近似P-范分布的漸近正態(tài)性及柯爾莫哥洛夫檢驗

胡宏昌，王佳琪

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

由于在測量數(shù)據(jù)的采集、錄入及處理過程中，不可避免地受到外界條件、人為因素等的影響，導(dǎo)致觀測誤差不是正態(tài)分布，而采用P-范分布描述更為合理。盡管P-范分布描述觀測誤差時具有明顯的優(yōu)越性，但其概率密度函數(shù)的表達(dá)式較為復(fù)雜，在對其進(jìn)行理論分析和實際應(yīng)用研究時，具有一定的困難。因此找到一個形式比較簡單的函數(shù)來近似地代替P-范分布的密度函數(shù)是很有必要的。為了使P-范分布的相關(guān)問題得到簡化，文獻(xiàn)[1]利用密度函數(shù)較為簡單的正態(tài)分布、拉普拉斯分布以及均勻分布的線性組合來近似地表示P-范分布，這種表示方法能夠近似到四階矩，那么可以認(rèn)為f1(x)與f2(x)近似相等。雖然這種近似對其理論分析和實際應(yīng)用的研究都是十分有利的，然而在理論上這種觀點存在明顯的缺陷(由兩種分布的前四階矩相同不能推出這兩種分布相同)。

盡管對于P-范分布的深入研究成果有很多(如文獻(xiàn)[1～6]等)，然而涉及其檢驗問題的研究不多(只有文獻(xiàn)[5]涉及P-范分布的參數(shù)假設(shè)檢驗問題)。為了彌補文獻(xiàn)[1]的不足和拓寬P-范分布的研究范圍，本文采用柯爾莫哥洛夫檢驗方法對近似P-范分布進(jìn)行非參數(shù)假設(shè)檢驗，以此來驗證近似P-范分布的擬合效果。

1 P-范分布的密度函數(shù)及近似表示

1.1 P-范分布的密度函數(shù)

定義1[4]若隨機向量X的密度函數(shù)為

(1)

注1 易得一元P-范分布的密度函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2，偏態(tài)系數(shù)為0，峰態(tài)系數(shù)為

注2 拉普拉斯分布(p=1)、正態(tài)分布(p=2)、均勻分布(p→∞)和退化分布(p→0)均為P-范分布的特例。

1.2 P-范分布的近似表示

設(shè)有兩個隨機變量X1和X2，其密度函數(shù)分別為f1(x)和f2(x).如果它們的數(shù)學(xué)期望、方差、偏態(tài)系數(shù)及峰態(tài)系數(shù)均相等，那么可以近似地認(rèn)為X1和X2具有相同的統(tǒng)計性質(zhì)，而且f1(x)與f2(x)近似相等(參見文獻(xiàn)[1].雖然這種觀點存在明顯的缺陷，但本文還是采用這種近似)。

當(dāng)1≤p≤2時，有0≤γ2≤3，因此可以用

f(x)=(1-ε)fN(x)+εfL(x)

(2)

來近似地表示fp(x)，其中fN(x)與fL(x)分別為正態(tài)分布與拉普拉斯分布的密度函數(shù)，表達(dá)式分別為

顯然，f(x)、fN(x)、fL(x)具有相同的數(shù)學(xué)期望μ和方差σ2，且偏態(tài)系數(shù)均為0.而f(x)的峰態(tài)系數(shù)為

因此只要令

則fp(x)與f(x)具有相同的數(shù)學(xué)期望、方差、偏態(tài)系數(shù)、峰態(tài)系數(shù)。即用f(x)代替fp(x)可以準(zhǔn)確到四階矩。

當(dāng)2≤p<∞時，fp(x)的峰態(tài)系數(shù)介于正態(tài)分布與均勻分布的峰態(tài)系數(shù)之間，因此可以用正態(tài)分布與均勻分布的組合來近似地表示，即

f(x)=(1-ε)fN(x)+εfR(x)

(3)

其中

由于分布f(x)的峰態(tài)系數(shù)為

所以令

則fp(x)與f(x)具有相同的數(shù)學(xué)期望、方差、偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)，即用f(x)代替fp(x)也可以準(zhǔn)確到四階矩。

2 近似P-范分布的極限分布

下面利用特征函數(shù)來討論上文兩種近似P-范分布的隨機變量序列和的極限分布。

定理1 若ξ服從近似P-范分布(1≤p≤2), 其簡單隨機子樣序列ξ1，ξ2,…,ξn,且nε→0，則

證明 當(dāng)1≤p≤2時，P-范分布可由正態(tài)分布與拉普拉斯分布的密度函數(shù)近似表示。易知正態(tài)分布與拉普拉斯分布的特征函數(shù)分別為

因此近似P-范分布的特征函數(shù)為

下證當(dāng)nε→0時，上述二項式的展開式中第二項到第n項均為第一項的無窮小量。事實上，由于

所以

即為N(nμ,nσ2)的特征函數(shù)。

定理2 若ξ服從近似P-范分布(2≤p≤∞)，其簡單隨機子樣序列ξ1,ξ2,…,ξn,且nε→0，則

證明 當(dāng)2≤p≤∞時，P-范分布可由正態(tài)分布與均勻分布的密度函數(shù)近似表示。類似于定理1，在此略。

3 近似P-范分布的柯爾莫哥洛夫檢驗

情形一 當(dāng)p=1.5時，隨機生成120個服從P-范分布的隨機數(shù)，這里檢驗假設(shè)為

H0∶F(x)=F0(x)=(1-ε)Fn(x)+εFL(x)?H1∶F(x)≠F0(x)

為了根據(jù)子樣觀測值得到統(tǒng)計量Dn的值，把必要的計算結(jié)果列入表1中。

表1 當(dāng)p=1.5時，統(tǒng)計量Dn及其相關(guān)值

續(xù)表1

從表1中|F(xi)-Fn(xi)|和|F(xi)-Fn(xi+1)|兩列可以得到統(tǒng)計量D120=0.110176，查柯爾莫哥洛夫檢驗臨界值表(嚴(yán)格地來說是極限分布函數(shù)數(shù)值表)得到

由此可推斷不能拒絕原假設(shè)，因此認(rèn)為原假設(shè)H0成立。

情形二 當(dāng)p=3時，生成120個服從P-范分布的隨機數(shù)，這里檢驗假設(shè)為

H0∶F(x)=F0(x)=(1-ε)Fn(x)+εFR(x)?H1∶F(x)≠F0(x)

類似于情形一的計算可得

D120,0.10=0.11137>D120=0.102373

因此認(rèn)為原假設(shè)H0成立。

綜上，通過運用柯爾莫哥洛夫擬合檢驗的方法，分別對兩個近似P-范分布進(jìn)行非參數(shù)假設(shè)檢驗。結(jié)果顯示，兩個近似P-范分布均通過檢驗，從而從分布的角度說明了近似P-范分布能夠替代P-范分布。