具有噪聲方差及多種網(wǎng)絡誘導不確定系統(tǒng)魯棒Kalman估計

楊春山,經(jīng)本欽,劉 政,王建琦

(桂林航天工業(yè)學院電子信息與自動化學院,廣西桂林 541004)

1 引言

因靈活便利、易維護和低成本,網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)和傳感器網(wǎng)絡受到廣泛關注,得到了快速發(fā)展[1–3].但由于傳感器的自身老化或故障,以及通信網(wǎng)絡的帶寬有限和不可靠性,也帶來一系列的問題,如各種網(wǎng)絡誘導不確定,觀測數(shù)據(jù)缺失[4]、數(shù)據(jù)包丟失[5–6]和時延[7]等.同時數(shù)據(jù)在傳送過程中很容易受到外界非線性很強的乘性噪聲的干擾.因此,網(wǎng)絡化系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題是非常必要且有意義的,也出現(xiàn)了大量的研究結(jié)果[8–22].對帶網(wǎng)絡誘導不確定和乘性噪聲的網(wǎng)絡化系統(tǒng)的狀態(tài)估計,常用的方法有Riccati方程方法[8–9]、線性矩陣不等式方法(LMI)[10–11]、最優(yōu)魯棒估計方法[12–14]和極大極小魯棒估計方法[15–22].文獻[8]利用觀測轉(zhuǎn)換和擴維方法,對帶范數(shù)有界參數(shù)不確定、隨機時延和丟包的網(wǎng)絡化系統(tǒng),通過Riccati方程方法,設計了魯棒Kalman濾波器,對所有可容許的不確定,保證誤差方差有上界.Riccati方程的求解多為迭代法,收斂性得不到保證,且不能解決帶噪聲方差不確定系統(tǒng)魯棒估計問題.文獻[10–11]對帶范數(shù)有界不確定和單一網(wǎng)絡誘導不確定(觀測缺失[10]和丟包[11])的系統(tǒng),使用LMI方法設計了魯棒濾波器,對所有的不確定性,每個狀態(tài)分量估計誤差方差不超過預置的上界.

假設噪聲統(tǒng)計精確已知的情形,使用擴維方法、新息方法和線性最小方差(LMV)方法,文獻[12–14]設計了最小方差意義下的最優(yōu)魯棒濾波器.該濾波器在隨機不確定干擾下可保證最優(yōu)性.文獻[12]使用擴維方法,對自相關過程噪聲、一步隨機觀測滯后和觀測缺失的系統(tǒng),設計了最優(yōu)濾波器.文獻[13]對帶乘性噪聲和丟包系統(tǒng),提出使用丟失觀測的預報值補償?shù)牟呗?使用新息方法和線性無偏最小方差估計準則,設計了最優(yōu)線性濾波器.文獻[14]對信道衰減的網(wǎng)絡化系統(tǒng),應用新息方法設計了最優(yōu)線性濾波器.

極大極小魯棒估計方法是對最壞情形保守系統(tǒng)設計最小方差濾波器,可極小化濾波誤差方差.常用的極大極小魯棒估計方法有H∞魯棒濾波方法[15–17]和基于Lyapunov 方程方法的極大極小魯棒濾波方法[18–22].H∞魯棒濾波可將不確定干擾到估計誤差的最壞情形能量增益極小化或小于預置指標,分別使用Riccati方程方法[15]、博弈論[16]和LMI方法[17]求解H∞濾波器.基于Lyapunov方程方法的極大極小魯棒估計原理,是假設噪聲方差未知不確定,但有已知保守上界,對帶保守上界的最壞情形系統(tǒng)設計最小方差濾波器,通過Lyapunov方程方法證明魯棒性.文獻[18–20]對帶不確定方差、乘性噪聲和單一的網(wǎng)絡誘導不確定系統(tǒng),研究了保最小上界魯棒Kalman估計問題,對所容許的不確定,保證實際誤差方差有最小上界,其中丟包[18]、觀測缺失[19]、隨機觀測滯后[20]3種網(wǎng)絡誘導不確定分別被考慮.在此基礎上,文獻[21–22]對不確定方差、乘性噪聲和兩種網(wǎng)絡誘導不確定系統(tǒng),解決了保最小上界魯棒Kalman估計問題,如隨機觀測滯后和丟包[21]、隨機觀測滯后和觀測缺失[22]分別被考慮.目前,綜合評價系統(tǒng)中同時具有不確定方差、乘性噪聲和3種網(wǎng)絡誘導不確定(觀測缺失、丟包和隨機觀測滯后)的魯棒估計問題尚未見報道.

本文對不確定噪聲方差、乘性噪聲、觀測缺失、丟包和一步隨機觀測滯后的混合不確定網(wǎng)絡化系統(tǒng),應用帶虛擬噪聲的擴維方法將其轉(zhuǎn)化為等價的帶隨機參數(shù)的擴維系統(tǒng),然后應用去隨機參數(shù)方法轉(zhuǎn)化為常參數(shù)、噪聲統(tǒng)計時變且相關的系統(tǒng).基于極大極小魯棒估計原理,設計魯棒時變和穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.應用擴展的Lyapunov方程方法(包括兩個廣義Lyapunov方程)和矩陣分解方法證明了魯棒性.完成了收斂性和精度關系證明.

本文中Rn表示n維Euclidean空間,Rn×n表示n×n矩陣,Prab(A)表示事件A發(fā)生的概率,上標“s”和“T”表示穩(wěn)態(tài)和矩陣的轉(zhuǎn)置,E[A]表示隨機變量的數(shù)學期望,tr(·)表示矩陣的跡,diag{·}表示對角陣,In表示n階單位矩陣,O 表示適當維數(shù)的零矩陣,?和δij表示Kronecker乘積和Kronecker函數(shù).

2 問題描述

考慮帶不確定噪聲方差、乘性噪聲、觀測缺失、丟包和一步隨機觀測滯后的混合不確定網(wǎng)絡化系統(tǒng)

其中:x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量,z(t)∈Rm為傳感器的觀測輸出;傳感器輸出經(jīng)傳輸網(wǎng)絡傳送到估值器的觀測為y(t)∈Rm;w(t)和v(t)分別為系統(tǒng)的輸入噪聲和觀測噪聲;γi(t)為狀態(tài)相依乘性噪聲,Φ,,Γ和H為已知適當維數(shù)的常陣.

傳感器老化或故障、連接傳感器和估值器的傳輸網(wǎng)絡帶寬有限和不可靠性等原因,將導致觀測缺失、數(shù)據(jù)包丟失和觀測隨機延遲或滯后,本文使用ξ(t)和λ(t)兩個Bernoilli隨機變量共同描述這些不確定.ξ(t)和λ(t)不相關于w(t),v(t)和γi(t),它們?nèi)≈?或0的概率為

其中0 ≤πλ,πξ≤1.由式(2)和式(3),有以下4種情形:

1) 如果ξ(t)=1,λ(t)=1,表示傳感器和傳輸網(wǎng)絡均正常工作,估值器及時收到正確的數(shù)據(jù).

2) 如果ξ(t)=1,λ(t)=0,表示傳感器輸出正常,傳輸網(wǎng)絡異常,估值器不會及時收到正確的數(shù)據(jù),則使用前一時刻的傳感器觀測輸出進行估計,則y(t)=z(t-1),即一步觀測滯后.

3) 如果ξ(t)=0,λ(t)=1,表示傳感器輸出的數(shù)據(jù)包僅包含觀測噪聲,而傳輸網(wǎng)絡正常,但估值器無法識別和判斷這樣錯誤的數(shù)據(jù),仍然使用收到的觀測進行估計,則y(t)=v(t),發(fā)生觀測缺失.

4) 如果ξ(t)=0,λ(t)=0,表示傳感器和傳輸網(wǎng)絡均異常,則使用前一時刻估值器收到的觀測y(t-1)進行估計,y(t)=y(t-1),即發(fā)生了丟包.

注1觀測缺失和丟包容易混淆,觀測缺失一般發(fā)生在傳感器節(jié)點,傳感器獲得并封裝的數(shù)據(jù)不包含狀態(tài)信息,僅包含觀測噪聲v(t).該數(shù)據(jù)包經(jīng)傳輸網(wǎng)絡傳送到估值器,估值器不能通過差錯檢驗分辨數(shù)據(jù)包的錯誤,仍使用僅包含觀測噪聲的數(shù)據(jù)包進行估計.而丟包是傳感器節(jié)點獲得正確的數(shù)據(jù)并封裝,但經(jīng)傳輸網(wǎng)絡傳送過程中,因網(wǎng)絡的不可靠性等原因,該數(shù)據(jù)包沒有被傳送到估值器,發(fā)生的數(shù)據(jù)包丟失.

注2對實際系統(tǒng)和保守系統(tǒng)定義如下:帶實際方差的系統(tǒng)(1)–(3)稱為實際系統(tǒng),它的狀態(tài)和觀測分別稱為實際狀態(tài)和實際觀測.帶方差的已知保守上界Q,R,和P0的系統(tǒng)(1)–(3)稱為最壞情形(保守)系統(tǒng),它的狀態(tài)和觀測分別稱為保守狀態(tài)和保守觀測.實際觀測是通過傳感器獲得的,是已知可利用的;而保守觀測是未知不可利用的.極大極小魯棒估計原理是對最壞情形系統(tǒng)(帶最大噪聲方差和初始狀態(tài)方差保守系統(tǒng))設計最小方差估值器,即極大極小魯棒估值器.

本文對不確定噪聲方差、乘性噪聲、觀測缺失、丟包和一步隨機觀測滯后網(wǎng)絡化系統(tǒng)(1)–(3),基于極大極小魯棒估計原理,設計魯棒時變Kalman估值器?x(t|t+N)和魯棒穩(wěn)態(tài)Kalman估值器(t|t+N),其中N=-1時為預報器,N=0時為濾波器,N ＞1時為平滑器.

3 模型轉(zhuǎn)換

定義虛擬噪聲

并引入擴維的系統(tǒng)狀態(tài)xa(t)和噪聲wa(t)

則原系統(tǒng)(1)–(3)等價于擴維系統(tǒng)

則擴維系統(tǒng)(8)和(9)可轉(zhuǎn)化為帶常參數(shù)和時變虛擬噪聲統(tǒng)計的系統(tǒng)

其中定義虛擬噪聲

為獲得wf(t)和vf(t)的噪聲統(tǒng)計特性,首先給出幾個相關引理,引理證明見附錄.

引理1[6]若Ri ∈Rmi×mi和D ∈Rm×m是半正定的,則有

引理2在假設1–3下,對所有可容許的不確定方差(6),x(t)的保守和實際非中心二階矩X(t)和(t)分別滿足以下廣義Lyapunov方程:

帶保守和實際的初值分別為

引理3在假設1–3下,對所有可容許的不確定方差(6),wa(t)是均值為零的白噪聲,有保守和實際的方差

wa(t)與v(t)是線性相關的,保守和實際的相關矩陣為

且ΔQa(t)=Qa(t)-(t)是半正定的,即

引理4在假設1–3下,對所有可容許的不確定方差(6),擴維狀態(tài)xa(t)的保守和實際非中心二階矩Xa(t)和(t)分別滿足以下廣義Lyapunov方程:

且wf(t)和vf(t)是線性相關的,保守和實際的相關陣分別為

問題轉(zhuǎn)化為對常參數(shù)、線性相關噪聲的不確定虛擬噪聲方差時變擴維系統(tǒng)(17)和(18),設計極大極小魯棒Kalman估值器.再利用x(t)和xa(t)的關系,可得原始系統(tǒng)的魯棒Kalman估值器.

4 魯棒時變Kalman估值器

4.1 魯棒時變Kalman預報器

對帶虛擬噪聲方差保守上界Qf(t),Rf(t)和相關陣Sf(t)的最壞情形擴維系統(tǒng)(17)和(18),在假設1–3條件下,應用極大極小魯棒估計原理,保守時變Kalman預報器[18]

4.2 魯棒時變Kalman濾波器和平滑器

定理2對于帶虛擬噪聲方差保守上界Qf(t),Rf(t)和相關陣Sf(t)的最壞情形擴維系統(tǒng)(17)和(18),在假設1–3下,實際時變Kalman濾波器和平滑器(48)是魯棒的,即對所有容許的不確定性(6),有

注3稱實際Kalman預報器(37)和實際濾波器和平滑器(48)為魯棒Kalman估值器,稱不等式(46)和(54)為它們的魯棒性.魯棒Kalman估值器(37)和(48)均為固定的估值器,它們的參數(shù)僅與虛擬噪聲方差保守上界有關,與不確定實際方差無關,它可保證實際估計誤差方差有最小上界,即滿足式(46)和式(54).

推論1根據(jù)x(t)和xa(t)的關系,原始系統(tǒng)(1)–(3)的魯棒時變Kalman估值器為

其中Cx=[In,O,O],實際和保守的估值誤差方差為

且P(t|t+N)是實際方差陣(t|t+N)的最小上界.

定理3帶不確定噪聲方差、乘性噪聲、觀測缺失、丟包和一步隨機觀測滯后的混合不確定網(wǎng)絡化系統(tǒng)(1)–(3),在假設1–3下,魯棒時變Kalman估值器有以下矩陣不等式精度關系

和矩陣跡不等式精度關系

證由定理1和2,以及推論1,易得不等式(59)成立.根據(jù)文獻[18]易得式(60)成立.對式(59)和式(60)取跡運算,可分別得式(61)和式(62)成立.

證畢.

5 收斂性分析

定義矩陣A和B分別為

如果A和B的譜半徑小于1,即ρ(A)＜1和ρ(B)＜1,則有

注4文獻[23–26]對不確定隨機觀測網(wǎng)絡化系統(tǒng),研究了隨機變量概率對估計誤差收斂性的影響.其中,文獻[23]使用Bernoilli隨機變量描述隨機觀測數(shù)據(jù),對不穩(wěn)定但能觀能控系統(tǒng),給出了隨機變量概率的閾值,當觀測數(shù)據(jù)到達的概率大于閾值,估計誤差方差對任意初值有界.當觀測數(shù)據(jù)到達的概率小于閾值,估計誤差方差對有些初值發(fā)散.文獻[24]提出當隨機變量概率接近1時,隨機誤差方差集合滿足好速率函數(shù)的中偏差原理.文獻[25]對帶不確定參數(shù)和隨機觀測系統(tǒng)設計了魯棒遞推狀態(tài)估值器,并分析了漸進統(tǒng)計特性,給出了偽方差陣收斂于平穩(wěn)分布的充要條件.在此基礎上,文獻[26]對馬爾科夫鏈描述的隨機觀測系統(tǒng),給出了收斂速率和可簡化計算的逼近平穩(wěn)分布的顯示公式.與文獻[23–26]不同,本文對帶噪聲方差和多種網(wǎng)絡誘導不確定系統(tǒng),設計極大極小魯棒Kalman估值器,對最壞情形系統(tǒng)設計最小方差估值器.對所有容許的不確定(包括網(wǎng)絡誘導不確定),保證實際估計誤差方差有最小上界.ρ(A)＜1和ρ(B)＜1引出Φ和是穩(wěn)定矩陣,這保證了穩(wěn)態(tài)Kalman預報器存在.基于穩(wěn)態(tài)預報器,可得到穩(wěn)態(tài)濾波器和平滑器.

且Pa(N)是實際方差(N)的最小上界.

定理4對時變和定常擴維系統(tǒng)(17)和(18),在假設1–3和ρ(A)＜1和ρ(B)＜1條件下,假設觀測y(t)有界,時變擴維系統(tǒng)(17)和(18)是完全能檢和完全能穩(wěn)的,則帶保守時變噪聲統(tǒng)計Qf(t),Rf(t)和Sf(t)的時變系統(tǒng)的魯棒時變Kalman估值器按實現(xiàn)收斂于帶保守定常噪聲統(tǒng)計Qf,Rf和Sf的定常系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)態(tài)Kalman估值器(t|t+N),即

符號“i.a.r.”表示按一個實現(xiàn)收斂,相應的誤差方差Pa(t|t+N)和(t|t+N)有收斂關系

證ρ(A)＜1和ρ(B)＜1引出Φ和是穩(wěn)定矩陣,這保證了穩(wěn)態(tài)Kalman估值器存在.應用自校正Riccati的收斂性,動態(tài)誤差分析方法[27]和動態(tài)方差誤差分析方法,類似于文獻[18]中的證明,可得式(81)和式(82)給出的收斂性關系.證畢.

推論2在定理4條件下,原始系統(tǒng)(1)–(3)的魯棒穩(wěn)態(tài)Kalman估值器為

相應的實際和保守穩(wěn)態(tài)估值誤差方差分別為

對所有容許的不確定性(6),原始系統(tǒng)(1)–(3)的實際穩(wěn)態(tài)Kalman估值器有矩陣不等式和矩陣跡精度關系

且Pa(N)是實際方差(N)的最小上界.還有收斂關系

注5定義魯棒穩(wěn)態(tài)Kalman估值器的實際誤差方差的跡tr(N)為實際精度,保守誤差方差的跡(N)為魯棒精度[6].在不等式(85)中,取N=-1,記P(-1)和(-1)的第(j,j)個對角元素分別為和,它們是魯棒精度trP(-1)和實際精度tr ˉP(-1)的第j個分量.定義σj和分別為魯棒Kalman預報器的第j個分量的魯棒和實際標準差.則引出精度關系≤σj,j=1,···,n.應用切比雪夫不等式[28],有第j個分量的實際預報誤差以大于0.8889的概率落在±3區(qū)間內(nèi),也落在±3σj區(qū)間內(nèi).特別地,當預報誤差服從正態(tài)分布時,預報誤差在±3內(nèi)的概率超過0.99.

6 仿真算例

考慮F-404航空發(fā)動機系統(tǒng)[29],采樣周期T0=0.1 s,則離散線性系統(tǒng)矩陣

在F-404航空發(fā)動機模型中,x1(t)和x2(t)表示水平位置,x3(t)表示飛行高度.在實際應用中,發(fā)動機系統(tǒng)模型會受到強風、重力梯度和傳感器噪聲等影響.機載監(jiān)控系統(tǒng)可通過傳感器獲得發(fā)動機狀態(tài)信息,但軍事環(huán)境下,傳感器和傳輸網(wǎng)絡易受到干擾和攻擊,因此發(fā)動機監(jiān)控系統(tǒng)中易出現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)缺失、丟包和隨機時延等不確定性.在仿真中,系統(tǒng)(1)–(3)中其他參數(shù)為

圖1 魯棒時變Kalman估值器的實際和魯棒精度Fig.1 The actual and robust accuracy of robust time-varying Kalman estimators

表1 魯棒穩(wěn)態(tài)Kalman估值器的實際和魯棒精度Table 1 The actual and robust accuracy of robust steady-state Kalman estimators estimators

圖2給出了水平位置x1(t)和x2(t)的二步平滑估值,藍色實線表示實際狀態(tài),紅色虛線表示實際二步平滑器.

圖2 水平位置及其實際二步平滑器Fig.2 The horizontal position and their actual 2-step smoothers

取ρ=10000的Monte Carlo仿真,魯棒Kalman預報器和平滑器的的均方誤差(MSE)曲線如圖3所示.其中直線表示實際預報和平滑誤差的方差的跡,曲線表示相應的MSE的值.從圖3看到,當ρ足夠大時,MSE曲線接近直線,這驗證了實際采樣方差的一致性.

圖3 魯棒Kalman預報器和平滑器的MSE曲線Fig.3 The MSE curves of robust Kalman predictor and smoother

在式(4)中,概率πλ和πξ的值越高,說明發(fā)生傳感器故障和傳輸網(wǎng)絡異常的情形越少,則實際估計誤差越小.為驗證這一情況,定義

則π表示觀測缺失、丟包和隨機滯后3種網(wǎng)絡誘導不確定發(fā)生的概率.圖4給出了魯棒和實際精度trP(N)和tr(N),N=-1,0,1隨π變化情況.可以看到,當π增加時,trP(N)和tr(N)是增加的.

圖4 魯棒和實際精度隨π變化情況Fig.4 The variation of robust and actual accuracy with π

進一步考慮不確定噪聲方差的影響,對所有可容許的實際方差,定義

圖5給出了魯棒Kalman預報器實際精度trP(-1)隨α和π變化三維圖.可以看到trP(-1)隨著α和π的增加而增加.

圖5 魯棒預報器實際精度隨α和π變化Fig.5 The variation of robust prediction actual accuracy with α and π

可得3組水平位置x1(t)的預報估值(t+1|t),l=a,b,c,及相應的預報誤差曲線和魯棒±3σ和實際±標準差線如圖6所示.可看到超過99%的預報誤差落在±,l=a,b,c區(qū)間內(nèi),也落在±3σ區(qū)間內(nèi).

圖6 x1(t)的實際預報誤差及±3倍魯棒和實際標準差Fig.6 The prediction errors of x1(t)and their±3 robust and actual standard deviations

7 結(jié)論

本文研究了混合不確定網(wǎng)絡化系統(tǒng)魯棒Kalman估計問題,同時考慮了不確定噪聲方差、乘性噪聲和三種網(wǎng)絡誘導不確定,克服了現(xiàn)有文獻僅考慮兩種網(wǎng)絡誘導不確定的局限,發(fā)展了現(xiàn)有文獻的結(jié)果.提出了基于虛擬噪聲進行擴維的新模型轉(zhuǎn)換方法,以及基于擴展的Lyapunov方程方法的新魯棒性證明方法,可用于解決更加復雜的混合不確定網(wǎng)絡化系統(tǒng)魯棒Kalman估計問題及魯棒性證明問題.

本文基于擴展的Lyapunov方程方法和極大極小魯棒估計方法,設計了魯棒時變和穩(wěn)態(tài)Kalman估值器,給出了時變和穩(wěn)態(tài)估值器的收斂性分析,當系統(tǒng)矩陣是穩(wěn)定矩陣,擴維系統(tǒng)完全能穩(wěn)時,相應的魯棒時變Kalman估值器按實現(xiàn)收斂于穩(wěn)態(tài)Kalman估值器.但系統(tǒng)矩陣是穩(wěn)定的條件在實際應用中限制較為嚴格,下一步將對不穩(wěn)定網(wǎng)絡化系統(tǒng)設計魯棒估值器,并研究網(wǎng)絡誘導不確定對魯棒估值器的魯棒性和收斂性的影響等問題.

附錄