理法交融打通計(jì)算快速航道
——以“四舍五入法試商、調(diào)商”的高階思維教學(xué)為例

江蘇省南京市南師附中樹人學(xué)校附屬小學(xué) 林紅梅

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力?！边@一敘述強(qiáng)調(diào)了兩點(diǎn)：一是培養(yǎng)運(yùn)算能力要注意引導(dǎo)學(xué)生“理解算理，自主發(fā)現(xiàn)算法”，二是要注意與通常理解的運(yùn)算技能概念的區(qū)別。

一、借助情境，引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算方法中的“微”

孫曉天認(rèn)為，運(yùn)算方法是指基于算理，能“合理、簡捷”進(jìn)行的運(yùn)算途徑。教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用學(xué)習(xí)過的知識遷移解決新出現(xiàn)的問題。如教學(xué)“除法運(yùn)算”時(shí)，當(dāng)除數(shù)不是整十?dāng)?shù)的時(shí)候，我們可以把這個數(shù)看成接近的整十?dāng)?shù)。

細(xì)節(jié)回放：

（一）四舍法試商

師（出示例題）：這本書有96頁，小云每天看32頁，幾天可以看完？

師：你們會列式嗎？

生：96÷32。

（板書：96÷32）

師：你能先估一估嗎？

生：結(jié)果是3。

師：結(jié)果是3，我們是估出來的，我們能不能算一算，看我們估的對不對呢？

師：這個跟我們之前學(xué)的計(jì)算一樣嗎？哪里不一樣？你有什么好辦法？

生1：不一樣，之前學(xué)得除數(shù)都是整十?dāng)?shù)。

生2：我們可以把除數(shù)32看成整十?dāng)?shù)30。

師：為什么看成30？

生：因?yàn)?2最接近30。（強(qiáng)調(diào)：最接近）

師：如果是31，可以看成多少？33、34呢？

生：都可以看成30。

師：像這樣，個位上是1、2、3、4的兩位數(shù)，我們可以用四舍法把個位上的數(shù)舍去，看成整十?dāng)?shù)。

師：商寫在哪一位上，為什么？

生1：商寫在個位上，因?yàn)?6里最多有3個30。

生2：小云每天看32頁，96頁里面有3個32 ，所以商寫在個位上，和6對齊。

（板書：3個32）

師：下面3和誰相乘？

生1：3和32相乘，因?yàn)樾≡泼刻炜吹捻摂?shù)是32頁，不是30頁。

生2（指著板書中的豎式）：原來的除數(shù)是32，為了便于試商，我們把32看成其最接近的整十?dāng)?shù)30，所以商3應(yīng)該和原來的除數(shù)32相乘。

出示豎式（如圖1）：

圖1

（二）五入法試商

師（出示例題）：這本書有192頁，小明每天看39頁，幾天可以看完？嘗試先估后算。

師：39可以看成多少？為什么？那36、37、38呢？

生：都可以看成40，因?yàn)檫@些數(shù)最接近40。

師：你們真聰明呀，像這樣個位上是6、7、8、9的兩位數(shù)我們可以用五入法把它看成整十?dāng)?shù)。

師：請同學(xué)們回顧這兩道題，當(dāng)除數(shù)不是整十?dāng)?shù)時(shí)怎么辦？計(jì)算過程中還要注意什么？

先估算，再筆算，最后結(jié)合情境理解算理，做到理法融合，引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的算法，在優(yōu)化算法的學(xué)程中，進(jìn)一步夯實(shí)算理內(nèi)化于心的基礎(chǔ)。由此探求算理與算法有機(jī)結(jié)合，有利于提高學(xué)生“以深度思維為核心”的計(jì)算能力與計(jì)算正確率。

在教學(xué)“四舍五入法試商”這一課時(shí)，教師注重對“96÷32=”這道算式運(yùn)算方法的講解，結(jié)合具體的情境，講清楚怎樣進(jìn)行試商，當(dāng)選擇四舍法試商的時(shí)候，教師引導(dǎo)學(xué)生借助情境講清試商后的計(jì)算過程：要用商（3）乘原來的除數(shù)（32），而不能用3乘30，因?yàn)槊刻炜吹氖?2頁，而不是30頁，如果用3乘30的話，這本書才90頁，不符合情境中的“這本書有96頁”這一條件。接著，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新方法的嘗試“192÷39=”，學(xué)生有了“四舍”的經(jīng)驗(yàn)，很容易聯(lián)想到“五入”的方法。如此細(xì)致入微的引導(dǎo)，學(xué)生自然能夠理解四舍五入法試商的運(yùn)算方法。

二、借助生成，引導(dǎo)學(xué)生掌握運(yùn)算原理中的“微”

算法和算理是運(yùn)算能力的一體兩翼，兩者相輔相成。孫曉天認(rèn)為，算理是指關(guān)于什么是運(yùn)算及如何運(yùn)算的道理，大體上可分為三個遞進(jìn)的層次，即什么是運(yùn)算、運(yùn)算的總體規(guī)則及具體的運(yùn)算規(guī)則。在數(shù)學(xué)課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維碰撞，用問題來驅(qū)動學(xué)生的求知欲望，用多個事例進(jìn)行對比，尋找問題根源，從而讓學(xué)生明白解決問題的道理。

細(xì)節(jié)回放：

師（出示例題）：四年級（1）班有34人，一共借書272本。四年級（1）班平均每人借書多少本？

師：算式怎么列？

生：272÷34。

（板書：272÷34）

師：你能估一估每人借到幾本嗎？

生：8本或9本。

師：到底商是多少呢？

生1：8本。

生2：9本。

師：在豎式計(jì)算過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么問題？在豎式上圈一圈。

展示學(xué)生作品（如圖2）：

圖2

生：如果每人借9本，34人要借306本，超過272本，說明初商可能偏大。

師：初商偏大，到底什么原因呢？再次觀察豎式（圈出除數(shù)34和30）

生：除數(shù)變小，因?yàn)榘?4看作30，用30來估商，得到初商9，但是真正乘的時(shí)候是原來的除數(shù)34×9=306，所以偏大。

師：我們再來看看類似的豎式。仔細(xì)觀察這4道列好的豎式，他們的初商怎么樣了？

出示豎式（如圖3）：

圖3

生：初商偏大了。

師：是什么原因造成的？

生：圈出除數(shù)，發(fā)現(xiàn)都是用四舍法試商，除數(shù)變小了。

在教學(xué)“四舍法調(diào)商”這一課時(shí)，教師注重對“272÷34”這道算式的運(yùn)算原理進(jìn)行指導(dǎo)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生圍繞四舍法試商后，初商會偏大的問題進(jìn)行思考，借助學(xué)生生成“因?yàn)榘殉龜?shù)34看成了30，除數(shù)看小了，所以才會出現(xiàn)初商偏大”的結(jié)論，再次借助情境“一班有34人”，不是30人，所以用初商9乘34之后會超過272本，要想解決這一問題，就需要把初商9調(diào)小1變成8，再次計(jì)算得出正確結(jié)果。這一例題完成之后，教師沒有停止教學(xué)，繼續(xù)出示了一組題目，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會“除數(shù)看小，初商偏大，需要調(diào)小”這一道理。

三、借助習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)算思維中的“微”

從學(xué)科關(guān)鍵能力的含義來看，運(yùn)算能力涵蓋著抽象、推理、建模等基本的數(shù)學(xué)思想。運(yùn)算能力的形成對小學(xué)生的整體數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)與提升起到了基石的作用。進(jìn)一步分析運(yùn)算能力，繼續(xù)發(fā)掘運(yùn)算能力背后的思維，我們又可以發(fā)現(xiàn)智慧技能在其中的發(fā)展。由此，運(yùn)算能力不單純是計(jì)算技能，還是在運(yùn)算能力形成、發(fā)展過程中，學(xué)生思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體體現(xiàn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的課程內(nèi)容安排及蘇教版數(shù)學(xué)教材的編排體系，對運(yùn)算能力評價(jià)采用分段評價(jià)及綜合評價(jià)兩種方式。對運(yùn)算能力評價(jià)內(nèi)容的選取，折射出對運(yùn)算能力含義的正確理解。因此，運(yùn)算能力的練習(xí)內(nèi)容絕不能只選取單一的計(jì)算式題，而是要選取能反映出學(xué)生對算理的理解、算法的選擇與創(chuàng)新、運(yùn)算策略的運(yùn)用等綜合能力的內(nèi)容。深度學(xué)習(xí)和高階思維要出現(xiàn)評價(jià)題， 在教學(xué)“四舍法調(diào)商”這一課時(shí)，新課內(nèi)容教學(xué)完畢之后，為了進(jìn)一步深化“四舍法調(diào)商”知識，教師出示了一道練習(xí)題（如圖4），進(jìn)行了兩次調(diào)商得到結(jié)果。

圖4

正因師生關(guān)系的實(shí)質(zhì)轉(zhuǎn)變，提高了融合算理算法教學(xué)的實(shí)效性。在計(jì)算教學(xué)中放緩腳步，著力“理法相融，思維高階”，讓學(xué)生“慢探究”“慢建構(gòu)”“慢思考”，通過“慢教學(xué)”，使學(xué)困生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動，掌握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，品味數(shù)學(xué)思想，點(diǎn)燃高階思維火花，從而提高他們的計(jì)算能力。當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂，對數(shù)學(xué)教師的角色期待與素養(yǎng)要求提出了高標(biāo)準(zhǔn)，由主宰者到引領(lǐng)者、告訴者到讓學(xué)者、照搬者到研究者、享用者到研究者等，多重角色新定位。

在“四舍法調(diào)商”這一課上，當(dāng)遇到初商偏大時(shí)進(jìn)行一次調(diào)商，之后仍然偏大，這時(shí)候?qū)W生們的思維產(chǎn)生碰撞，順著課堂的內(nèi)容繼續(xù)思考下去，在第二次調(diào)商后，尋找到了正確的答案。學(xué)生經(jīng)歷了兩次調(diào)商的矛盾沖突，自然引發(fā)了學(xué)生的深度思考，真正做到了理法相融。