談小學(xué)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的三個(gè)步驟

涂幾會(huì) 李志

摘 要：數(shù)學(xué)最終必須要舍去背景，得到最一般的東西，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)從實(shí)例出發(fā)，不斷舍去的過(guò)程，最終留下的就是數(shù)學(xué)模型。在教學(xué)中可以通過(guò)精選問(wèn)題、創(chuàng)設(shè)情境、感官參與;逐步抽象、抽絲剝繭、建立模型;回歸生活、拓展外延、深化認(rèn)知這三個(gè)步驟來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;建構(gòu);步驟

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，“抽象、推理、建?！笔菙?shù)學(xué)三大核心素養(yǎng)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“數(shù)學(xué)模型的建立是學(xué)生體會(huì)與理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！?數(shù)學(xué)模型是指對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了達(dá)到某種特定的目的，根據(jù)其內(nèi)在的規(guī)律，做出必要的簡(jiǎn)化，再用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具將對(duì)象轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。通俗地說(shuō)：數(shù)學(xué)模型就是借用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事。? 客觀地講：只有模型建立成功的數(shù)學(xué)課，才是一節(jié)有著深遠(yuǎn)意義的課，學(xué)生的學(xué)才是有深度的學(xué)。但實(shí)際的教學(xué)中，一部分教師只注重了數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，忽視了數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，導(dǎo)致學(xué)生應(yīng)用意識(shí)差，不會(huì)舉一反三。

如何在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型呢？筆者將用一年級(jí)上冊(cè)“減法的認(rèn)識(shí)”與三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“搭配”兩課來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的一般步驟。

一、精選問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境， 感官參與

現(xiàn)實(shí)世界中有大量的關(guān)于數(shù)量關(guān)系與空間圖形的客觀現(xiàn)象與事物，這些現(xiàn)象與事物都可以從數(shù)學(xué)的角度去觀察、分析、解釋;從這些現(xiàn)象與事物中可以抽象出大量的數(shù)學(xué)模型，生活問(wèn)題就是數(shù)學(xué)模型的原型。生活問(wèn)題的呈現(xiàn)方式多種多樣，語(yǔ)言敘述呈現(xiàn)、故事講述呈現(xiàn)、圖表圖片呈現(xiàn)、操作演示呈現(xiàn)、表演呈現(xiàn)、游戲呈現(xiàn)、實(shí)物呈現(xiàn)等，這些方式的呈現(xiàn)目標(biāo)都只有一個(gè)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。這些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題種類(lèi)也是多種多樣，有關(guān)于生活的現(xiàn)實(shí)、有關(guān)于數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)、有關(guān)于其他學(xué)科的現(xiàn)實(shí)，或與學(xué)生的生活很接近、或體現(xiàn)了時(shí)代的特點(diǎn)與要求，這些情境內(nèi)容符合學(xué)生的年齡特征，有利于學(xué)生通過(guò)對(duì)比、觀察、分析、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等，感悟知識(shí)的形成和應(yīng)用，經(jīng)歷一個(gè)完整的學(xué)習(xí)過(guò)程?？傊鼈兌寄軌蚝芎玫丶ぐl(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，能夠?yàn)槟Ｐ偷慕⑻峁┖芎玫奶骄克夭模N(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法。生活情境的呈現(xiàn)，能夠激發(fā)學(xué)生調(diào)動(dòng)多種感官，眼、手、耳、腦并用，在傾聽(tīng)或者觀察的過(guò)程中，分析、抽象、概括、發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)與問(wèn)題意識(shí)。

例1：一年級(jí)上冊(cè)“減法的認(rèn)識(shí)”

課本呈現(xiàn)的情境是一幅圖，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分解成兩幅圖來(lái)閱讀，第一幅圖有4個(gè)氣球，第二幅圖飛走了1個(gè)氣球。在這個(gè)過(guò)程中可分層觀察，從第一幅圖中獲取了什么信息，第二幅圖呢，能把兩句話連起來(lái)完整地說(shuō)一說(shuō)嗎？根據(jù)這兩句話，你能提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？學(xué)生得出：“有4個(gè)氣球，飛走了1個(gè)，還剩幾個(gè)氣球？”將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，為下一步的探究提供了素材。

例2：三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“搭配”

老師創(chuàng)設(shè)了這樣的生活情境，周末麗麗要去參加一個(gè)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，媽媽拿出了2件漂亮的上衣與3條裙子，麗麗猶豫了，到底穿哪件上衣和哪條裙子呢？將生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的問(wèn)題：“2件上衣、3條裙子，要搭配一套衣服，共有幾種搭配方法？”為下一步的探究提供了素材。

二、逐步抽象，抽絲剝繭，建立模型

說(shuō)到底，數(shù)學(xué)的所有知識(shí)都是以模型結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出來(lái)的。例如，一個(gè)具體的數(shù)字、數(shù)的意義、一個(gè)具體的算式、四則運(yùn)算的意義、運(yùn)算定律、一個(gè)具體的方程、方程的意義、典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型如何建構(gòu)，必須有一個(gè)不斷抽象的過(guò)程，將生活情境抽象成數(shù)學(xué)情境。數(shù)學(xué)情境抽象成數(shù)學(xué)事實(shí)，數(shù)學(xué)事實(shí)抽象成數(shù)學(xué)事理，數(shù)學(xué)事理抽象成數(shù)學(xué)算式或符號(hào)或圖表等結(jié)構(gòu)模型。在這個(gè)過(guò)程中，數(shù)學(xué)問(wèn)題是探究的素材;學(xué)生是經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程的主體;觀察、對(duì)比、分析、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、抽象、概括、反思都是學(xué)生建模要使用的方法與手段。學(xué)生利用這些方法一步步抽象、抽絲剝繭，去除數(shù)學(xué)問(wèn)題中的非本質(zhì)的屬性，留下最本質(zhì)的東西，形成數(shù)學(xué)模型。

例1：一年級(jí)上冊(cè)“減法的認(rèn)識(shí)”

把生活中的問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)中的問(wèn)題?！耙还?個(gè)氣球，有1個(gè)飛走了，還剩幾個(gè)氣球？”學(xué)生異口同聲說(shuō)出：“4-1=3?！苯處熯@樣做：1.用手中的圓片代替氣球擺一擺，邊擺邊說(shuō)4、1、3分別表示什么。2.找學(xué)生拿著磁性教具在黑板上邊擺邊匯報(bào)。有的學(xué)生用情境中的氣球說(shuō)明了4、1、3所表示的意義，有的用圓片敘述了4、1、3所表示的意義，有的用貼圓片的磁鐵敘述了4、1、3所表示的意義。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，用氣球情境來(lái)抽象符號(hào)算式4-1=3，同時(shí)很巧妙地引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，脫離了氣球情境，學(xué)生用圖形操作理解了4-1=3 的意義，逐步加深對(duì)具體算式“4-1=3”這個(gè)模型的認(rèn)識(shí)。

例2：三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“搭配”

學(xué)生將生活中的穿衣服問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的搭配問(wèn)題，并能夠用2件上衣圖片與3條裙子圖片，通過(guò)連線的方法有序地思考，教師接著引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步抽絲剝繭，建立模型。師：“看來(lái)同學(xué)們都有了自己的想法，但是我們不能每次遇到這樣的問(wèn)題都要用衣服圖片來(lái)擺一擺吧。能用比較簡(jiǎn)潔的方法表示出你的想法嗎？”幾分鐘以后，學(xué)生開(kāi)始匯報(bào)。有的用A1、A2 表示兩件上衣，用 B1、B2、B3表示三條裙子;有的用A、B表示兩件上衣，C、D、E表示3條裙子;有的用1、2表示上衣，3、4、5表示裙子;有的用簡(jiǎn)筆畫(huà)畫(huà)出來(lái)。這些都是通過(guò)列舉或者連線得到6種搭配方法。緊接著學(xué)生在對(duì)比中優(yōu)化方法，進(jìn)一步抽象出2件上衣、3條裙子搭配的比較完美的樹(shù)狀符號(hào)結(jié)構(gòu)模型。

三、回歸生活，拓展外延，深化認(rèn)知

當(dāng)數(shù)學(xué)模型初步建立成功以后，教師絕不可以戛然而止。引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的意義何在，就是為了學(xué)生能夠應(yīng)用新知識(shí)模型，靈活解決生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從生活中來(lái)，又回到生活中去，使得學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價(jià)值與趣味。這時(shí)候的數(shù)學(xué)模型還不夠牢固，教師還需要設(shè)置一定的活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生牢固掌握這個(gè)數(shù)學(xué)模型。這個(gè)過(guò)程中，一般有兩種方法，第一種方法是利用數(shù)學(xué)模型講述生活中的故事，加深學(xué)生對(duì)模型的認(rèn)識(shí)。二是設(shè)置層次性的練習(xí)，在練習(xí)的過(guò)程中加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)。

例1：一年級(jí)上冊(cè)“減法的認(rèn)識(shí)”

當(dāng)學(xué)生理解了“4-1=3”這個(gè)算式模型不但可以表示氣球問(wèn)題，還可以表示圓片問(wèn)題和磁鐵問(wèn)題時(shí)，教師為了拓展模型的外延，讓學(xué)生講幾個(gè)關(guān)于“4-1=3”的故事。學(xué)生講的故事可真豐富，有關(guān)于喝牛奶的故事， 有關(guān)于用錢(qián)的故事，有關(guān)于吃蘋(píng)果的故事，有關(guān)于小兔子的故事等。通過(guò)思維的發(fā)散與聯(lián)想對(duì)模型加以擴(kuò)張和推廣，賦予“4-1=3”更多的“模型”意義。學(xué)生學(xué)習(xí)減法，重在理解“減法”是怎么一回事，對(duì)減法的“□-□=□”有生動(dòng)的認(rèn)識(shí)。學(xué)生知道了，從整體中去掉一部分，求剩余的就會(huì)用減法。同時(shí)對(duì)于具體的算式“4-1=3”這個(gè)模型，它不光可以用來(lái)計(jì)算氣球的問(wèn)題，還可以用來(lái)計(jì)算牛奶、用錢(qián)等更多的問(wèn)題。

例2：三年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角“搭配”

學(xué)生抽象出2件上衣與3條裙子有幾種搭配穿法的基本樹(shù)狀符號(hào)模型，也通過(guò)理解得到了衣服搭配的乘法模型“2×3=6”。這時(shí)候，能搭配幾套服裝的模型剛剛建立，教師要繼續(xù)引導(dǎo)，使模型得到進(jìn)一步的拓展與擴(kuò)張。教師追問(wèn)：“如果有3件上衣3條裙子，有幾種搭配方法？4件上衣3條裙子呢？5件上衣3條裙子呢？100件上衣3條裙子呢？”從乘法的意義出發(fā)，將“上衣件數(shù)×裙子的條數(shù)=搭配總數(shù)”這一算法作為模型，突破教材的思路，向前延伸，向后拓展，以“一個(gè)幾為母體”，生出“幾個(gè)幾”的組合，由簡(jiǎn)到繁，再化繁為簡(jiǎn)，也能充分彰顯數(shù)學(xué)“模型”的魅力。

接著教師又讓學(xué)生講故事：“A1、A2表示上衣，B1、B2、B3表示裙子，得出搭配的穿法有2×3種，生活中還存在哪些類(lèi)似的問(wèn)題，A1、A2，B1、B2、B3還可以表示什么呢？你能舉一個(gè)例子嗎？”黑板上的搭配樹(shù)狀模型，不僅適用于衣服的搭配，對(duì)于菜的搭配，路的搭配，早餐的搭配，男女生跳舞的搭配等搭配問(wèn)題，都可以用這個(gè)模型來(lái)解決。

由上面的例子可以看出，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)就是不斷地抽象，逐步去掉數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的物理屬性;不斷地概括，總結(jié)出數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性;不斷地模式化，形成特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。“問(wèn)題情境”到“建立模型”再到“拓展驗(yàn)證”這三個(gè)步驟，是模型的建構(gòu)過(guò)程的基本步驟。

參考文獻(xiàn)：

[1]王光明，范文貴.新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo).小學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：82-86.

[2]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014：87-91.

■ 編輯/魏繼軍