2021年黑龍江省東部地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷分析報告

孫秀云

2021年黑龍江省東部地區(qū)中考命題工作由鶴崗市負責(zé)。本著“突出能力，注重基礎(chǔ)，創(chuàng)新為魂”的命題原則，中考命題組按照《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的有關(guān)要求，突出了數(shù)學(xué)學(xué)科是基礎(chǔ)學(xué)科特點，在堅持全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、方法和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上，積極探索試題的創(chuàng)新形式，試卷層次分明、難易有度。本次試題難度適中，易中難比例系數(shù)為8：1.5：0.5符合學(xué)生的認知水平。這既有考查基礎(chǔ)知識、基本技能的基礎(chǔ)題，又有考查數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的領(lǐng)悟及數(shù)學(xué)思維水平的區(qū)分題。試題立意鮮明，取材新穎，設(shè)計巧妙，貼近學(xué)生生活實際，體現(xiàn)了時代氣息與人文精神的要求。同時整套試卷鼓勵學(xué)生創(chuàng)新，加大創(chuàng)新意識的考查力度，突出試題的探索性和開放性，充分體現(xiàn)課改精神。

一、試題總體設(shè)計

2021年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷沿用以往的試卷格式，但內(nèi)容更貼近生活實際，體現(xiàn)應(yīng)用價值。本次試題依據(jù)新課標(biāo)的要求，從學(xué)生熟悉的生活索取題材，把枯燥的知識生活化、情景化，讓學(xué)生從中體驗、感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的必要性、實用性和應(yīng)用價值。試卷注重基礎(chǔ)知識的考查，設(shè)置選擇題、填空題、解答題三種題型，共28道試題。試題取材廣泛，但有一定的區(qū)分度。

試題體現(xiàn)了對學(xué)生計算能力、綜合分析能力、解決實際問題能力等方面的綜合測試。試題從學(xué)科知識、思想方法和學(xué)習(xí)能力出發(fā)，堅持“用數(shù)學(xué)分析問題”的理念，朝著注重素質(zhì)和能力考查的方向前進，多層次地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和邏輯思維。整套試卷體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的靈活性、實用性、創(chuàng)新性。

二、試卷結(jié)構(gòu)情況

2021年中考數(shù)學(xué)試卷共三大板塊，分別為選擇題、填空題、解答題，計28小題。其中第一大題為選擇題，共10道題，第二大題為填空題，共10道題，解答題共8道題，見表1。

其中容易題約96分，中等題約18分，難題約6分，三檔題目分值比值約為8：1.5：0.5。

三、試題的內(nèi)容分布

試卷考點分布面較廣，全面考查了初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”三個板塊的知識點，覆蓋率達98﹪以上，見表2。試卷重點對數(shù)、式、方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計、概率、三角形、三視圖、四邊形、圖形變換、相似形、解直角三角形、圓等知識進行考查，延續(xù)加大二次函數(shù)的考查力度。具體知識點考查如表3所示。

試題編排從最基本的知識開始，由易到難，緩慢提高，不僅突出對四基的考查，還關(guān)注學(xué)生思維能力、運算能力和創(chuàng)新能力的考查。試題的起點非常低，有相當(dāng)數(shù)量的題目可以在現(xiàn)行教材中找到原型，譬如選擇題的第1到7題，解答題的27題等。對于絕大多數(shù)考生來說，這些試題是比較容易的，這體現(xiàn)了對學(xué)生基本知識的考查和人文關(guān)懷;同時試題的設(shè)置又具較明顯的梯度，綜合題入口寬而易，出口高而新，例如第28題。

四、結(jié)合2021年中考數(shù)學(xué)試卷的閱卷情況對部分試題進行分析

題1：（黑龍江省東部地區(qū)中考第8題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，? 垂足為E，頂點A在第二象限，頂點B在y軸正半軸上，反比例函數(shù)y=?（k≠0，x>0）的圖象同時經(jīng)過頂點C、D.若點C的橫坐標(biāo)為5，BE=2DE ，則k的值為（? ? ?）

分析：本題考查考生對于菱形對角線相互垂直、鄰邊相等等相關(guān)性質(zhì)掌握情況。反比例函數(shù)k值等于橫縱坐標(biāo)相乘，坐標(biāo)軸解題常需過點向x軸、y軸做垂直，根據(jù)特殊角度得出點坐標(biāo)。這需要考生有數(shù)形結(jié)合思維，同時思考多個知識點，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的中心對稱美。部分學(xué)生不能把反比例函數(shù)與菱形相關(guān)知識有機結(jié)合，運用多個知識點分析問題、解決問題能力不足。

題2：（中考第10題）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E在BC的延長線上，連接DE，點F是DE的中點，連接OF交CD于點G，連接CF，若CE=4，OF=6.則下列結(jié)論：①GF=2;②OD=OG;③tan∠CDE=?;④∠ODF=∠OCF=90？紫;⑤點D到CF的距離為.其中正確的結(jié)論是（? ? ）

A.①②③④? ? B.①③④⑤? ?C.①②③⑤? ? D.①②④⑤

分析：多結(jié)論判斷題延續(xù)2020年的改革，將原來的“正確的結(jié)論有幾個”改為“選擇哪幾個結(jié)論是正確的”，難度有所下降。該題考查三角形、正方形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)值等有關(guān)知識，也考查學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換的思想。這需要學(xué)生具備一定的“圖感”，需要熟練掌握一些基本圖形的結(jié)論，才能構(gòu)建綜合的數(shù)學(xué)模型，此題綜合性強。解決此題的關(guān)鍵點：GF為△DCE的中位線，求出GF=2，OG=4，利用勾股定理求出OD，算出∠CDE的正切值，得出①②③并排除④，正確答案選項C。

這樣一分析，發(fā)現(xiàn)今年的“哪幾個結(jié)論正確”比往年的“正確結(jié)論有幾個”還要容易得分。但建議日常教學(xué)中不要使用排除法，應(yīng)對所有結(jié)論逐一分析、驗證，才能使學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識，掌握基本圖形及其相關(guān)結(jié)論。

題3：（中考第19題）在矩形ABCD中，AB=2cm，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點B與點D重合，折痕與直線AD交于點E，且DE=3cm，則矩形ABCD的面積為? ? ? ? ? ?cm2.

分析：本題為幾何多解問題，需要學(xué)生自己畫圖解答。此題多解比較隱藏，需要討論CD>2cm和CD<2cm兩種情況，在畫折痕時只需要做BD的垂直平分線即可，最后運用垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理解題。本題是填空題中難度最大的一道題，也是丟分最多的一道題。閱卷時發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生得出答案，卻因為填空題答案為多項式時，結(jié)果應(yīng)加括號，部分學(xué)生未加括號而丟分。這說明很多學(xué)生已經(jīng)開始重視多解題型的訓(xùn)練，但是因為細節(jié)問題而失分。

題4 ：（中考第20題）如圖，菱形ABCD中，∠ABC=120？紫，AB=1，延長CD至A1，使DA1=CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1;再延長C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1為一邊，在CC1的延長線上作菱形A2C1C2D2，連接A1A2，得到△A1D1A2……按此規(guī)律，得到 △A2020D2020A2021，記△ADA1 的面積為 S1，△A1D1A2的面積為S2……△A2020D2020A2021的面積為S2021，則S2021=

分析： 20題是一道綜合性的填空題，典型的探索規(guī)律試題。它主要考查了：菱形、等邊三角形變化規(guī)律問題，與以往的在坐標(biāo)系中找點坐標(biāo)、面積等變化規(guī)律問題相比，降低了難度和計算量，有較高的思維含量。如果學(xué)生能抓住每個等邊三角形邊長的變化規(guī)律，先算出第2021個陰影三角形的邊長，再推算面積會減少很多計算量。但是批卷過程中能看出不少學(xué)生雖然能推算出規(guī)律，但是沒有化成最簡單的書寫格式，或者書寫格式不規(guī)范而導(dǎo)致丟分。此題在填空題中得分第二低，可能學(xué)生對于填空題的最后一題出于畏懼心理主動放棄，也是得分低的原因之一。

題5 ：（中考第23題）如圖，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，頂點為點D.

（1）求拋物線的解析式;

（2）點P是對稱軸左側(cè)拋物線上的一個動點，點Q 在射線ED上，若以點P、Q、E為頂點的三角形與△BOC相似，請直接寫出點P的坐標(biāo).

分析：本題考查二次函數(shù)解析式及相似三角形、等腰三角形的綜合應(yīng)用。該題本著加大二次函數(shù)的考查力度，做好初高中數(shù)學(xué)知識點銜接的統(tǒng)籌思想，突破性將相似三角形與二次函數(shù)相結(jié)合。第（1）問正常代點求解，緊扣課本考查學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握情況。第（2）問在對稱軸左側(cè)拋物線上找一動點P，在射線ED上找一點Q，使得P、E、Q為頂點的三角形和△BOC相似，如果學(xué)生能抓住△BOC的形狀特征解題思路會更清晰。有第（1）問可知△BOC是等腰直角三角形，若要構(gòu)造相似△PQE，只要分類討論E、Q為直角頂點的情況即可。當(dāng)E為直角頂點時，EP=EQ且E、P兩點縱坐標(biāo)相同，可知P點縱坐標(biāo)為2，代入解析式即可求出P點坐標(biāo)（ -1-，2）;當(dāng)Q為直角頂點時，QE=QP且P、Q兩點縱坐標(biāo)相同，此時可設(shè)EQ長為a，則P點坐標(biāo)為（-1-a，2+a），代入拋物線解析式即可得到P點坐標(biāo)為（-1，3）。此題難易適中，靈活新穎，從答題上看：第一問多數(shù)學(xué)生能夠計算出正確的結(jié)果。第二問得分率很低，根源在于學(xué)生沒有讀懂出題者的意圖，盲目運用相似解題，分析能力明顯不足，課堂上缺乏構(gòu)建知識的鏈接，缺乏綜合性解決問題的能力。

題6：（中考第25題）已知A、B兩地相距240km，一輛貨車從A地前往B地，途中因裝載貨物停留一段時間.一輛轎車沿同一條公路從B地前往A地，到達A地后（在A地停留時間不計）立即原路原速返回.如圖是兩車距B地的距離y（km）與貨車行駛時間x（h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：

（1）圖中M的值是? ? ;轎車的速度是? ? km/h;

（2）求貨車從A地前往B地的過程中，貨車距B地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系式;

（3）直接寫出轎車從B地到A地行駛過程

中，轎車出發(fā)多長時間與貨車相距12km？

分析：本題是一道一次函數(shù)實際應(yīng)用問題，考查一次函數(shù)的圖象、自變量取值范圍、函數(shù)解析式的求解、用函數(shù)圖象求兩車之間的距離問題。本題設(shè)計貼近生活，時代感強，容易進入情境，難易度適中，是中檔題。學(xué)生只要讀懂圖象信息，理解兩車的運動過程是解題的關(guān)健。第（1）問要求M的值和轎車的速度，讀懂題意即可求解。第（2）問貨車距B地的距離y與行駛時間x的函數(shù)關(guān)系式，貨車行駛距離對應(yīng)的函數(shù)圖象為線段MN、NG、GH，分別求出這三條線段函數(shù)解析式，聯(lián)立即可求解。第（3）問從B到A的行駛過程中轎車出發(fā)多長時間與貨車相距12km。學(xué)生可以通過分析B到A段的行程圖可知兩車在相遇之前和相遇之后各有一個時間點相距12km，設(shè)轎車出發(fā)x小時兩車相距12km，可列方程120x-66（x+1）=240±12，可得出時間為1h或h。閱卷過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)的問題是忽視了函數(shù)自變量的取值范圍。表面上看只是分段函數(shù)的自變量的取值范圍問題，其本質(zhì)是學(xué)生對于函數(shù)概念的內(nèi)涵理解不到位，每一個函數(shù)是關(guān)聯(lián)著自變量和函數(shù)的一對對應(yīng)關(guān)系的，所以對于基本概念的深刻理解值得師生高度重視。

題7：（中考第27題）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中?！睘閿U大糧食生產(chǎn)規(guī)模，某糧食生產(chǎn)基地計劃投入一筆資金購進甲、乙兩種農(nóng)機具，已知購進2件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具共需3.5萬元，購進1件甲種農(nóng)機具和3件乙種農(nóng)機具共需3萬元.

（1）求購進1件甲種農(nóng)機具和1件乙種農(nóng)機具各需多少萬元？

（2）若該糧食生產(chǎn)基地計劃購進甲、乙兩種農(nóng)機具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元，設(shè)購進甲種農(nóng)機具m件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于國家對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)扶持力度加大，每件甲種農(nóng)機具降價0.7萬元，每件乙種農(nóng)機具降價0.2萬元，該糧食生產(chǎn)基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農(nóng)機具（可以只購買一種），請直接寫出再次購買農(nóng)機具的方案有哪幾種？

分析：此題能結(jié)合社會熱點，結(jié)合生產(chǎn)、生活實際，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活。綜合考查了學(xué)生運用二元一次方程（組）、一元一次不等式、一次函數(shù)去分析問題，解決問題的能力。第（1）問利用題中等量關(guān)系式列出二元一次方程組求解即可，在閱卷過程中很多學(xué)生得滿分，但一部分學(xué)生因為沒有設(shè)和答不認真或過于簡單而丟分。第（2）問根據(jù)問題可列一元一次不等式組，求出解集作答。第（3）問在（2）的方案下即購進5臺時，甲的進價調(diào)整為0.8萬元，乙的進價調(diào)整為0.3萬元，節(jié)省資金4.5萬元，可設(shè)再購進甲農(nóng)機具a臺，乙農(nóng)機具b臺，則列二元一次方程0.8a+0.3b=4.5，求出方程的整數(shù)解有兩組，分別為購買甲農(nóng)機具0件，乙農(nóng)機具15件;購買甲農(nóng)機具3件，乙農(nóng)機具7件。

題8：（中考第28題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的邊OA在x軸上，OA=AB，且線段OA的長是方程x2-4x-5=0的根，過點B做BE⊥x軸，垂足為E，tan∠BAE=，動點M以每秒1個單位長度的速度，從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，到達點B停止。過點M作x軸的垂線，垂足為D，以MD為邊做正方形MDCF，點C在線段OA上，設(shè)正方形MDCF與△AOB重疊部分的面積為S，點M的運動時間為t（t﹥0）秒。

（1）求點B的坐標(biāo);

（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍;

（3）當(dāng)點F落在線段OB上時，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點P，使以M、A、O、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

分析：本題是本試卷的壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、三角函數(shù)正切值、三角形的面積公式、勾股定理的靈活應(yīng)用及平行四邊形的性質(zhì)等。利用分類討論的思想是解決問題的關(guān)健，試題避開往年的求直線的解析式，而是求面積的函數(shù)解析式，問題設(shè)計新穎，注重學(xué)生的建模思想。本題立足于考查初中數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)知識、基本技能，以及隱含于其中的基本數(shù)學(xué)思想方法。本題是課本習(xí)題的變式題，或是源于課本并適度延拓的引申題，綜合性比較強。解決第（2）問首先要明確這是一個動態(tài)圖形，隨著點M的運動，重疊部分的形狀改變，當(dāng)點F運動到線段OB上時為圖形變換的分界五、對今后教學(xué)的啟示和建議

（一）立足教材，夯實“雙基”

試卷中大多數(shù)題相當(dāng)于教材中的隨堂練習(xí)題。在教學(xué)中，教師要立足教材，重視教材，研究教材，挖掘教材，創(chuàng)造性地使用教材。特別要注意教材中典型例題和習(xí)題的研究與延伸，講清、講深、講透初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識，錘煉學(xué)生扎實熟練的基本功。同時，教師在教學(xué)中也要注意，有些試題難度有所下降，但對能力的要求沒有下降。一是注意表達要有邏輯性，推理要嚴(yán)謹、嚴(yán)密，不要漏掉重要的得分點，否則即使答案正確，也會被閱卷老師視為理由不夠充分而扣分。二是書寫、作圖要整潔規(guī)范。

（二）重視過程，培養(yǎng)能力

1.重視數(shù)學(xué)閱讀。不管任何一門學(xué)科，學(xué)習(xí)過程中都離不開閱讀，如果沒有具備良好的閱讀習(xí)慣，在數(shù)學(xué)習(xí)題解答中不能夠做到準(zhǔn)確掌握概念、內(nèi)涵，那么這道數(shù)學(xué)題就沒有辦法實現(xiàn)系統(tǒng)的解答。數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的時候，要重視數(shù)學(xué)閱讀。

2.要重視學(xué)生運算能力培養(yǎng)，提高學(xué)生運算速度和運算準(zhǔn)確性。

3.數(shù)學(xué)分析的重要性不言而喻，數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)運算的基礎(chǔ)工作。

4.要注重解題過程，注重答題規(guī)范性和嚴(yán)謹性。

5.要注重實踐能力培養(yǎng)。在實際學(xué)習(xí)過程中，有部分教師為了節(jié)省時間，忽略了對學(xué)生動手能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容理解不深刻。

總而言之，近年來中考試卷越來越彰顯數(shù)學(xué)思維、實踐、操作的重要性。新課標(biāo)將學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究放在了非常重要的位置，只有在教學(xué)過程中認真落實課程標(biāo)準(zhǔn)，突出數(shù)學(xué)的思維本質(zhì)，打牢學(xué)生的運算、推理等基礎(chǔ)能力，才能不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為高中及大學(xué)輸送更多更優(yōu)秀的人才。

■ 編輯/魏繼軍