莫讓思維過程“一勾而過”

摘要：立足學(xué)生一道“找規(guī)律”問題的正確解答，展開深層次的對話，并運(yùn)用SOLO分類理論分析對話中的學(xué)習(xí)成果，以了解學(xué)生的思維水平發(fā)展情況。學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)不僅包括已有知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，有時(shí)還包括半生活化半數(shù)學(xué)化的“混合經(jīng)驗(yàn)”，要準(zhǔn)確分析、利用，以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展;不僅要關(guān)注學(xué)生解答結(jié)果的正確與否，更應(yīng)利用學(xué)生解答過程中生成的資源，通過合理的引導(dǎo)促進(jìn)學(xué)生思維水平的進(jìn)階;可對學(xué)生學(xué)習(xí)材料再建構(gòu)，適當(dāng)為學(xué)生設(shè)計(jì)、提供一些階梯式、開放性、便于思維外化的學(xué)習(xí)材料。

關(guān)鍵詞：思維過程;SOLO分類理論;已有經(jīng)驗(yàn);生成資源;學(xué)材再建構(gòu)

一次彈性離校值班，班上的一個(gè)男生小湯將完成的練習(xí)冊拿來讓我批改。我一邊批改一邊和他交流：“作業(yè)做得真快！有沒有遇到不會(huì)的問題??？”小湯得意地說道：“沒有，都會(huì)做！”一個(gè)個(gè)“勾”也表明了解答的正確，印證了小湯的得意?！肮础蓖暌坏浪季S含量較高的“找規(guī)律”問題（如圖1所示）時(shí)，我停了下來：解答這道題，小湯經(jīng)歷了怎樣的思維過程呢？

一、關(guān)于“正確解答”的深入對話：把脈隱藏的思維過程

于是，關(guān)于小湯這道題目的解答過程，我們有了接下來的對話（為了更好地對應(yīng)后續(xù)的研究分析，這里將對話分為5段，分別為“對話1”到“對話5”）：

【對話1】

“小湯，家庭作業(yè)全都做對了，真厲害！不過，對這道題，我有點(diǎn)好奇，這么復(fù)雜的算式，你怎么做對的??？”小湯端詳一番，說道：“你看，這里上面的算式是兩個(gè)18相乘，下面的17比18少1，19比18多1;第二組也是這樣，上面的算式是兩個(gè)25相乘，下面的24比25少1，26比25多1;第三組也是這樣。而且你看，第一個(gè)框里都是十幾乘十幾，第二個(gè)框是二十幾乘二十幾，第三個(gè)框是三十幾乘三十幾，這個(gè)框應(yīng)該是四十幾乘四十幾。我就像這樣，上面寫45×45，下面就寫44×46，然后列豎式計(jì)算兩個(gè)算式就行了?！背龊跻饬?！我本以為44×46的得數(shù)是按規(guī)律將2025減1得到的，沒想到小湯只找了算式中的規(guī)律，兩個(gè)得數(shù)都是列豎式計(jì)算得來的。

【對話2】

定了下神，我繼續(xù)詢問：“說得挺好！我都聽懂了。你能結(jié)合題目要求說說解決這道題的關(guān)鍵是什么嗎？”“題目要求比較下面三組算式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后照樣子寫一寫。我覺得關(guān)鍵就是比較和找規(guī)律?！蔽易穯柕溃骸澳隳茉俦纫槐龋阉姓业降囊?guī)律說給我聽聽嗎？”小湯再次觀察算式，思考片刻后說道：“方框中上面的算式都是兩個(gè)相同的數(shù)相乘，下面的算式都是前面一個(gè)數(shù)比上面的乘數(shù)少1，后面一個(gè)數(shù)比上面的乘數(shù)多1。嗯……其實(shí)得數(shù)也有規(guī)律，下面的得數(shù)都比上面的得數(shù)少1?！薄澳憧?，再深入觀察一番，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律更多了吧？如果現(xiàn)在讓你做這道題，你會(huì)怎么做？”“我會(huì)先寫45×45，然后列豎式算出2025。下面的算式和得數(shù)都用規(guī)律去寫，算式還是44×46，得數(shù)只要把上面的2025減1，算出為2024?！?/p>

【對話3】

規(guī)律基本概括出來了，往下再問問看！“除了這組算式，你還能再寫一組嗎？”小湯得意地說：“當(dāng)然行！比如46×46等于——得列豎式算一下，然后是45×47，得數(shù)將剛才的得數(shù)減1;還能寫55×55，得數(shù)也要列豎式算，然后是54×56，結(jié)果也是將剛才的得數(shù)減1。”“像這樣的例子能舉完嗎？”“太多了，舉不完！”小湯的回答激起了我的好奇心，我想看看三年級的學(xué)生還能走多遠(yuǎn)。于是，我笑著問道：“既然這樣的例子舉不完，那我們好好想想，能不能寫一組算式，就概括出所有這樣的例子呢？”小湯皺著眉，一邊想一邊搖頭，之后又突然道：“我想到了！先寫10000×10000，然后將10000減1和10000加1乘起來。”我笑著對他說：“很有創(chuàng)意！這組式子把所有例子都概括進(jìn)去了嗎？”小湯想了一下，自言自語道：“好像不對。”想了一會(huì)兒后，沮喪地對我說：“我不會(huì)了。”看著他專注思考的過程，我欣慰地摸了摸他的頭，說道：“想不出來沒關(guān)系，這個(gè)問題留著有空的時(shí)候慢慢想，什么時(shí)候有想法了，隨時(shí)跟我說說。”

【對話4】

小湯回到座位上，手中還是拿著那本練習(xí)冊，眉頭緊鎖。好一會(huì)兒，他又慢慢走到我跟前，說道：“老師，我想了種方法，但不知道對不對。上面的算式是a×a=b，下面的算式是c×d=e?！甭牭竭@里，我很驚訝：讓他再想想，并沒有指望他用字母式去概括，而是覺得如果他在想的過程中能進(jìn)一步感受算式組中的規(guī)律，用語言等方式表達(dá)出大概意思，也就不錯(cuò)了。用字母表示數(shù)是五年級的教學(xué)內(nèi)容，據(jù)我所知，小湯沒有參加過數(shù)學(xué)類課外拓展班，我在班上也從沒教過他們類似的方法，那么，他怎么想到的？于是，我驚訝地問道：“太了不起了！你是怎么想到用字母概括規(guī)律的？誰教你的？”“沒有誰教我，但我好像在哪兒看到過?！蓖高^他的口氣，我能想象他內(nèi)心的得意?！皠偛拍阌?0000×10000概括，現(xiàn)在用a×a概括，哪個(gè)更好？”小湯繼續(xù)得意地說：“a×a好，因?yàn)?0000雖然很大，但還是不能概括所有的算式，a就可以代表所有的數(shù)?！?/p>

【對話5】

既然已經(jīng)超出預(yù)期，那就繼續(xù)往下試探。“為什么上面的算式用兩個(gè)a相乘得到b呢？”“因?yàn)楸仨毷莾蓚€(gè)相同的數(shù)相乘，a要乘a，但得數(shù)不是a了，就用b。”“概括得很棒！下面的算式用c×d=e概括我也懂了，相乘的數(shù)和得數(shù)都不相同，所以用不同的字母來表示。那c、d、e是不是隨便表示任何數(shù)呢？”“不行！前面的數(shù)要比上面的少1，后面的數(shù)要比上面的多1……不對！我想一下。”接著是一陣數(shù)字與字母混雜的自言自語聲。片刻后，小湯說道：“可以改進(jìn)一下，上面算式還是a乘a等于b，下面算式是a減1乘a加1等于e。不對，等于b-1。”

二、關(guān)于對話的分析：探究思維層次的變化

上述關(guān)于“正確解答”的對話發(fā)生后，我立刻將其記了下來，并嘗試運(yùn)用彼格斯的SOLO分類理論（該理論認(rèn)為，雖然一個(gè)人的認(rèn)知水平不可測，但其應(yīng)對及解決問題時(shí)所展現(xiàn)出的思維層次卻是可以探知的;面對及解決問題時(shí)，學(xué)習(xí)者的反應(yīng)表現(xiàn)出一種由簡單到復(fù)雜的思維層次變化;思維層次變化由淺入深包括前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平、拓展抽象結(jié)構(gòu)水平五類）分析對話，探究小湯的思維層次變化情況。

“對話1”中，算式規(guī)律與得數(shù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是分離的：先縱向?qū)⑶叭M算式中乘數(shù)的變化進(jìn)行關(guān)聯(lián)，再點(diǎn)對點(diǎn)地按規(guī)律寫出算式中的各個(gè)乘數(shù)，但卻沒能將前三組中兩個(gè)算式的得數(shù)建立關(guān)聯(lián)，因此所寫出的兩個(gè)算式是孤立的，得數(shù)是橫向地通過計(jì)算得出的。學(xué)習(xí)成果的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)出選用素材單一、工作記憶容量少等特點(diǎn)，尤其是兩個(gè)算式得數(shù)的獲得，在運(yùn)用最少數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上迅速收斂，屬于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的回答。

“對話2”“對話3”中，答案是在與前三組等式建立縱向關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上獲得的，運(yùn)用的數(shù)據(jù)開始增多，收斂開始放緩。但所舉出的各個(gè)例子，包括試圖對規(guī)律進(jìn)行概括的“10000×10000”，反映出小湯試圖通過提高數(shù)據(jù)值來表示個(gè)例數(shù)量的增多，以達(dá)到概括的目的，而這樣的等式組依舊只是個(gè)例，不具備一般性。根據(jù)幾個(gè)有限的、孤立的等式組試圖進(jìn)行“概括”，雖然想達(dá)到“一致”，但收斂還是相對較快，屬于多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的回答。

“對話4”“對話5”中，我的引導(dǎo)已經(jīng)不以具體等式的得出為目標(biāo)，在一定程度上讓小湯延緩收斂。小湯回答中字母的使用，表現(xiàn)出在一定情境范圍內(nèi)概括性在逐步增強(qiáng)，雖然并沒有經(jīng)過嚴(yán)格的推理來證明回答的一致性，也即“若a2=b，則（a-1）（a+1）=a2-12=b-1”，但三年級學(xué)生在當(dāng)下的情境中，最終的回答已將問題線索、相關(guān)素材、相互關(guān)系進(jìn)行了關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)了有效的概括，形成了初步的數(shù)學(xué)模型，屬于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的回答。

經(jīng)由分析可見，隨著對話的進(jìn)行，小湯的回答表現(xiàn)出收斂在逐步放緩，對素材的關(guān)注和運(yùn)用在廣度上不斷擴(kuò)展，素材間的關(guān)聯(lián)逐步形成，一致性在增強(qiáng)，思維水平也在逐步提高，符號意識被觸發(fā)，并最終實(shí)現(xiàn)了模型的初步符號化建構(gòu)。

三、關(guān)于發(fā)展學(xué)生思維的思考：如何促進(jìn)思維進(jìn)階

我們一直關(guān)注學(xué)生解決問題過程中“錯(cuò)誤資源”的利用，借助“錯(cuò)題”分析、探究錯(cuò)誤根源，引導(dǎo)學(xué)生在再次解決問題的過程中發(fā)展思維、積累經(jīng)驗(yàn)。而面對學(xué)生的正確解答，能做、要做的是否僅僅“一勾而過”？上述對“正確資源”的開發(fā)和使用，引發(fā)了我對發(fā)展學(xué)生思維的深入思考。

（一）對學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)再認(rèn)識

教師教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上。學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)不僅包括已有知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，有時(shí)還包括半生活化半數(shù)學(xué)化的“混合經(jīng)驗(yàn)”?！皩υ?”中突然出現(xiàn)的用字母表示數(shù)就來自“混合經(jīng)驗(yàn)”。這些字母是在生活中積累起的、零散的、未經(jīng)數(shù)學(xué)化加工的材料，但這些半生活化半數(shù)學(xué)化的材料會(huì)作為學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的一部分，不自覺地參與到學(xué)生建構(gòu)知識體系的過程中。生活中存在著大量信息，尤其在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，而兒童與成人在信息獲得及加工方式等方面有所差異，一些被成人忽略的信息往往會(huì)被兒童捕獲，并暫時(shí)存儲在兒童記憶中。這些碎片化但對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有價(jià)值的信息可能隨時(shí)被后續(xù)接收的其他信息“趕走”，等到后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)又需要重新施加刺激。而如果能在這些信息被“趕走”之前，適時(shí)組織編碼，能延長這些信息在學(xué)生記憶中的儲存時(shí)間，等到系統(tǒng)學(xué)習(xí)該內(nèi)容時(shí)，學(xué)生就能及時(shí)調(diào)用并納入認(rèn)知體系。這不是傳統(tǒng)意義上的提前教學(xué)，而是基于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的、在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)的有效滲透。因此，生活環(huán)境中海量的信息讓學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)更為多元，生活環(huán)境的差異讓不同學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)更為多樣。班級授課中，在教學(xué)設(shè)計(jì)前盡可能全面、精準(zhǔn)地進(jìn)行學(xué)情調(diào)研，是促進(jìn)學(xué)生思維獲得整體提升的基礎(chǔ)。通過開放性問題激活學(xué)生記憶中的有用信息，通過問題引導(dǎo)學(xué)生組織信息編碼，有助于學(xué)生思維獲得個(gè)性發(fā)展。

（二）對學(xué)生生成資源再利用

當(dāng)下，無論數(shù)學(xué)教材，還是配套的數(shù)學(xué)練習(xí)，大多是以紙面結(jié)論的方式呈現(xiàn)學(xué)生思維的結(jié)果，對學(xué)生解決問題過程中思維路徑的呈現(xiàn)相對不足，或者說較難實(shí)現(xiàn)。這些習(xí)題對于知識鞏固、技能形成等目標(biāo)的達(dá)成無疑是必要的。美國數(shù)學(xué)家維納認(rèn)為，數(shù)學(xué)是“思維的科學(xué)”。這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注思維的結(jié)果，更應(yīng)該關(guān)注思維的過程;不僅要從思維層面剖析錯(cuò)誤解答的根源，也要對正確解答背后的思維過程予以關(guān)注和分析。對練習(xí)、作業(yè)的使用同樣如此。

借助SOLO分類理論，能對學(xué)生練習(xí)中錯(cuò)誤解答所反映出的思維結(jié)構(gòu)水平進(jìn)行分類、分析：前結(jié)構(gòu)水平的解答，說明學(xué)生未能在素材與問題之間建立連接，可能是知識點(diǎn)并未理解;單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的解答，說明學(xué)生注意的廣度不夠，在信息收集方面存在困難;多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的解答，說明學(xué)生在將信息關(guān)聯(lián)起來并進(jìn)行歸納方面有困難;關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的解答，說明學(xué)生需要在合乎邏輯的演繹方面再提升。

而通過上述案例我們可以發(fā)現(xiàn)，同樣正確的解答，背后的思維結(jié)構(gòu)水平也可能并不相同。圖1中兩組等式的得出，可能是單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的回答，也可能是多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的回答。學(xué)生對這一問題的解答可能最多只能達(dá)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平，也可能通過適當(dāng)引導(dǎo)還能達(dá)到初步的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平。以發(fā)展思維為目標(biāo)的教學(xué)，不僅要關(guān)注學(xué)生解答結(jié)果的正確與否，更應(yīng)利用學(xué)生解答過程中生成的資源，通過課間、課外談話等方式延展學(xué)生獲得結(jié)果的思維路徑，了解學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果背后的真實(shí)思維過程，對學(xué)生解決問題時(shí)表現(xiàn)出的思維結(jié)構(gòu)水平進(jìn)行分類，并通過合理的引導(dǎo)促進(jìn)學(xué)生思維水平的進(jìn)階。

（三）對學(xué)生學(xué)習(xí)材料再建構(gòu)

除了基于生成談話引導(dǎo)，對學(xué)生學(xué)習(xí)材料再建構(gòu)也是發(fā)展學(xué)生思維的重要方式。適當(dāng)為學(xué)生設(shè)計(jì)、提供一些階梯式、開放性、便于思維外化的學(xué)習(xí)材料，既讓不同層次的學(xué)生都能基于已有經(jīng)驗(yàn)解決問題，又能延展并外化學(xué)生的思維路徑，以便對學(xué)生解答結(jié)果的思維結(jié)構(gòu)水平進(jìn)行精準(zhǔn)評價(jià)。學(xué)習(xí)材料建構(gòu)時(shí)還要關(guān)注問題設(shè)計(jì)，要能通過問題引導(dǎo)學(xué)生思維進(jìn)階，以充分發(fā)揮學(xué)習(xí)材料的功能。

以上述案例中的習(xí)題為例，可做如下優(yōu)化設(shè)計(jì)：

如圖2，仔細(xì)觀察前面三組算式和結(jié)果，想一想：有怎樣的規(guī)律？

（1）按發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接填寫第四組算式，再列豎式計(jì)算檢驗(yàn)是否正確。

（2）按發(fā)現(xiàn)的規(guī)律自己編寫出兩組算式并算出結(jié)果，看看是否符合規(guī)律。

（3）嘗試挑戰(zhàn)：你能試著將這些算式中的規(guī)律概括出來嗎？用你喜歡的方式表示出來。（友情提醒：先好好想一想，可以用文字、圖形、算式等方式概括表示）

問題（1），旨在引導(dǎo)學(xué)生消除因45×45需要列豎式計(jì)算而對第二道算式產(chǎn)生的導(dǎo)向，更多聚焦于規(guī)律的運(yùn)用。而此刻發(fā)現(xiàn)的規(guī)律在嚴(yán)格意義上僅僅是由不完全歸納推理得到的、未經(jīng)證明的猜想，之后引導(dǎo)學(xué)生列豎式檢驗(yàn)，滲透培養(yǎng)學(xué)生的驗(yàn)算習(xí)慣，并讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。通過檢驗(yàn)，或反思填寫中的錯(cuò)誤并予以改正，或享受成功的喜悅并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奇妙。這一問題的正確解答僅需要點(diǎn)對點(diǎn)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，思維層次至少達(dá)到單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平。問題（2）適度開放，一方面引導(dǎo)學(xué)生整體發(fā)現(xiàn)等式組中的規(guī)律，而不停留于單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，另一方面直接引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算得出結(jié)果，也是以枚舉方式對規(guī)律的進(jìn)一步驗(yàn)證，讓學(xué)生在算式的編寫、計(jì)算、驗(yàn)證過程中深化對規(guī)律的體驗(yàn)和感悟，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與奇妙。這一問題的正確解答所體現(xiàn)出的思維層次至少達(dá)到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平。至此，本題所應(yīng)承載的主體教學(xué)目標(biāo)已完成。問題（3）為嘗試選答題，旨在給學(xué)有余力的學(xué)生以一定空間和時(shí)間，促成他們的思維進(jìn)階。前面已對規(guī)律進(jìn)行了不斷深入的探究、嘗試運(yùn)用、計(jì)算驗(yàn)證，這一環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生通過不完全歸納，概括、表征出規(guī)律。該問題對三年級學(xué)生而言難度較高，我們需要給予學(xué)生更多時(shí)間，避免因?yàn)闀r(shí)間壓力迫使學(xué)生快速收斂而得到低層次回答。三年級學(xué)生表征經(jīng)驗(yàn)相對缺乏，可能因找不到合適的表征方式而無法外化思維，所以通過“友情提醒”，一方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行長時(shí)間思考，另一方面為學(xué)生的合理表征搭建支架。從這一問題的解答中，我們能分析出學(xué)生在該問題上所表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)化能力和思維水平。

需要強(qiáng)調(diào)的是，發(fā)展學(xué)生思維并非一味拔高。正如上述案例中所描述的，“對話3”之后，我就沒有過高的結(jié)論型期望和對時(shí)間的限制，更未要求小湯能用字母式建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型，只是在他已能達(dá)到的思維水平基礎(chǔ)上，給予思維升階的空間和時(shí)間，鼓勵(lì)他多“跳一跳”，在此過程中積累再思考的經(jīng)驗(yàn)，而不僅以“做對”為目標(biāo)。過難的挑戰(zhàn)和過高的期望會(huì)挫傷兒童學(xué)習(xí)的信心，而學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、情感態(tài)度等因素對兒童思維的發(fā)展有著直接的影響。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)（第3版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

[2]鄭毓信.新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

[3]約翰·B.彼格斯，凱文·F.科利斯.學(xué)習(xí)質(zhì)量評價(jià)：SOLO分類理論（可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)）[M].高凌飚，張洪巖，譯.北京：人民教育出版社，2010.

（趙斌，江蘇省南京市高淳區(qū)淳溪中心小學(xué)。南京市學(xué)科帶頭人，南京市優(yōu)秀青年教師，南京市基礎(chǔ)教育課程改革先進(jìn)個(gè)人，南京市先進(jìn)教研組長，南京市優(yōu)秀教育工作者。獲評首屆新一輪南京市“斯霞獎(jiǎng)”。）