井的臨界抽水流量方程，要求令xd等于零,顯然，此時(shí)河流邊界對(duì)抽水漏斗已經(jīng)明顯起作用。此時(shí)，要考慮左邊界，即1 號(hào)虛擬注水井的作用。由已求得此情形的水位方程式（29），對(duì)此方程沿x軸（y=0）關(guān)于x求導(dǎo)，并令得此情形下地下水分水點(diǎn)xd滿足下述方程：

取xd=0，此時(shí)抽水井的流量為臨界抽水流量Qc，即：

這就是傍河（海）抽水井（單井）的臨界抽水流量公式，其結(jié)構(gòu)十分簡(jiǎn)潔。該方程表明，臨界抽水流量Qc是隨抽水時(shí)間t的增大而減小，但它不會(huì)無限地減小，其極限值為：

其物理意義十分明確。記q為未抽水時(shí)，天然條件下地下水單（位）寬（度）流量，即：

在河1 邊界上，即x=0 處，單寬流量為：

于是式（66）可改寫為：

上式說明，傍河抽水井的臨界抽水流量是河1 邊界單寬流量乘以以 λ為半徑的圓周長(zhǎng)的1/2。這個(gè)臨界抽水流量，就是抽水井截取這個(gè)寬度的地下水入滲補(bǔ)給的流量。

要注意，式（65）的應(yīng)用是有前提的，也就是，右端（河流2）的定水位邊界還沒有明顯起作用。而式（66）（69）卻是式（65）的t趨于無限大的條件得到的。此時(shí)就意味著右邊的定水位邊界肯定起了明顯的作用。但是，式（66）（69）可作為式（65）的近似估計(jì)應(yīng)用（依此兩式計(jì)算Qc無需參數(shù)水位傳導(dǎo)系數(shù),有其優(yōu)點(diǎn)）。

據(jù)圖2（抽水井與注水井的分布，及其 ρi的大小）可以預(yù)計(jì)到，若考慮右側(cè)河流的作用，其Qc會(huì)稍微增大。

3.2 多個(gè)虛井起作用時(shí)抽水井的臨界抽水流量

如前所述，當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間抽水時(shí)，根據(jù)無窮反映原理，得到水位方程（37），對(duì)此方程沿x軸（y=0）關(guān)于x求導(dǎo)，并令得到此情形下，地下水分水點(diǎn)xd滿足下述方程：

利用此式計(jì)算上述流網(wǎng)的算例（基礎(chǔ)數(shù)據(jù)相同），虛井?dāng)?shù)i取15 項(xiàng)或16 項(xiàng)求和，計(jì)算得到xd≈2 404.23 m。

若上式中取xd=0，則Qw成為Qc，即：

由此得：

上式求和項(xiàng)若只取一項(xiàng)i=1，則得到前述3.1 節(jié)的結(jié) 果，即式（65）。

3.3 穩(wěn)定流狀態(tài)

如前所述，得到穩(wěn)定流狀態(tài)的水位方程式（39），對(duì)此方程沿x軸（y=0）關(guān)于x求導(dǎo)，并令得到地下水分水點(diǎn)xd所滿足的方程：

當(dāng)?shù)叵滤炙c(diǎn)移到河流邊界處，此時(shí)的流量為抽水井的臨界抽水流量。即：

由此得：

這就是傍河穩(wěn)定井流狀態(tài)臨界抽水流量公式。

4 結(jié)論

（1）對(duì)經(jīng)典的Theis（1935）不穩(wěn)定潛水井流模型做了改進(jìn)—具入滲補(bǔ)給（蒸發(fā)示為其負(fù)值）。建立了考慮均勻穩(wěn)定入滲補(bǔ)給條件下井流的解析模型，拓展了Theis 模型。

（2）研究涉及的是含入滲補(bǔ)給及抽水井的雙重作用的復(fù)雜水文地質(zhì)問題，我們將其分解為幾個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的子問題，而這些子問題，或者是比較容易求解，或者是已經(jīng)有了解。然后再把它們合成，形成原問題的解。

（3）研究的問題是復(fù)雜的非線性潛水運(yùn)動(dòng)問題。我們采用第二類線性化的勢(shì)函數(shù)來刻畫。如此比較有利于模型的分解及合成。

（4）為了同時(shí)考慮潛水含水層垂向的地面入滲補(bǔ)給以及水平方向的地表水體的補(bǔ)排這兩類補(bǔ)排關(guān)系，本文建立了以河流為代表的定水位邊界和隔水邊界所組成的兩類典型地區(qū)的井流問題，建立有關(guān)潛水位方程和流量方程，前者包括無窮反映的通用水位方程及常用的傍河（隔水邊界）抽水的水位方程等。使其不僅具理論意義而且有實(shí)用價(jià)值。如此，新的解析模型不僅可以進(jìn)行可持續(xù)開采量的評(píng)價(jià)和地下水開采動(dòng)態(tài)的預(yù)測(cè)。同時(shí)還可以為利用雨季抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)求取含水層有關(guān)參數(shù)提供基礎(chǔ)。

（5）由于經(jīng)典的Theis 模型區(qū)域是無限大，因此如果直接在Theis 模型（無定水位邊界）上加以入滲補(bǔ)給，會(huì)出現(xiàn)地下水位無限上升，這有悖于物理意義。因此，本文引入定水位的河流邊界，當(dāng)抽水井遠(yuǎn)離河流邊界，或者說河流邊界對(duì)抽水井的漏斗區(qū)還沒有明顯起作用時(shí)，這時(shí)的問題，就是Theis 不穩(wěn)定井流加上地面入滲補(bǔ)給的模型。從而使得本問題得以順利研究。

（6）本文提出并采用“邊界對(duì)邊界的反映法”用以求解一河流平行一隔水邊界條形區(qū)域的同一問題。減少了許多推導(dǎo)過程。

（7）本文根據(jù)所建立的理論方程，給出自然界的一個(gè)典型情景—具有入滲補(bǔ)給的河間地區(qū)存在一個(gè)抽水井形成的流網(wǎng)圖，在抽水井與河流1 之間存在一條喇叭口型的地下水分流線。它在地下水資源評(píng)價(jià)和管理上有重要的意義。如果在分流線之內(nèi)有污染的地下水，它會(huì)流入抽水井。抽水井下游的地下水穩(wěn)定分水點(diǎn)，會(huì)隨著抽水流量的增大而接近海/河邊界。當(dāng)分水點(diǎn)移到海/河邊界，這時(shí)就是地下水臨界抽水流量，即最大允許開采量。

（8）此外，本文對(duì)上述獲得的理論成果做了初步的應(yīng)用，也是個(gè)重要的應(yīng)用。即在河水水質(zhì)不能滿足要求的河流附近，有一口抽水井，建立了計(jì)算該抽水井在不汲取河水前提下的抽水井臨界流量方程，獲得具重要意義的、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔的關(guān)系式。該方程也可以用于濱海區(qū)的抽水井，在不發(fā)生海水入侵前提下的臨界抽水流量的計(jì)算。它的意義，似乎更具普遍性。

（9）在建立解析方程的過程中，假設(shè)滿足Dupuit假定。引入Dupuit 假定，對(duì)本問題解析研究可以降維（略去z變量）而使有關(guān)方程變得簡(jiǎn)單明了。然而實(shí)際上，在某些r斷面上是可能出現(xiàn)偏離Dupuit 假定的，主要在地下水分水嶺附近。這一點(diǎn)，Bear（1972）[8]有過相關(guān)的討論。即使沒有入滲補(bǔ)給的原始Theis 模型，如果潛水含水層厚度與兩邊界距離之比較大，且當(dāng)抽水井水位降深與潛水含水層厚度之比較大時(shí)，在抽水井附近也會(huì)出現(xiàn)偏離Dupuit 假定。已知非完整抽水井附近的三維流，向外逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槎S流（忽略z分量），此徑距r大約是含水層厚度的1.5 倍[7]。借助這一研究成果，估計(jì)Dupuit 假定（忽略z分量）不滿足的地段，可能不會(huì)大于含水層厚度的1.5 倍。上述種種偏離Dupuit 假定對(duì)解析結(jié)果影響的定量分析，還需要作另一專題研究。

認(rèn)識(shí)到Dupuit 假定在某些區(qū)段可能會(huì)有所偏離，那么在抽水試驗(yàn)求取含水層有關(guān)參數(shù)時(shí)，觀測(cè)孔的部署要盡量回避這些區(qū)段。

（10）對(duì)于不穩(wěn)定潛水井流問題，本身是非線的，本文釆用的是第二類線性化方法，其中將參數(shù)a(Khm/μd)視為常量。當(dāng)然，如果水位降深相對(duì)于潛水層厚度是個(gè)很小的比值，則可以近似取潛水層厚度，如同承壓含水層一樣。否則將存在hm如何取值的問題。這個(gè)問題既使對(duì)于無入滲補(bǔ)給的經(jīng)典Theis 模型也存在此類線性化帶來的平均值取值問題。這也是一個(gè)待研究的專題問題。