基于計算力矩法的骨折復位機器人系統(tǒng)仿真

董鑫宇，孫 昊，郭 悅，傅卓鑫

(1.河北工業(yè)大學，天津 300132；2.國家康復輔具研究中心附屬康復醫(yī)院，北京 100176)

1 引言

長骨骨折是骨折中最常見的骨折種類，其中股骨，肱骨骨干骨折分別占成年人骨折的6%和5%[1]，骨折發(fā)生時，閉合的復位并固定是最佳的治療方案。該方法的優(yōu)勢在于可以減少軟組織解刨，對于骨折愈合，尤其是軟組織挫傷嚴重或有骨膜損傷的骨折愈合的意義重大。外科醫(yī)生在治療骨折的過程中，常常需要多名經(jīng)驗豐富的醫(yī)生聯(lián)合進行操作，即便是最優(yōu)秀的醫(yī)生團隊在消費大量體力的同時也不能保證每名患者的復位效果滿足預期。骨折復位完成后還需要考慮如何固定以及進一步促進愈合的問題，內(nèi)固定雖可靠，但需切開骨折端，對血運破壞明顯，容易導致感染和不愈合。而外固定則易面臨復位不徹底、術(shù)后固定失效和松動斷裂等問題。上述問題的解決在目前看來必須依賴骨科機器人的引入。通過骨折復位機器人進行骨折復位的治療，骨折復位的精度將得到提高，同時因為不知疲倦的機器手臂可以穩(wěn)定控制骨斷端，理論上將可以明顯的減少傳統(tǒng)骨折復位手術(shù)中的并發(fā)癥，如擠壓、血管神經(jīng)損傷或者二次骨折的發(fā)生。

并聯(lián)機構(gòu)具有承載能力強，末端執(zhí)行器精度高等優(yōu)點，6-UPU并聯(lián)機構(gòu)是一種六自由度并聯(lián)機構(gòu)，動平臺與連桿之間由虎克鉸相連，末端執(zhí)行器在空間有平移及旋轉(zhuǎn)的六個自由度，十分契合骨外科手術(shù)的需求。國內(nèi)外研究者投入了大量精力研究類似的并聯(lián)機構(gòu)治療骨折或骨畸形，并獲得了一定實質(zhì)性成果。Seide[2]教授基于Taylor骨外固定架，給Stewart平臺的執(zhí)行連桿加裝了電驅(qū)動器，并用計算機對驅(qū)動器進行控制和檢測。該機構(gòu)縮短了復位的周期，軌跡的規(guī)劃也更為靈活，但由于成本高且在拍攝骨折處透影像時，機構(gòu)和電器設(shè)備會給成像效果造成很大程度上的干擾，并未廣泛的應(yīng)用于臨床。Changsheng Li[3]等人將Stewart機構(gòu)做為執(zhí)行器應(yīng)用在閉合性骨干骨折復位手術(shù)中，并利用利用串聯(lián)誤差傳遞模型和并聯(lián)機構(gòu)誤差差分求解方法建立誤差模型，分析了骨折復位的精度。H.Lin[4]等人將并聯(lián)機器人機構(gòu)引入骨牽引臺并實施了股骨骨干的骨折復位。上述文獻從不同角度介紹了并聯(lián)機構(gòu)在骨折復位及畸形矯正方面的應(yīng)用，但缺乏對機構(gòu)本身運動學機構(gòu)動力學性能的分析。本文基于一種新穎的骨折復位機構(gòu)，從運動學及動力學角度分析機器人設(shè)計的合理性和利用該機器人進行骨折復位手術(shù)的可行性。

本文介紹了一種新穎的骨折復位機器人，介紹了利用該機器人進行骨折復位的方法，并針對機器人的主要執(zhí)行機構(gòu)進行了逆運動學分析。利用SimMechanic建立了機器人執(zhí)行機構(gòu)的動力學仿真模型，并通過拉格朗日法建立了詳細的動力學模型，推導出了該機構(gòu)的雅各比矩陣，通過分析驅(qū)動關(guān)節(jié)與末端執(zhí)行器的受力情況，驗證了該動力學模型的正確性。最后，利用建立的機構(gòu)動力學模型設(shè)計了關(guān)節(jié)空間中基于計算力矩法的機器人控制器，通過非線性反饋補償機器人的非線性部分，使得機構(gòu)利用線性控制器也可以獲得滿意的控制效果。

2 骨折復位機器人機構(gòu)設(shè)計

在傳統(tǒng)骨折復位手術(shù)過程中，醫(yī)師通過牽引并緩慢矯正移動骨相對于近端參照骨的畸形來實現(xiàn)復位。骨折發(fā)生時，移動骨相對于參照骨有可能會形成復雜的畸形狀態(tài)，根據(jù)剛體在空間的姿態(tài)描述，可以通過6個自由度來確定移動骨相對于參照骨的全部畸形狀態(tài)，即3個旋轉(zhuǎn)自由度和3個平動自由度。為了滿足一定范圍內(nèi)移動骨復位的需求，采用6-UPU并聯(lián)機構(gòu)作為機器人的主要執(zhí)行機構(gòu)。基本的骨折復位手術(shù)生物學固定原則指出，外固定減少了植入物與組織的接觸面積，很大程度上減少了骨折復位并發(fā)癥的發(fā)生。通過考慮傳統(tǒng)骨折復位手術(shù)中醫(yī)生體力消耗大，復位精度不高等問題，參考了醫(yī)生的復位手法相關(guān)臨床經(jīng)驗，利用Soildworks軟件設(shè)計骨折復位機器人如圖1所示，圖2為復位機器人的主要執(zhí)行機構(gòu)。該機器人由軌跡規(guī)劃單元，位姿反解單元，控制系統(tǒng)及執(zhí)行機構(gòu)組成，并聯(lián)機構(gòu)的動平臺作為主要的執(zhí)行器對移動骨進行牽伸和對位。利用骨折復位機器人進行骨折復位手術(shù)的流程可以分三個階段：

圖1 骨折復位機器人系統(tǒng)

圖2 骨折復位機器人執(zhí)行器部分

首先利用骨外固定環(huán)分別固定患者遠端及近端，由遠端環(huán)充當并聯(lián)機構(gòu)的移動平臺，近端與手術(shù)床保持剛性連接。再通過透視影像測算移動骨與參照骨的相對位姿，利用計算機軟件根據(jù)醫(yī)生的臨床經(jīng)驗設(shè)計移動骨的復位軌跡，機器人根據(jù)設(shè)定好的復位軌跡進行骨折復位。在復位結(jié)束后，通過定制外固定連桿連接近/遠端的骨外固定環(huán)構(gòu)成六自由度外固定器或采用內(nèi)固定(如髓內(nèi)釘或鋼板等)的方式固定。最后斷開固定環(huán)與手術(shù)床與機器人的連接，結(jié)束手術(shù)。

3 骨折復位機器人逆運動學分析

本文主要以骨折復位機器人的執(zhí)行機構(gòu)為研究對象。由于并聯(lián)機構(gòu)的正運動學問題分析較為復雜且本文在對其進行控制時刻意回避了正運動學求解，因此本文僅對骨折復位機器人并聯(lián)執(zhí)行機構(gòu)的逆運動學進行分析及求解。圖3為該機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖。

圖3 骨折復位機器人機構(gòu)簡圖

(1)

因此，第i根支鏈的長度ρi可以表示為

至此，給定動平臺相對于定平臺的位姿變化，就能通過(1)式計算出各執(zhí)行器的長度，這實際上就是骨折復位機器人逆運動學的求解過程。

4 骨折復位機器人的動力學建模

4.1 拉格朗日法求機器人動力學方程

本文利用拉格朗日法建立骨折復位機器人執(zhí)行機構(gòu)的動力學數(shù)學模型。利用拉格朗日法建立機構(gòu)的動力學模型，對于骨折復位機器人這一完全約束的并聯(lián)機構(gòu)，支鏈與平臺構(gòu)成封閉的結(jié)構(gòu)，機構(gòu)的每個部分存在許多中間坐標和約束條件，通常相互依賴。首先需要采用合適的廣義坐標求解系統(tǒng)的動能和勢能[5]。根據(jù)虛功原理的定義，在廣義坐標的基礎(chǔ)上定義拉格朗日函數(shù)為

L=K-P

(2)

其中K表示系統(tǒng)的動能，P表示系統(tǒng)的勢能，由于機構(gòu)動能取決于廣義坐標及其它們時間的導數(shù)，勢能取決于廣義坐標本身，則系統(tǒng)的拉格朗日方程為：

其中Q表示廣義力，對于六自由度并聯(lián)機構(gòu)，選取運動平臺質(zhì)心位置變量和螺旋系下的姿態(tài)變量X作為廣義坐標。機械臂的動能可以由質(zhì)量矩陣M(X)表示

因此拉格朗日函數(shù)可以重寫為

由于動能是速度向量的二次型，將上式帶入式(2)可得

定義

(3)

(4)

在拉格朗日方程中，式(3)包含了科氏力與離心力加速度引起的所有慣性力，為了簡化科氏力和離心力向量，利用張量積可以將V表示為如下形式

根據(jù)張量積的運算法則，定義C被表示為如下形式

采用這種表示形式，對于任何并聯(lián)機構(gòu)的動力學方程都可以寫成一般的封閉形式：

為了應(yīng)用機構(gòu)參數(shù)及運動學參數(shù)并推導出骨折復位機構(gòu)具體的動力學方程，將機構(gòu)分解為運動平臺和6條支鏈分別建立其動力學方程，分別建立廣義坐標并獨立分析，最后通過轉(zhuǎn)換關(guān)系將兩部分合并，求出動力學矩陣的參數(shù)表達式。

首先建立各支鏈的運動學方程。假設(shè)每個支鏈由動臂和靜臂兩部分組成，動臂和靜臂的質(zhì)心分別為ci1和ci2，質(zhì)量分別為mi1，mi2.作用于肢體上的有外部力，驅(qū)動力和重力并假定沒有擾動扭力。定義支鏈與上平臺鉸點Bi的位置為廣義坐標。定義為xi，支鏈動力學方程的一般形式為

質(zhì)量矩陣可以從每個肢體的動能中直接求出

重力項Gi可以根據(jù)勢能相對于廣義坐標xi的偏導求得，即

科氏力和離心力項則根據(jù)拉格朗日等式的拉格朗日函數(shù)的時間導數(shù)直接求得。

下面出了它們的具體形式

(5)

(6)

(7)

其中

骨折復位機器人的動平臺是一個幾何對稱質(zhì)量均勻的剛體，選取運動平臺自身的運動參數(shù)X作為廣義坐標，建立運動平臺的動力學方程

其中質(zhì)量矩陣可以從運動平臺動能推導而來

科氏力與離心力向量可以通過將質(zhì)量矩陣相對于時間進行微分以及將動能相對于廣義坐標進行微分得到

重力項則是通過將動平臺勢能對廣義坐標求偏導得到：

最終，動平臺的動力學矩陣為

(8)

(9)

(10)

為了獲得機構(gòu)整體的動力學矩陣，需要將中間廣義坐標系xi通過雅各比矩陣Ji轉(zhuǎn)化為全局的廣義坐標X，并按如下公式計算骨折復位機構(gòu)的整體動力學矩陣

此外，作用于機構(gòu)的廣義力Q可以認為是驅(qū)動力與擾動扭轉(zhuǎn)力Fd共同作用，即

Q=JTτ+Fd

至此，即求得了骨折復位機構(gòu)的動力學方程的封閉形式，該形式有助于將先進的控制策略運用到控制系統(tǒng)中。

4.2 逆動力學仿真

通過給定末端執(zhí)行器運動軌跡，觀察各支鏈及平臺所受的力是否符合預期，可以驗證動力學模型建立的正確性和完整性。首先需要為機器人的動平臺設(shè)定運動的軌跡。由于6-UPU并聯(lián)機構(gòu)在空間有3各個平移及三個旋轉(zhuǎn)的自由度因此需要為6個自由度分別設(shè)計運動軌跡。處于機器人考慮，因此希望執(zhí)行器可以柔和的啟動并緩慢的停止，即希望末端執(zhí)行器在個自由度的起始和終止速度為零，并且在軌跡的中間階段運動盡可能保持勻速，多項式函數(shù)可以被用于模擬機構(gòu)的運動軌跡，本文采用三次多項式表示個自由度的運動軌跡

q(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3

軌跡的速度為

通過Simulink模擬了動平臺的運動軌跡，設(shè)置仿真時間為6秒并模擬了三條動平臺的運動軌跡如圖4所示，分別使動平臺沿Z軸平移30mm，沿X軸及Z軸分別平移30mm及繞Y軸旋轉(zhuǎn)30度，其中藍色線段表示機構(gòu)的起始狀態(tài)，紅色線段表示機構(gòu)的終止狀態(tài)。將該軌跡輸入骨折復位機器人的動力學模型，認為作用于機構(gòu)的外部力只有重力g=[0，0，-9.8]T，其對應(yīng)的平臺受力曲線如圖所示，利用力雅可比矩陣得到各支鏈的受力情況如圖5所示。

圖4 由左到右分別為動平臺沿z軸上升30mm;動平臺分別沿z軸和x軸移動30mm;動平臺繞X軸旋轉(zhuǎn)20度

圖5 各支鏈在三種運動軌跡下所受的力

三組軌跡下的動平臺分別沿著Z正方向的力向上移動30mm，沿Z軸及X軸同時各移動30mm和繞Y軸旋轉(zhuǎn)30度，并經(jīng)歷先加速再減速的過程，由于設(shè)置Z軸沿豎直向下，動平臺沿各軸受力偏離0軸，以克服重力的影響。

5 骨折復位機器人控制系統(tǒng)設(shè)計

5.1 關(guān)節(jié)空間的控制系統(tǒng)架構(gòu)

基于工作空間的控制系統(tǒng)如圖6a所示，期望軌跡與機構(gòu)輸出的軌跡產(chǎn)生的偏差被送入控制器，控制器根據(jù)機構(gòu)的動力學模型產(chǎn)生相應(yīng)的關(guān)節(jié)驅(qū)動力輸入機構(gòu)的各個關(guān)節(jié)，構(gòu)成一個閉環(huán)系統(tǒng)。但是，實際的情況是，機構(gòu)動平臺的運動參數(shù)X通常很難直接測量，相比于測量動平臺的運動參數(shù)，測量主動關(guān)節(jié)的位移變化更加經(jīng)濟方便。一種可行的方法是通過在工作空間中設(shè)計控制器，通過傳感器測量機構(gòu)關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)變量，并通過前向運動學求解工作空間中動平臺的位姿X，但由于前向運動學需要求解一系列非線性方程，計算復雜度高，尤其是需要實時的提供控制信號時，該方法的實現(xiàn)較為困難。相比于前向動力學，并聯(lián)機構(gòu)的反向運動學求解就要簡單的多。本文首先利用并聯(lián)機構(gòu)的反向運動學模型根據(jù)機器人的期望軌跡計算出相應(yīng)的期望關(guān)節(jié)位移量Ld，基于期望關(guān)節(jié)位移與實際關(guān)節(jié)位移q(t)在關(guān)節(jié)空間的誤差eq來設(shè)計控制器，控制器輸入是誤差eq，輸出是執(zhí)行器關(guān)節(jié)的力τ。通過這種改變，明顯減少了動態(tài)系統(tǒng)的耦合性和非線性特性，使得在控制架構(gòu)中為每個關(guān)節(jié)設(shè)置獨立控制器變得有效。

圖6 控制系統(tǒng)架構(gòu)

由于上一章所推導的機器人動力學模型是在工作空間中建立的，再利用關(guān)節(jié)空間的控制架構(gòu)時有必要將動力學模型轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間中。執(zhí)行器的力矩向量和對應(yīng)的工作空間的廣義力的關(guān)系可以表示為

F=JTτ

其中J為機構(gòu)的雅各比矩陣。由于機構(gòu)是完全約束的機構(gòu)，雅各比矩陣在非奇異狀態(tài)下可逆。工作空間中加速度與速度可以表示為

(11)

Mq=J-TM(X)J-1

Gq=J-TG(X)；τd=J-TFd

5.2 逆動力學模型的控制系統(tǒng)設(shè)計

計算力矩法是典型的考慮機器人動力學模型的控制方案，通過機器人的動力學模型為PD控制的輸出提供了非線性的補償，使得被控對象變成更容易控制的線性定長系統(tǒng)，再采用PD控制便可以的到滿意的控制效果。式(11)為機器人在關(guān)節(jié)空間中的動力學方程，計算力矩法的控制架構(gòu)如圖7所示。

圖7 逆動力學模型控制

各支鏈獲得的控制量為

機器人的動力學方程可以表示為

若動態(tài)矩陣的值精確且M(q)可逆，則可以消去上式的非線性項，上式等價于一個解耦的線性定常系統(tǒng)

當期望軌跡qd(t)給定后，可對上述系統(tǒng)引入包含偏置的PD控制

式中e=qd(t)-q(t)，Kd，Kp均是對角矩陣且正定的。閉環(huán)系統(tǒng)的方程為

5.3 逆動力學模型的控制系統(tǒng)仿真

圖8 動平臺運動軌跡

圖9 基于力矩法的仿真控制系統(tǒng)

圖10 各桿的長度變化

圖11 各桿的受力情況

圖12 動平臺受力情況

圖13 動平臺實際的運動軌跡及與期望軌跡的誤差

左圖為期望變換曲線，右圖為實際變化曲線

6 結(jié)論

本文設(shè)計了一種新型的并聯(lián)骨折復位機器人用于替代外科醫(yī)生來進行長骨骨折復位手術(shù)。該機構(gòu)通過動平臺帶動骨折遠端移動骨進行空間上六個自由度的運動以實現(xiàn)骨折復位的目的。通過MATLAB軟件中的SimMechanic工具箱結(jié)合Soildworks軟件設(shè)計骨折復位機器人，通過Simulink工具箱搭建了機構(gòu)的軌跡生成模塊及反向運動學求解模塊，對骨折復位機器人機構(gòu)進行了運動學仿真?；谶\動學分析的結(jié)果，運用拉格朗日法建立了該骨折復位機器人的動力學模型，并探究了平臺位姿與關(guān)節(jié)驅(qū)動力及平臺受力的關(guān)系；利用計算力矩法在關(guān)節(jié)空間中設(shè)計了骨折復位機構(gòu)逆動力學控制器。通過該仿真結(jié)果可以看出引入機構(gòu)動力學模型的計算力矩法的控制器使得機器人具有較好的跟蹤性能及魯棒性。該研究為實際控制器設(shè)計及控制系統(tǒng)開發(fā)提供了理論支持。