考慮時(shí)間約束的多飛行器軌跡優(yōu)化方法研究

楊卓喬 呂春紅

1.北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技術(shù)國家級重點(diǎn)研究室，北京 100854

0 引言

隨著飛行器所要承擔(dān)和執(zhí)行的任務(wù)越來越具體，面對的場景越來越復(fù)雜，多枚飛行器同時(shí)實(shí)現(xiàn)同一任務(wù)目標(biāo)的需求越來越受到各方的關(guān)注。而從同一發(fā)射場對多枚飛行器進(jìn)行集群發(fā)射，不僅有著易于維護(hù)和管理的優(yōu)勢，也可以更好地在惡劣的環(huán)境下實(shí)現(xiàn)任務(wù)目標(biāo)。

對于集群發(fā)射的飛行器，發(fā)射時(shí)間是一項(xiàng)非常關(guān)鍵的因素，為了提升任務(wù)效果，通常要求發(fā)射持續(xù)時(shí)間或者到達(dá)目標(biāo)的間隔時(shí)間盡量短，同時(shí)在設(shè)計(jì)發(fā)射時(shí)間的時(shí)候又存在著發(fā)射時(shí)間段約束，發(fā)射安全時(shí)間間隔約束[1]等眾多約束。為了更好地滿足這些條件，提升集群發(fā)射的效果，則需要對飛行器的飛行時(shí)間在發(fā)射前預(yù)先進(jìn)行規(guī)劃。這本質(zhì)上是一個(gè)飛行器軌跡的設(shè)計(jì)與優(yōu)化問題。

軌跡優(yōu)化是指在特定的約束條件下，尋找飛行器從初始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)滿足某種性能指標(biāo)最優(yōu)的運(yùn)動(dòng)軌跡。在實(shí)際工程中一般將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化，利用非線性規(guī)劃的方法進(jìn)行解算。文獻(xiàn)[2]采用改進(jìn)遺傳算法，提出了一種落點(diǎn)散布最小的優(yōu)化飛行程序方法。文獻(xiàn)[3]通過構(gòu)建基于徑向基函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來模擬彈道模型，優(yōu)化了導(dǎo)彈的最大射程。文獻(xiàn)[4]利用改進(jìn)的Gauss偽譜法，解決了有繞飛區(qū)域的再入軌跡優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[5]采用序列二次規(guī)劃方法，進(jìn)行了最大運(yùn)載能力的彈道優(yōu)化。文獻(xiàn)[6]采用序列凸優(yōu)化的方法，提升了飛行器的機(jī)動(dòng)繞飛能力。

目前雖然軌跡優(yōu)化的方法已經(jīng)有許多比較成熟的方法，但國內(nèi)外鮮有以飛行器飛行總時(shí)間為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化的研究。本文以存在發(fā)射安全時(shí)間間隔的同一發(fā)射場進(jìn)行集群發(fā)射的多枚飛行器為背景，采用序列二次規(guī)劃法(SQP)，以飛行器飛行總時(shí)長為目標(biāo)來進(jìn)行飛行器軌跡的設(shè)計(jì)與優(yōu)化，得到滿足安全時(shí)間間隔和最短到達(dá)時(shí)間間隔的多飛行器軌跡優(yōu)化方案。

1 飛行器主動(dòng)段模型

飛行器的主動(dòng)段為飛行器的有動(dòng)力飛行，即發(fā)動(dòng)機(jī)連續(xù)工作的時(shí)間段。飛行器主動(dòng)段終點(diǎn)參數(shù)一旦確定，飛行器的軌跡基本就可以固定，所以飛行器的軌跡優(yōu)化主要是設(shè)計(jì)主動(dòng)段程序角。

1.1 飛行動(dòng)力學(xué)模型

考慮地球?yàn)樾D(zhuǎn)橢球，采用標(biāo)準(zhǔn)大氣模型，作用于飛行器上的力主要包括發(fā)動(dòng)機(jī)推力、重力和氣動(dòng)力。在發(fā)射慣性系內(nèi)建立飛行器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程[7]。

(1)

其中視加速度按式(2)計(jì)算：

(2)

1.2 主動(dòng)段程序角設(shè)計(jì)模型

飛行器軌跡設(shè)計(jì)就是對主動(dòng)段的標(biāo)準(zhǔn)程序角進(jìn)行設(shè)計(jì)，在滿足約束條件的情況下實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的目標(biāo)。一般情況下，在軌跡規(guī)劃時(shí)可以不考慮飛行器側(cè)向的偏航與滾轉(zhuǎn)程序，即令這兩個(gè)角為0，大部分研究都集中在主動(dòng)段俯仰程序角的設(shè)計(jì)上。

考慮將飛行程序分為大氣層內(nèi)飛行段與真空飛行段，大氣層內(nèi)飛行段又可以分為垂直上升段，亞音速轉(zhuǎn)彎段和彈道轉(zhuǎn)彎段[8]。

俯仰程序角的模型可以總結(jié)為：

(3)

式中：θ(t)為軌道傾角，而α(t)為程序轉(zhuǎn)彎攻角，φcx0為t3時(shí)刻俯仰程序角的值。其模型可取為：

α(t)=4αmea(t1-t)(ea(t1-1)-1)

(4)

該經(jīng)驗(yàn)公式中：αm為該段攻角絕對值的最大值，a為常系數(shù)，其值大小影響攻角趨向于0的速度。

由于亞音速轉(zhuǎn)彎段的結(jié)束時(shí)間和真空飛行段的開始時(shí)間是確定的，可以得出，俯仰角由以下參數(shù)決定：

(5)

2 主動(dòng)段軌跡優(yōu)化模型

本文旨在研究，通過主動(dòng)段軌跡優(yōu)化，滿足給定固定射程的同時(shí)，使飛行器總的飛行時(shí)間與目標(biāo)時(shí)間相差最小。同時(shí)滿足飛行軌跡的過程及終端約束條件。根據(jù)問題建立飛行器主動(dòng)段軌跡優(yōu)化模型。

2.1 性能指標(biāo)

本文研究的主要優(yōu)化目標(biāo)包含射程和飛行時(shí)間2個(gè)方面，需要同時(shí)滿足射程和時(shí)間的要求，是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化的問題，這2個(gè)分目標(biāo)的函數(shù)分別為[9]：

(6)

式中：J1表示飛行器的實(shí)際飛行總時(shí)間相對目標(biāo)時(shí)間的偏差絕對值最小；J2表示飛行器的實(shí)際射程相對目標(biāo)射程偏差絕對值最小。

引入“權(quán)系數(shù)”，a1,a2對其進(jìn)行調(diào)整，可以將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行分析，獲得唯一的一個(gè)優(yōu)化性能指標(biāo)，如式(7)所示。

(7)

2.2 優(yōu)化參數(shù)約束

由于飛行器結(jié)構(gòu)約束和飛行軌跡約束等要求，在優(yōu)化參數(shù)的同時(shí)需要對過程參數(shù)進(jìn)行限制，具體如下：

3)為了給飛行器后續(xù)有足夠的時(shí)間進(jìn)行軌跡修正，要求真空飛行段時(shí)間:0s≤t4-t3≤25s；

4)攻角約束：αmin≤α≤αmax；

2.3 優(yōu)化變量

(8)

3 序列二次規(guī)劃算法(SQP)求解方法

本文將飛行器的主動(dòng)段優(yōu)化設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問題，設(shè)置主動(dòng)段程序角特征參數(shù)作為優(yōu)化變量，并通過非線性規(guī)劃的理論與方法求解。目前對于這類非線性規(guī)劃問題的求解方法已經(jīng)發(fā)展的非常成熟，例如單純形法、共軛梯度法、擬牛頓法以及SQP算法都是有效的工具。SQP算法包含了所求解問題的二階導(dǎo)數(shù)信息，所以在擁有全局收斂性的同時(shí)，在局部可以實(shí)現(xiàn)超1次的收斂性，是目前求解光滑的非線性規(guī)劃問題所廣泛使用的算法之一[10-11]。

其基本原理就是在給定的近似點(diǎn)處通過二次近似逐漸得到一個(gè)更好的迭代點(diǎn)，這需要通過求解二次規(guī)劃子問題得到。在當(dāng)前迭代點(diǎn)處進(jìn)行一系列二次規(guī)劃子問題的求解，使得迭代點(diǎn)逐漸接近原優(yōu)化問題的最優(yōu)點(diǎn)，最后收斂至最優(yōu)解，令我們所要解決的飛行器軌跡非線性規(guī)劃問題為P，其簡要計(jì)算步驟如下[12]：

2)求解二次規(guī)劃子問題的表達(dá)式：

(9)

4)一維搜索：轉(zhuǎn)化為一維最優(yōu)化問題minP(xk+λdk,r)，求出最優(yōu)步長λ(k)，令x(k+1)=x(k)+λd(k)

5)更新矩陣H(k)：用BFGS公式更新矩陣H(k)確定新的正定對稱矩陣H(k+1)，令k=k+1返回第2步。

根據(jù)上一節(jié)建立的飛行器軌跡優(yōu)化模型，采用SQP算法，對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和仿真，其計(jì)算流程如圖1所示。

圖1 SQP算法軌跡優(yōu)化流程圖

4 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型計(jì)算

在飛行器軌跡的設(shè)計(jì)和上一章的優(yōu)化中，需要多次對飛行器動(dòng)力學(xué)模型積分求解，得到飛行器軌跡。采用傳統(tǒng)龍格庫塔等數(shù)值積分方法，計(jì)算量大，且1條軌跡的計(jì)算時(shí)間較長，為了提高計(jì)算效率，在優(yōu)化參數(shù)前，先擬合軌跡模型。本文采用徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)方法對飛行器模型進(jìn)行擬合。

徑向基函數(shù)是用于多變量函數(shù)插值的一種傳統(tǒng)方法。與其他類型的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有深厚的生理學(xué)基礎(chǔ)，其簡單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、快速的學(xué)習(xí)能力和優(yōu)良的逼近性能，已在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[13]。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種三層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入層由一些感知單元組成，不對信號做任何處理，傳遞信號到隱層；隱層采用徑向基函數(shù)作為激活函數(shù)，通常具有較多的神經(jīng)元個(gè)數(shù)，完成從輸入空間到隱層空間的非線性變換；輸出層對隱層輸出進(jìn)行線性組合，從而對輸入信號做出響應(yīng)。RBF網(wǎng)絡(luò)的一大顯著特點(diǎn)是隱節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)采用高斯函數(shù)、多二次函數(shù)、薄板樣條函數(shù)等形式的距離函數(shù)。本文所選取的基函數(shù)為高斯函數(shù)，其形式如式(10)：

(10)

本文將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層設(shè)置為飛行器軌跡積分模型的輸入，輸出則為射程和時(shí)間這2個(gè)重要的性能指標(biāo)，所使用的RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示，是具有2個(gè)輸入，多個(gè)隱層神經(jīng)元及2個(gè)輸出的三層RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

圖2 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的飛行器軌跡參數(shù)計(jì)算模型

根據(jù)圖2構(gòu)建的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的飛行器軌跡參數(shù)計(jì)算模型，進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)訓(xùn)練，即可代替圖1中的“積分解算軌跡”模塊，提升運(yùn)算速度。

5 仿真校驗(yàn)

5.1 飛行器軌跡參數(shù)計(jì)算模型的擬合與校驗(yàn)

以某軸對稱式飛行器為例，仿真驗(yàn)證本文的軌跡優(yōu)化方法。首先根據(jù)式(1)～(2)以及飛行器模型參數(shù)，對飛行器軌跡積分模型進(jìn)行建模。再通過SQP方法，僅以射程為目標(biāo)，設(shè)計(jì)出1條性能較好的標(biāo)準(zhǔn)軌跡。依據(jù)此條標(biāo)準(zhǔn)軌跡所使用的參數(shù)，選擇合適的區(qū)間進(jìn)行RBF網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)。

從樣本數(shù)據(jù)集中提取1900組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，余下100組作為測試樣本，用于檢驗(yàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算精度。在對樣本進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理后，選取合理的初始參數(shù)，確定目標(biāo)誤差，并對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，最后用測試樣本對徑向基網(wǎng)絡(luò)估算出的射程和飛行時(shí)間偏差進(jìn)行檢驗(yàn)，兩者的檢驗(yàn)結(jié)果如圖3～4所示，射程的平均相對誤差約為1.93*10-5%，時(shí)間的平均相對誤差約為1.73*10-5%。所得精度符合要求，即將所得網(wǎng)絡(luò)代入到后續(xù)的SQP優(yōu)化流程之中。

圖3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測試樣本射程相對偏差

圖4 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測試樣本飛行時(shí)間相對偏差

5.2 多飛行器軌跡優(yōu)化

在考慮多枚同一發(fā)射場集群發(fā)射的多枚飛行器完成同一任務(wù)時(shí)，既要考慮發(fā)射時(shí)的安全時(shí)間間隔的要求，又要使到達(dá)時(shí)間間隔盡可能最短，這就需要我們對于同一發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的飛行器設(shè)計(jì)多條不同的軌跡，并且令這些軌跡有著不同的飛行時(shí)間和相同的射程。

假設(shè)發(fā)射時(shí)的安全時(shí)間間隔為5s，那么第n枚發(fā)射的飛行器的飛行總時(shí)長就需要盡可能的比第1枚的減少5ns。根據(jù)5.1節(jié)，將僅以射程為目標(biāo)所設(shè)計(jì)出的標(biāo)準(zhǔn)軌跡為第1枚飛行器所使用，總共對同一目標(biāo)發(fā)射4枚飛行器。以每枚飛行器的時(shí)間和射程為優(yōu)化目標(biāo)，以上面得到的標(biāo)準(zhǔn)軌跡中的參數(shù)作為優(yōu)化變量的初值，利用第2章所建立的優(yōu)化模型，“權(quán)系數(shù)”a1,a2設(shè)置為1、1800，采用SQP方法進(jìn)行優(yōu)化，可以得到結(jié)果如表1。

表1中的優(yōu)化結(jié)果1～3分別為第2枚至第4枚發(fā)射的飛行器所設(shè)計(jì)的飛行軌跡，表中給出了其飛行總時(shí)間和射程相對于標(biāo)準(zhǔn)軌跡的偏差。根據(jù)前文所設(shè)定的安全時(shí)間間隔飛行器將以5s的間隔發(fā)射，可以看出每枚飛行器的飛行時(shí)間的偏差都與其和第1枚飛行器的發(fā)射間隔相近，而射程的偏差不大，符合多飛行器同時(shí)到達(dá)的任務(wù)要求。如果多枚飛行器都采用傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)軌跡的話，每枚飛行器的總用時(shí)是相同的，因?yàn)槊棵栋l(fā)射之間有5s的間隔，假設(shè)各飛行器的結(jié)構(gòu)、發(fā)動(dòng)機(jī)、質(zhì)量等參數(shù)相同，則在不進(jìn)行軌跡優(yōu)化的情況下，4枚飛行器到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的最長時(shí)間間隔約為15s。而采用本文方法，針對第2～4枚飛行器軌跡進(jìn)行優(yōu)化，使得其與第1枚飛行器盡可能同時(shí)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。采用SQP方法進(jìn)行優(yōu)化后，通過仿真結(jié)果可以看出，4枚飛行器到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的最大時(shí)間差約為0.182s左右，實(shí)現(xiàn)了同時(shí)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的需求，可以看出本文研究的方法可大幅提升飛行器的任務(wù)效果。

表1 多枚飛行器的優(yōu)化結(jié)果

6 結(jié)論

考慮多枚飛行器集群發(fā)射的需求，采用了飛行總時(shí)間和射程作為優(yōu)化目標(biāo)，選取了飛行過程中易于調(diào)整、且有著關(guān)鍵作用的參數(shù)作為優(yōu)化變量，建立了飛行器俯仰程序角的優(yōu)化模型。采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對飛行器軌跡參數(shù)計(jì)算模型進(jìn)行擬合，利用SQP算法對多枚彈道進(jìn)行了彈道的優(yōu)化與仿真計(jì)算，同時(shí)保證了優(yōu)化計(jì)算的效率與精度。

結(jié)果表明，該方法在保證了同一發(fā)射場部署的多枚飛行器發(fā)射的安全性的同時(shí)，大幅降低了其到達(dá)任務(wù)目標(biāo)點(diǎn)的時(shí)間間隔，保證了多枚飛行器在時(shí)間和空間上的一致性，對于集群發(fā)射的飛行器共同執(zhí)行同一任務(wù)有著較大的意義。