Geogebra動態(tài)模擬帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡圖

盛天霖

摘 要：近年江蘇高考最后一題著重考查帶電粒子在磁場中運(yùn)動的各類問題，教師僅用板書難以展示其中動態(tài)變化過程，故本文利用Geogebra對近年江蘇高考有關(guān)有界磁場問題分類進(jìn)行動態(tài)模擬，可以得到動態(tài)變化的帶電粒子運(yùn)動軌跡，簡化作圖操作，便于學(xué)生理解物理情境。

關(guān)鍵詞：Geogebra;模擬;帶電粒子;江蘇高考

帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動分析是高中物理教學(xué)的難點(diǎn)，其中動態(tài)變化的軌跡很難以板書的形式展現(xiàn)。筆者利用Geogebra進(jìn)行模擬，把動態(tài)軌跡中的規(guī)律與臨界情況直觀地展現(xiàn)出來。

一、放縮問題

（一）課件原題

（2020年江蘇）如圖1，空間存在兩個(gè)垂直于Oxy平面的勻強(qiáng)磁場，y軸為兩磁場的邊界，磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為2B0、3B0。甲、乙兩種比荷不同的粒子同時(shí)從原點(diǎn)O沿x軸正向射入磁場，速度均為v，甲第1次、第2次經(jīng)過y軸的位置分別為P、Q，其軌跡如圖所示，甲經(jīng)過Q時(shí)，乙也恰好同時(shí)經(jīng)過該點(diǎn).已知甲的質(zhì)量為m，電荷量為q.不考慮粒子間的相互作用和重力影響。求：

（1）Q到O的距離d;

（2）甲兩次經(jīng)過P點(diǎn)的時(shí)間間隔Δt;

（3）乙的比荷可能的最小值。

（二）課件原理

本題中已知粒子入射速度大小和方向均不變，兩側(cè)磁場比值為2∶3，可以確定兩側(cè)軌跡半圓的半徑之比為3∶2，在第三問中乙粒子的比荷與甲不同，故只有圓周運(yùn)動的半徑不同，而運(yùn)動軌跡則為甲粒子運(yùn)動軌跡的等比例縮放。根據(jù)乙粒子的比荷與甲粒子比荷比值定義新量qm，來聯(lián)系甲粒子右側(cè)軌跡半徑R1與乙粒子右側(cè)軌跡半徑R2的大小關(guān)系（即縮放比例）。

課件鏈接：https：//www.geogebra.org/m/y9gvwrqq

（三）課件說明

第一問：作出右側(cè)半圓與左側(cè)半圓后，根據(jù)和求出R1和r1表達(dá)式，得Q到O的距離，d即為每一次循環(huán)后的y軸偏移量。

第二問：甲粒子的軌跡為第一、第二個(gè)半圓軌跡不斷銜接，在作出第六個(gè)半圓后，乙粒子第二次經(jīng)過P點(diǎn)，記甲粒子在第一、二象限內(nèi)運(yùn)動的周期為T1、T2.對兩側(cè)半圓的計(jì)數(shù)得：兩次經(jīng)過P點(diǎn)的時(shí)間間隔為2次右半圓與3次左半圓：.

第三問：顯示乙粒子軌跡（虛線）后，右擊qm滑動條，“啟動動畫”即可觀察隨比荷變化的乙粒子的動態(tài)軌跡.在一些特定qm值時(shí)，乙粒子能經(jīng)過Q點(diǎn).為了更加細(xì)致地觀察，可以手動拖動qm滑動條。如qm=從1到1.5過程中，第四個(gè)半圓的終點(diǎn)正接近Q點(diǎn)（如圖2）;

當(dāng)qm=2時(shí)，第四個(gè)半圓的終點(diǎn)恰能從第二象限經(jīng)過Q點(diǎn)（如圖3）;

當(dāng)qm=3，可能在第一個(gè)半圓結(jié)束時(shí)經(jīng)過Q點(diǎn)，也可能在第六個(gè)半圓后經(jīng)過Q點(diǎn)（如圖4）。

以此類推，可將經(jīng)過Q點(diǎn)的情況分為從第一象限經(jīng)過Q點(diǎn)和第二象限經(jīng)過Q點(diǎn)，分別由時(shí)間和位移兩個(gè)方程進(jìn)行約束.記乙粒子在、二象限內(nèi)圓周運(yùn)動的周期為T'1、T'2，每次循環(huán)的y軸偏移量為d'。

當(dāng)粒子從第一象限經(jīng)過Q點(diǎn)，時(shí)間關(guān)系為：

（1）

位移關(guān)系為：（2）

結(jié)合以上式子，n無解。

當(dāng)粒子從第二象限經(jīng)過Q點(diǎn)，時(shí)間關(guān)系為：

（3）

位移關(guān)系為：（4）

計(jì)算可得

符合題意，故比荷比值取2為最小值。

二、平移問題

（一）課件原題

（2017年江蘇）一臺質(zhì)譜儀的工作原理如圖5所示，大量的甲、乙兩種離子飄入電壓力為U0的加速電場，其初速度幾乎為0，經(jīng)過加速后，通過寬為L的狹縫MN沿著與磁場垂直的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，最后打到照相底片上，已知甲、乙兩種離子的電荷量均為+q，質(zhì)量分別為2m和m，圖中虛線為經(jīng)過狹縫左、右邊界M、N的甲種離子的運(yùn)動軌跡，不考慮離子間的相互作用。

1.求甲種離子打在底片上的位置到N點(diǎn)的最小距離x;

2.在答題卡的圖中用斜線標(biāo)出磁場中甲種離子經(jīng)過的區(qū)域，并求該區(qū)域最窄處的寬度d;

3.若考慮加速電壓有波動，在（）到（）之間變化，要使甲、乙兩種離子在底片上沒有重疊，求狹縫寬度L滿足的條件。

（二）課件原理

甲種粒子入射速度不變，入射位置在L區(qū)間內(nèi)移動，運(yùn)動軌跡為半圓的平移，可利用“顯示軌跡”功能追蹤其所到區(qū)域.在第三問中，甲乙粒子的運(yùn)動軌跡既有平移，又有放縮，可拖動滑動條，逐步呈現(xiàn)動態(tài)變化過程。

課件鏈接：https：//www.geogebra.org/m/uct4kyvb

（三）課件說明

第一問：選中甲粒子的軌跡c，右擊勾選開啟跟蹤，從0至3拖動滑動條d甲，即可顯示甲粒子運(yùn)動范圍（如圖6），在M點(diǎn)出射的粒子距離N最近，距離為2R1-L。

第二問：邊界最窄處為M射出的粒子與N射出的粒子軌跡的交點(diǎn)，作輔助線，選擇“線段”工具，單擊最窄處下邊界，再沿著垂直方向單擊x軸，建立BC線段;再單擊B點(diǎn)與從N出射的半圓圓心，建立BA線段（如圖7），在從N射出的半圓軌跡中解△ABC，AC距離為，由勾股定理得：。

第三問：因電壓波動，甲乙粒子的半徑是動態(tài)變化的，做出兩個(gè)極值點(diǎn)即可明確其運(yùn)動范圍.

分別拖動d甲和d乙，通過動態(tài)演示，要使兩種粒子沒有重疊，讓乙粒子在N處發(fā)出的最遠(yuǎn)端與甲粒子在M處發(fā)出的最近端不重合（如圖8）。幾何關(guān)系為：2R1左=L+2R2右，代入求解可得L范圍：。

結(jié)束語

Geogebra簡單易學(xué)，免費(fèi)且功能強(qiáng)大，同時(shí)課件分享便捷，課件公開發(fā)布后生成鏈接，可直接在網(wǎng)頁中展示與下載，教師可根據(jù)教學(xué)需要修改參數(shù)、新建模型，利用好動態(tài)演示與顯示軌跡這兩項(xiàng)功能，讓課堂教學(xué)事半功倍。

參考文獻(xiàn)

[1]陳林，桑芝芳.GeoGebra軟件在磁場教學(xué)中的案例分析：以磁場“動態(tài)圓問題”為例[J].中學(xué)物理（高中版），2020，038（003）：50-53.

[2]陳燕，楊成明.Matlab模擬描繪帶電粒子在磁場中運(yùn)動軌跡圖[J].物理教師，2020，041（003）：72-73，77.