基于交替方向乘子法的分布式負(fù)荷頻率控制策略

李玲芳，陳義宣，許巖，文福拴

(1. 云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電網(wǎng)規(guī)劃建設(shè)研究中心，昆明市 650011；2. 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，杭州市 310027)

0 引 言

負(fù)荷頻率控制 (load frequency control, LFC) 指根據(jù)系統(tǒng)頻率變化和聯(lián)絡(luò)線傳輸功率變化調(diào)節(jié)發(fā)電機(jī)的有功出力，從而使電力系統(tǒng)頻率和聯(lián)絡(luò)線交換功率維持在設(shè)定的允許范圍內(nèi)[1]。由于很難精確預(yù)測負(fù)荷需求，需要實(shí)時(shí)調(diào)整發(fā)電機(jī)有功出力以跟蹤負(fù)荷需求的動(dòng)態(tài)變化，從而維持系統(tǒng)頻率在給定的允許范圍之內(nèi)。導(dǎo)致系統(tǒng)實(shí)際頻率偏離額定頻率。LFC對(duì)抑制系統(tǒng)頻率偏差和區(qū)域間聯(lián)絡(luò)線上的功率偏差從而維持電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義。

電力系統(tǒng)頻率調(diào)節(jié)包括一次調(diào)頻和二次調(diào)頻[2]。在二次調(diào)頻中，通常采用比例-積分(proportional-integral，PI)控制。不過，PI控制的動(dòng)態(tài)性能高度依賴其增益，而高增益一方面可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，另一方面會(huì)惡化系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為從而可能導(dǎo)致系統(tǒng)頻率振蕩和失穩(wěn)。在此背景下，本文研究如何設(shè)計(jì)分布式最優(yōu)LFC策略來進(jìn)行二次調(diào)頻以實(shí)現(xiàn)頻率偏差為0且系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能最優(yōu)。

為提升LFC的性能，現(xiàn)有文獻(xiàn)中采用了一些先進(jìn)控制方法設(shè)計(jì)負(fù)荷頻率控制器。文獻(xiàn)[3-5]采用魯棒控制策略抑制負(fù)荷變化導(dǎo)致的系統(tǒng)頻率偏差。文獻(xiàn)[6-7]研究了計(jì)及通信延遲情況下負(fù)荷頻率控制器的設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[8-9]采用自適應(yīng)控制策略提升系統(tǒng)運(yùn)行點(diǎn)發(fā)生變化時(shí)的系統(tǒng)控制性能。文獻(xiàn)[10]采用最優(yōu)控制策略抑制系統(tǒng)頻率偏差和聯(lián)絡(luò)線功率偏差。此外，模型預(yù)測控制[11]、自抗擾控制[12]、滑?？刂芠13-14]和事件驅(qū)動(dòng)控制[15]也被用于設(shè)計(jì)負(fù)荷頻率控制器以改善控制性能。不過，這些方法應(yīng)用于實(shí)際多區(qū)域電力系統(tǒng)負(fù)荷頻率控制器設(shè)計(jì)時(shí)，參數(shù)整定比較困難?；诰€性矩陣不等式的魯棒控制策略的控制器參數(shù)整定相對(duì)容易，但這種方法通常需要對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行降階預(yù)處理，從而可能導(dǎo)致系統(tǒng)部分動(dòng)態(tài)特性的丟失。

也有一些文獻(xiàn)采用啟發(fā)式優(yōu)化算法[16-21]設(shè)計(jì)負(fù)荷頻率控制器。文獻(xiàn)[22]采用粒子群優(yōu)化算法整定控制器參數(shù)。文獻(xiàn)[23]采用灰狼優(yōu)化算法確定分?jǐn)?shù)階控制器的參數(shù)。不過從理論上無法保證這些啟發(fā)式優(yōu)化算法能夠獲得控制器參數(shù)的最優(yōu)解，尤其是對(duì)于實(shí)際多區(qū)域電力系統(tǒng)，需要優(yōu)化的控制器參數(shù)較多，啟發(fā)式優(yōu)化算法就未必能求得最優(yōu)解。

在上述背景下，本文提出一種基于分布式優(yōu)化策略的負(fù)荷頻率控制器設(shè)計(jì)方法，以優(yōu)化系統(tǒng)頻率控制性能，并提高控制器參數(shù)整定的計(jì)算效率。在所構(gòu)建的優(yōu)化模型中，目標(biāo)函數(shù)包含兩項(xiàng)，分別表征控制性能和控制器增益矩陣稀疏度。采用交替方向乘子法(alternating direction method of multiplier, ADMM)求解該優(yōu)化問題。所提方法具有下述優(yōu)點(diǎn)：1) 可以獲得與集中控制策略相當(dāng)?shù)念l率控制性能，且通訊復(fù)雜度較低；2) 利用ADMM的特點(diǎn)可把優(yōu)化目標(biāo)分解為可用解析方式求解的2個(gè)子優(yōu)化問題，進(jìn)而提高參數(shù)整定效率，且適用于實(shí)際多區(qū)域電力系統(tǒng)。最后，以三區(qū)域電力系統(tǒng)模型為例對(duì)所提方法的可行性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 負(fù)荷頻率控制模型

多區(qū)域互聯(lián)電力系統(tǒng)中的每個(gè)區(qū)域都設(shè)有一個(gè)調(diào)度控制中心，系統(tǒng)頻率和區(qū)域間聯(lián)絡(luò)線上的交換功率均在其監(jiān)控之中。目前大多數(shù)汽輪發(fā)電機(jī)和水輪發(fā)電機(jī)都裝有調(diào)速裝置，可以對(duì)系統(tǒng)頻率變化做出響應(yīng)。

圖1為多區(qū)域互聯(lián)電力系統(tǒng)中第i個(gè)區(qū)域的負(fù)荷頻率控制系統(tǒng)框圖。盡管電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)模型都是非線性的，但負(fù)荷頻率控制是針對(duì)小擾動(dòng)的，可以近似采用線性化模型[24]。圖1中的KBi和KEi為傳統(tǒng)的PI控制器參數(shù)。

圖1所示的第i個(gè)區(qū)域的模型可用下述微分方程組描述[24]：

圖1 互聯(lián)電力系統(tǒng)中第i個(gè)區(qū)域的模型Fig.1 The model of the i-th area in an interconnected power system

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：Δfi(t)、ΔPgi(t)、ΔXgi(t)和Δδi(t)分別表示t

時(shí)刻的頻率偏差、有功輸出調(diào)整量、調(diào)速器閥門位置調(diào)整量和轉(zhuǎn)子角偏差；N表示所研究的互聯(lián)電力系統(tǒng)中包含的區(qū)域數(shù)目；ΔPdi(t)表示t時(shí)刻的負(fù)荷擾動(dòng)；TGi、TTi和TPi分別表示調(diào)速器、汽輪機(jī)和電力系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)；KPi和Ri分別表示電力系統(tǒng)的增益和速度調(diào)節(jié)系數(shù)；Ksij表示區(qū)域i和區(qū)域j之間的連接增益，如果這2個(gè)區(qū)域間沒有功率交換則Ksij為0；ui(t)表示區(qū)域i的輔助控制輸入。

為便于表述，可將微分方程組式(1)—(4)改寫成矩陣形式：

(5)

式中：Xi(t)和Xj(t)分別表示區(qū)域i和區(qū)域j在t時(shí)刻的狀態(tài)向量，Xi(t)=[Δfi(t) ΔPgi(t) ΔXgi(t) Δδi(t)]T；Ui(t)表示控制器在t時(shí)刻的輸入向量；

2 分布式最優(yōu)負(fù)荷頻率控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)式(5)，包含n個(gè)區(qū)域的互聯(lián)電力系統(tǒng)的負(fù)荷頻率控制問題可描述為：

(6)

在互聯(lián)電力系統(tǒng)中，一個(gè)區(qū)域內(nèi)的負(fù)荷擾動(dòng)可能會(huì)對(duì)另一個(gè)區(qū)域造成明顯影響，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)a(chǎn)生級(jí)聯(lián)故障(cascade failure)。為盡可能降低這種區(qū)域間的耦合影響，可以采用最優(yōu)控制策略實(shí)現(xiàn)負(fù)荷頻率控制[10]。雖然采用集中最優(yōu)控制策略設(shè)計(jì)控制器增益K可以實(shí)現(xiàn)良好的負(fù)荷頻率控制性能，但其對(duì)區(qū)域間的信息實(shí)時(shí)交互要求較高。另一方面，描述多區(qū)域互聯(lián)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的微分方程組相當(dāng)復(fù)雜，這對(duì)采用集中優(yōu)化策略實(shí)現(xiàn)負(fù)荷頻率控制帶來了很大困難。

本文所研究的負(fù)荷頻率控制器設(shè)計(jì)方法可以用下述優(yōu)化問題描述：

minJ(K)+γg(K)

(7)

s.t.(A-B2K)TP+P(A-B2K)=
-(Q-KTRK)

(8)

式(8)所描述的等式約束為系統(tǒng)穩(wěn)定條件，可通過動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性理論分析得到[26]。

式(7)中的優(yōu)化目標(biāo)包含兩項(xiàng)：J和g。J表示傳統(tǒng)的控制性能指標(biāo)。僅以指標(biāo)J作為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)頻率控制性能的優(yōu)化。但這種集中控制策略需要反饋的信號(hào)數(shù)量較多，因此增加了區(qū)域間信息實(shí)時(shí)交互的復(fù)雜度。g為控制器增益矩陣稀疏度指標(biāo)，g的值越小，控制器增益矩陣的非零元素越少，需要反饋的信號(hào)數(shù)量也就越少。本文采用J和g之和作為優(yōu)化目標(biāo)，以兼顧最優(yōu)控制性能和降低區(qū)域間信息交互的復(fù)雜程度這兩方面的期望。

由于式(7)中的優(yōu)化目標(biāo)同時(shí)包含了指標(biāo)J和指標(biāo)g，在求解由式(7)和(8)所描述的優(yōu)化模型時(shí)，采用傳統(tǒng)基于梯度的求解方法一般只能求得局部最優(yōu)解。采用ADMM算法可以有效求解這個(gè)問題。ADMM算法將要求解的優(yōu)化問題分解為2個(gè)子優(yōu)化問題，然后對(duì)這2個(gè)子優(yōu)化問題交替迭代求解，最終求得原始優(yōu)化問題的解。理論上已證明采用ADMM算法可求得控制器參數(shù)的最優(yōu)解[27]。

采用ADMM算法求解式(7)和(8)所描述的優(yōu)化模型的步驟如下：

步驟1：將式(7)和(8)所描述優(yōu)化模型分解為2個(gè)子優(yōu)化問題。

采用g(G)表示式(7)中指標(biāo)g(K)，則由式(7)和(8)所描述的優(yōu)化模型可分解為2個(gè)子問題：針對(duì)K優(yōu)化系統(tǒng)的頻率偏差指標(biāo)J(·)

(9)

和針對(duì)G優(yōu)化控制器結(jié)構(gòu)指標(biāo)g(·)

(10)

Lp(K,G,Λ)=J(K)+γg(G)+

tr[ΛT(K-G)]+ (ρ/2)‖K-G‖2

(11)

式中：Λ表示拉格朗日乘子；ρ表示正的標(biāo)量。

步驟2：交替求解子優(yōu)化問題式(9)和式(10)。

基于ADMM的方法架構(gòu)，通過對(duì)子優(yōu)化問題式(9)和式(10)交替求解，最終可求得分布式最優(yōu)負(fù)荷頻率控制策略；這種方法的計(jì)算效率較高，適用于決策變量較多的優(yōu)化問題。采用ADMM算法求解這2個(gè)子優(yōu)化問題的過程如圖2所示，其具體實(shí)現(xiàn)流程可參看文獻(xiàn)[27]，因篇幅所限這里不再贅述。

圖2 基于ADMM的分布式最優(yōu)負(fù)荷頻率控制器設(shè)計(jì)過程Fig.2 Design procedure of the ADMM-based distributed optimal load frequency controller

3 算例與結(jié)果

3.1 算例參數(shù)

采用一個(gè)三區(qū)域電力系統(tǒng)算例來說明所提分布式負(fù)荷頻率控制策略的有效性。IEEE 10機(jī)39節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)即新英格蘭測試系統(tǒng)[28]可劃分為3個(gè)區(qū)域，連接母線3和4、14和15、16和17為3個(gè)區(qū)域之間的聯(lián)絡(luò)線。根據(jù)文獻(xiàn)[29]，經(jīng)過抽象建模之后的三區(qū)域控制系統(tǒng)連接框圖如圖3所示。u1、u2和u3為輸入的控制信號(hào)，由所提出的控制策略優(yōu)化確定。區(qū)域1和區(qū)域3采用圖1所示的汽輪機(jī)調(diào)速系統(tǒng)模型。區(qū)域2采用水輪機(jī)調(diào)速器系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型如下詳述[28]。

圖3 三區(qū)域電力系統(tǒng)模型框圖Fig.3 Block diagram of a three-area power system model

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：ΔPg2(t)表示水輪機(jī)有功輸出調(diào)整量；ΔXz2(t)表示閥門位置調(diào)整量；ΔXm2(t)表示引導(dǎo)閥位置調(diào)整量；ΔXy2(t)表示閥門動(dòng)作速度補(bǔ)償調(diào)整量；Tw2表示水流慣性時(shí)間常數(shù)；TG2表示調(diào)速器時(shí)間常數(shù)；Tr2表示軟反饋時(shí)間常數(shù)；rt2表示軟反饋增益；rp2表示下垂系數(shù)；Ks2為增益。

本文在MATLAB2016b編程環(huán)境下進(jìn)行仿真研究。參數(shù)設(shè)置為：KP1=120 Hz/pu,KP2=112.5 Hz/pu,KP3=115 Hz/pu;TP1=20 s,TP2=25 s,TP3=20 s；TG1=0.08 s，TG2=0.20 s，TG3=0.07 s；TT1=0.3 s，Tw2=1 s，TT3=0.35 s；R1=2.4 Hz/pu,rp2=0.04 pu,R3=2.5 Hz/pu；Tr2=6 s；rt2=0.5 pu;Ks2=0.2 pu；Ks12=Ks13=Ks21=Ks23=Ks31=Ks32=0.5 pu/Hz。

3.2 控制器增益矩陣

通過圖2所示算法，可得到控制器增益矩陣K，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。在圖4中，藍(lán)色的點(diǎn)表示該處矩陣元素不為0。從圖4中可以看出，當(dāng)γ=0.000 10時(shí)，K的所有元素都不為0，即控制結(jié)構(gòu)為集中模式；這意味著對(duì)每個(gè)區(qū)域的控制器設(shè)計(jì)而言都需要用其相鄰區(qū)域的系統(tǒng)狀態(tài)信息來計(jì)算式(6)中的控制信號(hào)U。隨著γ值的增加，K中的零元素越來越多；當(dāng)γ=0.390 690時(shí)，K中只有9個(gè)非零元素，此時(shí)控制器結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)分布式特征，且區(qū)域間需要交互的系統(tǒng)狀態(tài)信息最少。

圖4 控制器增益矩陣K的結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of the gain matrix K

3.3 控制性能及與現(xiàn)有方法比較

本節(jié)通過算例對(duì)所提分布式負(fù)荷頻率控制策略和傳統(tǒng)基于PI的負(fù)荷頻率控制策略進(jìn)行對(duì)比分析，以說明所提方法的有效性。給定3個(gè)區(qū)域所受到的負(fù)荷擾動(dòng)分別為ΔPd1=0.010 pu、ΔPd2=0.020 pu和ΔPd3=0.015 pu。

當(dāng)采用基于PI的負(fù)荷頻率控制策略時(shí)，獲得的系統(tǒng)頻率響應(yīng)偏差和區(qū)域間聯(lián)絡(luò)線功率響應(yīng)偏差如圖5所示?？梢钥闯觯@2個(gè)偏差在15 s時(shí)均仍存在微小振蕩。

采用集中式負(fù)荷頻率控制策略時(shí)，控制器增益矩陣結(jié)構(gòu)如圖4(a)所示。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)偏差和聯(lián)絡(luò)線功率響應(yīng)偏差如圖6所示。從圖中可以看出，3個(gè)區(qū)域的頻率偏差在15 s時(shí)幾乎為0。與圖5對(duì)比可知，采用集中式負(fù)荷頻率控制策略時(shí)的頻率響應(yīng)超調(diào)量更小。比較圖5和圖6中的功率響應(yīng)曲線可得類似結(jié)論。因此，采用集中式負(fù)荷頻率控制能有效抑制負(fù)荷擾動(dòng)造成的系統(tǒng)頻率偏差和聯(lián)絡(luò)線功率偏差，并改善頻率控制性能。

圖5 基于PI的負(fù)荷頻率控制響應(yīng)曲線Fig.5 Response curves of the three-area interconnected power system with the PI-based LFC strategy under load disturbances

圖6 集中式負(fù)荷頻率控制響應(yīng)曲線Fig.6 Response curves of the three-area interconnected power system with the centralized LFC strategy under load disturbances

采用所提分布式負(fù)荷頻率控制策略時(shí)，控制器增益矩陣結(jié)構(gòu)如圖4(d)所示。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)偏差和聯(lián)絡(luò)線功率響應(yīng)偏差如圖7所示?？梢钥闯?個(gè)區(qū)域的頻率偏差在15 s時(shí)幾乎為0。與圖6對(duì)比可知，采用所提分布式負(fù)荷頻率控制策略時(shí)的頻率控制性能與集中式負(fù)荷頻率控制一致，只是區(qū)域1和區(qū)域3的頻率偏差響應(yīng)的超調(diào)量在2.5 s附近存在微小差異。比較圖7和圖6中的功率響應(yīng)曲線可得類似結(jié)論。因此，由3.2節(jié)的分析可知，采用圖4(d)所示控制器結(jié)構(gòu)的信息交換復(fù)雜程度低于采用圖4(a)所示控制器結(jié)構(gòu)。因此，所提分布式負(fù)荷頻率控制策略具有較低的通信復(fù)雜度。

圖7 分布式負(fù)荷頻率控制響應(yīng)曲線Fig.7 Response curves of the three-area interconnected power system with the distributed LFC strategy under load disturbances

4 結(jié) 語

本文提出基于交替方向乘子法的分布式負(fù)荷頻率控制策略，以優(yōu)化頻率控制性能，且降低對(duì)區(qū)域間信息的交互需要從而提高計(jì)算效率。在所提優(yōu)化方法中，目標(biāo)函數(shù)包含二次最優(yōu)控制性能指標(biāo)和控制器增益矩陣稀疏化指標(biāo)；該優(yōu)化問題被轉(zhuǎn)化為2個(gè)子優(yōu)化問題并采用ADMM有效求取控制器增益矩陣，從而降低了控制器實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜程度。采用含三區(qū)域的互聯(lián)電力系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果表明針對(duì)負(fù)荷擾動(dòng)和時(shí)變參數(shù)，所提方法能把系統(tǒng)頻率偏差和區(qū)域聯(lián)絡(luò)線功率偏差控制到0。

后續(xù)研究工作將針對(duì)區(qū)域間實(shí)時(shí)交換的信息數(shù)據(jù)不完整或有錯(cuò)誤時(shí)，對(duì)所提方法進(jìn)行測試并基于相關(guān)結(jié)果對(duì)所提分布式負(fù)荷頻率控制設(shè)計(jì)方法進(jìn)行改進(jìn)和發(fā)展。