氣動(dòng)3-UPU機(jī)器人的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制仿真

劉 昱，彭 鋒，趙國新，張立業(yè)

(北京石油化工學(xué)院信息工程學(xué)院，北京 102617)

1 引言

并聯(lián)機(jī)器人具有精度高、動(dòng)態(tài)響應(yīng)好、剛度高和承載能力大等優(yōu)點(diǎn)，在無需很大工作空間的領(lǐng)域內(nèi)得到廣泛應(yīng)用。1978年，Hunt[1]首次提出把六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為機(jī)器人操作器，并聯(lián)機(jī)器人才逐漸引起了人們廣泛注意。在國內(nèi)，1991年燕山大學(xué)黃真教授[2]研制出第一臺(tái)六自由度并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī)。鄭相周等[3]根據(jù)純轉(zhuǎn)動(dòng)型3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何特點(diǎn)，使用單位四元數(shù)變換求出其雙正交條件下的8個(gè)封閉的位置正解。梁偉文[4]提出了純轉(zhuǎn)動(dòng)型3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間搜尋算法，并驗(yàn)證了該算法的有效性。由于氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)具有價(jià)格低、維護(hù)方便、安全無污染等特點(diǎn)，使其迅速在并聯(lián)機(jī)器人領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用[5]。Richardson等[6]圍繞關(guān)節(jié)空間極點(diǎn)位置控制器介紹了一種用于氣動(dòng)機(jī)器人的阻抗控制器，并成功實(shí)施在機(jī)器人上。王飛等[7]采用狀態(tài)控制器對氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)進(jìn)行控制，相比PID控制器，其控制精度更高、更穩(wěn)定。陳平等[8]采用魯棒自適應(yīng)PD控制算法對氣動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了優(yōu)化控制。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力，侯波等[9]將改進(jìn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器應(yīng)用到液壓舵機(jī)伺服系統(tǒng)中，具有良好的控制效果和較強(qiáng)的魯棒性。孟慶愛等[10]針對火箭炮位置伺服系統(tǒng)構(gòu)建了基于傳統(tǒng)PID控制的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器，仿真結(jié)果表明該控制策略可以有效提高系統(tǒng)的控制品質(zhì)。Cheng J等[11]設(shè)計(jì)了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的無刷直流電機(jī)控制系統(tǒng)，仿真結(jié)果表明該方法提高了系統(tǒng)的自適應(yīng)能力和抗干擾能力。

本文采用solidedge軟件設(shè)計(jì)3-UPU并聯(lián)機(jī)器人物理模型，根據(jù)該機(jī)構(gòu)幾何關(guān)系推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并基于數(shù)值解法得到了該機(jī)構(gòu)的工作空間，同時(shí)針對該機(jī)器人的氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)設(shè)計(jì)了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器。仿真結(jié)果表明，該機(jī)構(gòu)有較大的工作空間，同時(shí)對于該機(jī)器人的氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)，相比于傳統(tǒng)PID，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器具有更優(yōu)的控制效果。

2 機(jī)器人建模與分析

2.1 3-UPU機(jī)器人物理建模

采用三維建模軟件設(shè)計(jì)3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)物理模型，如圖1所示，該機(jī)構(gòu)三條相同支鏈采用無摩擦氣缸[12]，其動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)均為正三角形，三條相同支鏈的兩端分別連接到虎克鉸的一側(cè)，虎克鉸的另一側(cè)通過幾何約束對稱連接到兩個(gè)平臺(tái)的三角形頂點(diǎn)。其中U代表虎克鉸，通過它使兩關(guān)節(jié)之間具有兩個(gè)獨(dú)立的相對轉(zhuǎn)動(dòng)，具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度。P代表3-UPU 并聯(lián)機(jī)器人移動(dòng)副，它允許兩構(gòu)件沿公共軸線作相對直線運(yùn)動(dòng)。

圖1 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

2.2 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解

3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)簡圖如圖2所示，靜平臺(tái)為正三角形A1A2A3，其所在的外接圓圓心為O0，半徑為R，支鏈依次為Pi(i=1，2，3)，其中Ai(i=1，2，3)依次為三條支鏈的上頂點(diǎn)。建立絕對坐標(biāo)系O0x0y0，x0軸正方向由O0指向A2，z0軸正方向垂直于平面A1A2A3向下，在絕對坐標(biāo)系下Ai(i=1，2，3)的坐標(biāo)分別為

圖2 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)簡圖

A2(R，0，0)

動(dòng)平臺(tái)為正三角形M1M2M3，其所在的外接圓圓心為O，半徑為r，其中Mi(i=1，2，3)依次為三條支鏈的下頂點(diǎn)。建立局部坐標(biāo)系Oxyz，x軸正方向由O指向M2，z軸正方向垂直于平面M1M2M3向下，在絕對坐標(biāo)系Oxyz下Mi(i=1，2，3)的坐標(biāo)分別為

M2(r，0，0)

根據(jù)該機(jī)構(gòu)的幾何特點(diǎn)，運(yùn)用矢量法，有下面的矢量方程

AiMi=-O0Ai+O0O+OMi，(i=1，2，3)

(1)

|AiMi|=li，(i=1，2，3)

(2)

式中，li(i=1，2，3)表示第i個(gè)支鏈的長度。如果設(shè)O點(diǎn)的絕對坐標(biāo)為(x，y，z)，則O0O可以表示為

O0O=[xyz]T

(3)

O0Ai表示為

O0A2=[R0 0]T

(4)

OMi表示為

OM2=[r0 0]T

(5)

令Δ=R-r

所以得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

(6)

進(jìn)一步得到機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

(7)

2.3 系統(tǒng)工作空間分析

根據(jù)實(shí)際支鏈長度采用遍歷法得到滿足機(jī)構(gòu)約束條件的所有坐標(biāo)點(diǎn)集并可視化顯示，從而得到該機(jī)構(gòu)的工作空間。

已知支鏈采用的氣浮無摩擦缸最小長度lmin=420mm，最大長度lmax=720mm，則各支鏈長度li(i=1，2，3)滿足關(guān)系式

lmin≤li≤lmax

根據(jù)該機(jī)構(gòu)裝配關(guān)系可知，當(dāng)其處于初始位置時(shí)，支鏈初始長度l0=570mm，支鏈與靜平臺(tái)初始夾角θ0=45°，可以求解出Δ=403.05 mm，通過MATLAB軟件仿真計(jì)算得到3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間，如圖3(a)所示，其在xy平面的投影如圖3(b)所示，工作空間為帽子形，空間邊界曲線連續(xù)且光滑。

圖3 3-UPU工作空間

工作空間分布見表1，其動(dòng)平臺(tái)在x，y，z方向最大位移均接近0.5 m。

表1 工作空間分布

2.4 氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

基于氣浮無摩擦缸驅(qū)動(dòng)的3-UPU并聯(lián)機(jī)器人通過聯(lián)合控制三個(gè)單軸氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)在空間中的運(yùn)動(dòng)，所以該氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)成為實(shí)現(xiàn)機(jī)器人各性能指標(biāo)的關(guān)鍵部分和控制策略的主要研究對象。

該系統(tǒng)的基本原理是通過計(jì)算機(jī)控制軟件、比例閥、氣缸的調(diào)節(jié)作用，使比例閥輸入信號(hào)電壓ue與位移傳感器采集的氣缸位移反饋信號(hào)uf之差Δu趨于零，從而實(shí)現(xiàn)氣缸位移對輸入信號(hào)的跟蹤。為了簡化其數(shù)學(xué)模型，作如下假設(shè)[13]：①所有工作介質(zhì)為理想氣體，滿足氣體方程；②氣體流過閥口或其它節(jié)流孔時(shí)的流動(dòng)狀態(tài)為等熵絕熱過程；③在動(dòng)態(tài)過程中各參量的變化僅是一個(gè)微小量(小擾動(dòng)假設(shè))。

2.4.1 比例閥模型

以德國FESTO公司MPYE-5型三位五通比例流量閥為研究對象。該閥屬于電壓型控制閥，比例閥中位電壓為5V，當(dāng)信號(hào)電流通過線圈時(shí)，線圈上產(chǎn)生的電磁力推動(dòng)閥芯運(yùn)動(dòng)來調(diào)節(jié)閥的開度，而電流的大小又由輸入電壓信號(hào)與反饋信號(hào)比較得到。

控制線圈的電壓平衡方程為

(8)

其中，ku為放大器增益，ug為輸入放大器的信號(hào)電壓，Rc為控制線圈電阻，rp為放大器內(nèi)阻，Lc為控制線圈電感，ic為線圈電流，Kb為線圈的反電動(dòng)勢常數(shù)，Kb=BgπDNc。設(shè)ufk=Kfkx為反饋電壓，其中Kfk為傳感器增益，則

ug=ue-ufk=ue-Kfkx

(9)

其中，ue為比例閥的輸入電壓。

電流通過線圈時(shí)產(chǎn)生的電磁力為

F=BgπDNcic=Ktic

(10)

其中，Bg為磁感應(yīng)強(qiáng)度，Nc為控制線圈的匝數(shù)，Kt為電磁力系數(shù)，Kt=BgπDNc。

若忽略線圈組件上的負(fù)載力，則

(11)

m為線圈組件的質(zhì)量，B為線圈組件的阻尼系數(shù)，聯(lián)立式(8)(9)(10)(11)并進(jìn)行拉氏變換得電-氣比例閥的傳遞函數(shù)為

(12)

式中，w0為比例閥的固有頻率，ζ0為比例閥的阻尼比。

2.4.2 閥控缸模型

氣缸Ⅰ腔和Ⅱ腔的壓力、容積、溫度和氣體密度分別為p1、V1、T1、ρ1和p2、V2、T2、ρ2。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，流入Ⅰ腔的氣體質(zhì)量流量應(yīng)等于容腔的質(zhì)量變化率。

(13)

應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程

(14)

式中，R為氣體常數(shù)，R=287J/(kg·K)。

按照假設(shè)，過程中的溫度T1與起始時(shí)的溫度T10之間應(yīng)滿足絕熱條件

(15)

式中，k為空氣絕熱指數(shù)，k=1.4，p10為Ⅰ腔的起始?jí)毫?，將上式代?13)式整理得Ⅰ腔氣體動(dòng)態(tài)過程的表達(dá)式

(16)

在小擾動(dòng)假設(shè)下，將初始位置取在中間平衡位置，由于dV1=AdΔy，則得到

(17)

同理，Ⅱ腔的方程為

(18)

將通過閥口的氣體流動(dòng)過程近似為理想氣體通過收縮管的一維等熵流動(dòng)，采用Sanville流量公式[13]

(19)

式中，A為節(jié)流孔最小截面積，單位mm2；T為絕對溫度，單位K；ps、p1均為絕對壓力，單位MPa；Ct為臨界壓力比，Ct=0.528，Ct>0.528時(shí)為亞聲速流動(dòng)，Ct<0.528時(shí)為超聲速流動(dòng)。

由于通過滑閥的氣體質(zhì)量流量僅是閥芯位移X和氣缸中氣體壓力p1和p2的函數(shù)，即

(20)

若忽略摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律，有：

(21)

其中，M為活塞及慣性負(fù)載質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，F(xiàn)L為外負(fù)載力。

活塞位移對閥芯位移的傳遞函數(shù)為

(22)

2.4.3 氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)的總模型

由比例閥和閥控缸的數(shù)學(xué)模型，可得到氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)的總模型，其傳遞函數(shù)為

(23)

由于比例閥的響應(yīng)速度較快，而動(dòng)力結(jié)構(gòu)的固有頻率是控制回路最低的，它對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有決定性的影響，因而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可近似為

(24)

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由比例、積分和二階振蕩環(huán)節(jié)組成。

3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制算法

基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制算法構(gòu)建控制器，其思想為：初始階段采用PD反饋控制，然后過渡到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制。在控制過程中，如出現(xiàn)較大的誤差，則PD控制起主導(dǎo)作用，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制起調(diào)節(jié)作用，該控制系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的監(jiān)督控制系統(tǒng)

設(shè)徑向基向量為h=[h1，…，hm]T，hj為高斯函數(shù)，則

(25)

其中，j為網(wǎng)絡(luò)輸入個(gè)數(shù)，j=1，…，m；hj為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元的輸出；x(k)為RBF網(wǎng)絡(luò)的輸入；cj為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元的中心點(diǎn)矢量值，cj=[cj1，…，cjm]；b為高斯基函數(shù)的寬度，b=[b1，…，bm]T。

設(shè)權(quán)值向量為

ω=[ω1，…，ωm]T

(26)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為

un(k)=h1ω1+…+hjωj+…+hmωm

(27)

其中，m為隱含層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

總控制輸入為u(k)=un(k)+up(k)，誤差指標(biāo)為

(28)

其中，up(k)為PD控制的輸出。

采用梯度下降法，網(wǎng)絡(luò)權(quán)值學(xué)習(xí)算法為

(29)

ω(k)=ω(k-1)+Δω(k)+α[ω(k-1)-ω(k-2)]

(30)

其中，η∈[0，1]為學(xué)習(xí)速率，α∈[0，1]為動(dòng)量因子。

4 氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)仿真分析

對氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型對象進(jìn)行離散化。取RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為1-4-1，在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制中，學(xué)習(xí)速率η=0.3，動(dòng)量因子α=0.05，網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值wj取[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)。

1)階躍響應(yīng)

PID控制器參數(shù)為Kp=0.2，kd=0.01。在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制中，中心參數(shù)取c=[-1.8 0.9 0.9 1.8]，高斯基函數(shù)寬度取b=0.15*ones(4，1)。理想跟蹤指令為yd(k)=0.2m。設(shè)定仿真時(shí)間為10s，采樣周期為0.01s，對氣缸活塞位移進(jìn)行仿真，得到如圖5-圖7所示的響應(yīng)曲線。

圖5 系統(tǒng)階躍響應(yīng)

從圖5和圖6可以看出，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器，響應(yīng)速度更快，過渡時(shí)間約為6.5s，穩(wěn)態(tài)誤差約為0.1mm。圖7中un表示RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出，up表示PD控制輸出，u表示總輸出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過對PD控制的學(xué)習(xí)，使得PD控制逐漸趨于0，并最終在總控制中占據(jù)主導(dǎo)地位。

圖6 階躍響應(yīng)誤差

圖7 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出、PD控制輸出和總輸出

2)正弦跟蹤

PID控制器參數(shù)為Kp=1.2，ki=0.012，kd=7；在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制中，中心參數(shù)取c=[-1.8 0.9 0.9 1.8]，高斯基函數(shù)寬度取b=0.15*ones(4，1)。理想跟蹤指令yd(k)的幅值為0.2m，頻率為0.5Hz。設(shè)定仿真時(shí)間為5s，采樣周期為0.01s，對氣缸活塞位移進(jìn)行仿真，得到如圖圖8所示的正弦跟蹤響應(yīng)曲線，圖9位正弦跟蹤誤差曲線。

圖8 正弦跟蹤響應(yīng)

圖9 正弦跟蹤誤差

在1/4周期處，PID和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制幅值衰減分別為3.3%和0.9%，相位滯后分別約為1.73°和3.49°；在3/4周期處，PID和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制幅值衰減分別為2.6%和0.7%，相位滯后分別約為1.35°和2.91°。同時(shí)統(tǒng)計(jì)其平均誤差，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制比PID減少了32.6%。通過比較得知，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制在防幅值衰減和相位滯后等方面優(yōu)于傳統(tǒng)PID。

3)方波跟蹤

PID控制器參數(shù)為Kp=0.4，kd=1；在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制中，中心參數(shù)取c=[-2 1 1 2]，高斯基函數(shù)寬度取b=0.2*ones(4，1)。理想跟蹤指令yd(k)的幅值為0.2m，頻率為0.08Hz。設(shè)定仿真時(shí)間為30s，采樣周期為0.01s，對氣缸活塞位移進(jìn)行仿真，得到如圖10所示的方波跟蹤響應(yīng)曲線，圖11為方波跟蹤誤差曲線。

圖10 方波跟蹤響應(yīng)

圖11 方波跟蹤誤差

兩種控制器下的方波跟蹤幅值基本無衰減，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制的方波跟蹤響應(yīng)更快，統(tǒng)計(jì)其平均誤差，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制比PID減少了15.7%。

5 結(jié)論

本文根據(jù)氣浮無摩擦缸驅(qū)動(dòng)的3-UPU并聯(lián)機(jī)器人的幾何關(guān)系推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并基于數(shù)值解法得到了該機(jī)器人的工作空間，同時(shí)針對該機(jī)器人的氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)設(shè)計(jì)了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器。通過仿真分析可知，該機(jī)構(gòu)有較大的工作空間，同時(shí)對于氣動(dòng)比例位置系統(tǒng)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器具有更快的響應(yīng)速度，其控制性能要優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器，為后續(xù)的實(shí)驗(yàn)研究奠定了基礎(chǔ)。