一種新的魯棒PM濾波及其在組合導航中的應用*

梁 浩 張子劍 賈 睿 崔利軍

1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076 2.太原衛(wèi)星發(fā)射中心，山西太原 030027

0 引言

星光導航系統(tǒng)(CNS)具有精度高、自主隱蔽的特點，能夠為載體提供高精度姿態(tài)信息[1]；合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar，SAR)是一種高精度微波成像雷達，它具有全天時、全天候、遠距離工作的優(yōu)點[2]；CNS、SAR和捷聯(lián)慣導(SINS)組成的CNS/SAR/SINS組合導航系統(tǒng)是一種性能優(yōu)異的無依托自主導航方式[3-4]。

Kalman濾波限制條件比較苛刻，要求系統(tǒng)模型精確已知，然而在實際應用中，受各種條件的限制，很難獲得噪聲準確的先驗統(tǒng)計特性；另一方面，系統(tǒng)的噪聲特性也是不穩(wěn)定的，噪聲特性因內(nèi)部器件特性變化或外部力學沖擊等環(huán)境因素，可能產(chǎn)生不可預知的變化。

為了處理這種存在偏差的系統(tǒng)，魯棒濾波被研究并發(fā)展應用起來，M估計濾波和H∞濾波是2種最典型的魯棒濾波，被廣泛用來處理高斯分布受到污染或干擾的系統(tǒng)。M估計濾波對應用系統(tǒng)的噪聲特性變化較遲鈍，能夠解決系統(tǒng)噪聲和測量噪聲統(tǒng)計特性不確定的問題[5-6]，H∞估計濾波將模型誤差看作未知但有界的噪聲，使噪聲污染情況下的估計誤差最小[7]，但當系統(tǒng)出現(xiàn)尖銳的野值時，M估計濾波和H∞濾波均會出現(xiàn)較大誤差以至發(fā)散。

本文針對組合導航系統(tǒng)中出現(xiàn)多種尖銳野值的情況，引入GM估計野值檢測抑制方法，構建了魯棒PM估計濾波，應用于高空飛行器CNS/SAR/SINS組合導航中，并進行了仿真分析。

1 基于M估計的線性濾波

1964年，Huber經(jīng)過嚴格的推導[5]，提出了廣義極大似然估計，即M估計魯棒濾波。針對高斯噪聲受到污染的系統(tǒng)，M估計結合了l1和l2范數(shù)構造代價函數(shù)，其魯棒性優(yōu)于l2范數(shù)估計，其優(yōu)點是保證最大漸近估計方差最小以及純高斯分布時l2范數(shù)估計的效率。

線性離散系統(tǒng)如下

xk=Fk-1xk-1+wk-1

(1)

yk=Hkxk+vk

(2)

式中：xk為狀態(tài)量，yk為觀測量，F(xiàn)k-1為狀態(tài)轉移矩陣；系統(tǒng)噪聲wk-1和量測噪聲vk為高斯白噪聲，方差為Qk-1和Rk。

1)預測

(3)

(4)

2)更新

(5)

針對量測更新過程，構造線性回歸模型以提高系統(tǒng)的冗余性：

(6)

定義如下變量：

(7)

(8)

(9)

(10)

則線性回歸模型可以轉化為

zk=Mkxk+ξk

(11)

M估計求解如下代價函數(shù)的極小值，通過求解代價函數(shù)獲得狀態(tài)估計值：

(12)

式中：ei=(zk-Mkxk)i；ρ為任意函數(shù)，通過選擇ρ函數(shù)，可以使估計器獲得某些特定的性質，Huber建議的ρ函數(shù)形式如下

(13)

式中：μ為可調節(jié)參數(shù)。而當殘差較大時，ρ函數(shù)具有l(wèi)1范數(shù)的性質，相反當殘差較小時，ρ函數(shù)具有l(wèi)2范數(shù)的性質。通過配置μ，可以使濾波器在高斯分布下具有較高的估計效率，并且能夠抑制濾波噪聲污染對系統(tǒng)的影響。

Huber在公開文獻中已證明，當選擇式(13)作為ρ函數(shù)的形式時，M估計濾波對受污染的高斯系統(tǒng)具有漸近最優(yōu)魯棒性。

2 魯棒PM估計

2.1 系統(tǒng)野值的類別及影響

在實際系統(tǒng)中除了存在受污染的高斯噪聲，還會存在各種干擾野值，一般認為在組合導航系統(tǒng)中出現(xiàn)的野值主要是系統(tǒng)狀態(tài)野值和量測野值2種，然而狀態(tài)轉移矩陣和量測矩陣中也會出現(xiàn)野值，稱為結構野值，結構野值是由時變系統(tǒng)模型匹配錯誤和計算浮點數(shù)錯誤等引起的，3種類型野值列表如下。

在回歸模型中野值點遠離其它正常點，會對M估計產(chǎn)生較大的影響，M估計也僅能夠抑制系統(tǒng)的部分量測野值，當系統(tǒng)同時存在表1中的3種野值時，M估計濾波會出現(xiàn)偏差。

表1 組合導航系統(tǒng)中3種野值類型

近年來，在電力系統(tǒng)狀態(tài)估計中，出現(xiàn)了一種廣義M估計(GM估計)濾波算法[8]，通過構造回歸模型并采用迭代方法求解最優(yōu)估計，GM估計對量測野值、狀態(tài)野值和結構野值均具有魯棒性。GM估計包括Mallows型GM估計和Schweppe型GM估計2種，Mallows型GM估計在目標函數(shù)中引入權函數(shù)以降低所有量測點的權重，Schweppe型GM估計只針對野值點進行衰減，后者具有更高的效率。

2.2 GM估計中的PS野值檢測方法

圖1 導航系統(tǒng)中被污染的樣本點

圖2 預白化處理后的樣本點分布

MD(Mahalanobis Distances)是一種經(jīng)典的基于樣本點均值和方差的野值檢測方法，定義樣本點集的中心為c=[p1,p2]T，同一組狀態(tài)信息樣本點形成一擬合圓，令di=[di1,di2]T表示樣本點xi(i=1,…,m)到擬合圓的矢量，xi到擬合圓的距離為p3，那么di又可表示為di=(xi-c)(1-p3/‖xi-c‖)。MD野值檢測方法表示如下

(14)

(15)

(16)

為此，人們提出了一種魯棒的野值檢測方法，魯棒PS(Projection Statistics)檢測法[9]，PS利用樣本點中值和中值絕對偏差(Median Absolute Deviation, MAD)來構造檢測方程：

(17)

式中：uk表示PSi檢測的基準方向，每個點都需對m個方向的投影進行檢測；PS方法受野值點干擾較小，當同時存在多處野值時也能夠準定位，其計算速度也較快。

2.3 魯棒PM估計濾波構建

將GM估計中的PS野值檢測方法應用到M估計濾波中，構建一種新的魯棒PM(Projection M-estimation)估計濾波。構建方法為：

(18)

3 CNS/SAR/SINS組合導航模型

3.1 捷聯(lián)慣導誤差傳播模型

捷聯(lián)慣性導航系統(tǒng)是飛行器CNS/SAR/SINS組合導航系統(tǒng)的核心，SINS的誤差傳播方程也是組合濾波器模型的基礎。根據(jù)SINS誤差傳播方程構建組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程，利用CNS和SAR的外部導航量構建量測方程，設計濾波器對慣導誤差進行估計。

以東北天地理坐標系為導航坐標系，CNS/SAR/SINS組合導航系統(tǒng)的慣導誤差傳播模型為[10-11]：

(19)

(20)

(21)

(22)

3.2 觀測方程

星光導航系統(tǒng)中星敏感器實際測得的星光矢量可表示為

(23)

星光矢量的理論測量值為：

(24)

星敏感器對星光矢量的實際測量值rb與理論測量值pb有一定的偏差：

(25)

星光導航系統(tǒng)中一般將2個星敏儀正交安裝，把星敏感器實際測得的2個星光矢量rb1、rb2與理論測量值pb1，pb2相減，得到CNS/SINS的觀測量，INS的水平位置與SAR輸出的水平位置之差構成SAR/SINS量測信息[12]，則CNS/SAR/SINS系統(tǒng)的量測方程為

(26)

其中：vk為量測噪聲。

3 仿真校驗

將常規(guī)Kalman濾波、M估計線性濾波以及魯棒PM濾波分別應用于CNS/SAR/SINS組合導航系統(tǒng)進行數(shù)學仿真實驗。

仿真參數(shù)設置為：飛行器初始位置為東經(jīng)116°，北緯38°，速度180m/s，方位角40°，俯仰和滾轉角為0°，飛行器有0.3m/s2的加速度和0.2(°)/s的轉彎角速度。捷聯(lián)慣導陀螺零漂不穩(wěn)定值0.05(°)/h，加表零偏不穩(wěn)定值100μg；星敏感器導航精度為20″(1σ)，SAR導航位置精度為20m(1σ)。仿真時間100s。

由于高空飛行器導航系統(tǒng)長時間工作，導航系統(tǒng)不可避免會出現(xiàn)各種野值、噪聲特性產(chǎn)生變化。下面通過設置不同的仿真條件，對3種線性濾波算法進行對比分析。

仿真條件1：

各導航設備的噪聲統(tǒng)計特性為受到污染的混合高斯分布，方差是原高斯分布的3倍，污染率為ε=0.2，混合高斯分布描述如下

(33)

圖4 水平位置估計總誤差

仿真條件2：

圖6 水平位置估計總誤差

仿真結果圖3～4表明，當導航設備的噪聲特性為混合高斯分布時，常規(guī)Kalman濾波呈發(fā)散趨勢、估計誤差較大，M估計濾波和魯棒PM濾波估計精度較高，驗證了M估計濾波和魯棒PM濾波對受污染的高斯分布噪聲具有魯棒性。

圖3 三向姿態(tài)失準角估計總誤差

仿真結果圖5～6表明，當導航系統(tǒng)中存在尖銳野值和結構野值時，常規(guī)Kalman濾波和M估計濾波對這些野值無法抑制，而本文提出的魯棒PM濾波使用了PS野值檢測方法和魯棒構架，可以對污染噪聲和多種野值進行有效抑制。

圖5 三向姿態(tài)失準角估計總誤差

4 結論

分析了傳統(tǒng)的M估計濾波在處理系統(tǒng)野值上的缺陷，借鑒了電力系統(tǒng)中的魯棒PS野值檢測方法，將魯棒PM估計濾波應用到組合導航系統(tǒng)中，以CNS/SAR/SINS非線性組合導航為應用背景，對常規(guī)Kalman濾波、M估計線性濾波以及魯棒PM濾波進行了對比分析。仿真結果表明，魯棒PM濾波能夠同時對受污染的高斯噪聲和多種系統(tǒng)野值進行抑制，具有較強的結構抗差能力。