淺談不定積分的學習方法

張倩倩

（湖北大學知行學院 湖北·武漢 430011）

1 不定積分的重要性

在整個高等數(shù)學知識點中主要可分為一元函數(shù)積分學及應(yīng)用和多元函數(shù)積分學及應(yīng)用，其中多元函數(shù)積分可最終轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)多次積分，一元函數(shù)積分又根據(jù)積分區(qū)間分為不定積分、定積分、反常積分，定積分的求解方法中有一種是先當成不定積分求出原函數(shù)再利用牛頓-萊布尼茨公式求出最終數(shù)值，反常積分在求解題目過程中有時也需要先當成不定積分求出原函數(shù)，再利用牛頓-萊布尼茨公式和極限最終求出結(jié)果。所以針對整個積分學求解的方法來說，我們可重點探究不定積分的求解方法。

2 不定積分的三種求解方法

相比較而言，這三種方法中，直接積分法是最簡單的也是最基礎(chǔ)的，無論是換元法還是分部法在做題過程中都要用到直接法，它們不是相互獨立的關(guān)系，而是你中有我，我中有你的關(guān)系。在一道題中，這三種方法可能同時運用才能解出最終的結(jié)果。所以，這三種方法需要同時掌握，而不是只掌握一種，同時這也是很多同學認識不清的地方。在這幾年的教學過程中，發(fā)現(xiàn)大家對于積分的方法使用不太了解，每次做題都是盲猜。為了學生更好的掌握積分方法，我根據(jù)自己的做題的思路和學生的反饋總結(jié)出按照被積函數(shù)的類型可大致判定優(yōu)先使用積分的方法。

3 三種方法的優(yōu)先使用順序

被積函數(shù)中不含有對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)。步驟：（1）被積函數(shù)是基本初等函數(shù)（即冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的線性組合，則優(yōu)先使用直接積分法。（2）若被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)相乘的形式，則優(yōu)先使用分部積分法，見例1。（3）若被積函數(shù)中含有復(fù)合函數(shù)，則優(yōu)先使用換元積分法，見例2和例3。

求不出來結(jié)果。

被積函數(shù)中若只是兩個函數(shù)（指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)）相乘時，如不定積分，要使用兩次分部積分法。切記“從一而終，不可始亂終棄”。從一而終說的是遇到需多次使用分部積分方法的題時，第一次用分部積分法時無論選取指數(shù)函數(shù)還是三角函數(shù)，只要第二次使用分部積分法時在選取和時與第一次使用分部積分法選取的是同一種類型，則能得到最終結(jié)果，否則，無法得到正確結(jié)果。不但在做題過程中要秉承這一原則，在生活中也要有這樣的意識，這也是數(shù)學與文學、哲學的結(jié)合，在課堂教學過程中不但要教授知識，也要陶冶學生的情操，培養(yǎng)應(yīng)用型人才，把數(shù)學方法應(yīng)用到其他學科和人生這個大學科中。

換元積分法也是一種比較重要的方法，核心步驟在于第一步要找到換元的部分和最后一步再換回原來的積分變量。在上述解題過程中，用到了“湊”，把原本的被積函數(shù)湊成可以使用直接積分法的形式。