矩陣轉置對圖形變換的幾何意義*

曹富軍，袁冬芳

(內蒙古科技大學 理學院，內蒙古 包頭 014010)

轉置是矩陣的一種運算，在矩陣的所有運算法則中占有重要地位.在線性代數(shù)[1，2]、多維圖像和信號處理中，矩陣轉置是最基本的操作，很多矩陣計算均需要矩陣轉置操作，矩陣轉置操作效率在較大程度上決定了科學計算和圖形圖像應用程序的性能[3，4].矩陣轉置是矩陣的一種特殊變換，它有許多豐富的結果和應用[5，6]，文章通過設計案例揭示矩陣轉置對圖形變換的幾何意義.

1 矩陣轉置的定義

定義：設矩陣A=(aij)m×n，將矩陣A的行換為同序數(shù)的列所得到的矩陣稱為A的轉置矩陣，記作AT.

不妨沿著矩陣A和AT的第一行第一列元素a11右下方45°做一條射線，可得如下2個矩陣：

不難看出，AT實際上是由矩陣A沿著通過a11右下方射線作鏡面翻轉得到的,這也可以看作是矩陣轉置的幾何定義.

2 矩陣轉置的幾何意義

定義如下5×5的矩陣A根據(jù)矩陣轉置的定義，很容易得到AT.

首先，由于矩陣A是方陣，將矩陣A的元素沿對角線進行分割，可以看出AT實際上是將中A所有元素沿主對角線進行鏡面翻轉得到的.

進一步，假設用1表示白色，0表示黑色，則矩陣A及AT的灰度圖像如圖1所示.

圖1 矩陣A及AT的灰度圖像(a)矩陣A的灰度圖像；(b)矩陣AT的灰度圖像

將矩陣A的灰度圖像沿主對角線分割為上、下三角兩部分，如圖2(a)和(b)所示.分別將矩陣A的灰度圖像的上、下三角部分做鏡面翻轉，如圖3，4所示.由圖3和4可知，矩陣AT的灰度圖像也是將矩陣A的灰度圖像沿著主對角線進行鏡面翻轉得到的.

圖2 矩陣A的灰度圖像沿主對角線分割圖(a)矩陣A灰度圖像的下三角部分；(b)矩陣A灰度圖像的上三角部分

圖3 矩陣A的灰度圖像的下三角部分沿主對角線做鏡面翻轉(a)矩陣A灰度圖像的下三角部分；(b)圖(a)沿主對角線做鏡面反轉圖像

圖4 矩陣A的灰度圖像的上三角部分沿主對角線做鏡面翻轉(a)矩陣A灰度圖像的上三角部分；(b)圖(a)沿主對角線做鏡面反轉圖像

為進一步探索矩陣A及AT的關系，對灰度圖像做旋轉變換，讓其順時針旋轉90°，可得圖5(b).

圖5 矩陣AT的灰度圖像及將其旋轉90°后的圖像(a)矩陣A的灰度圖像；(b)矩陣A的圖像順時針旋轉90°的圖像

將矩陣AT的圖像、矩陣AT的灰度圖像順時針旋轉90°后的圖像，以及矩陣A的灰度圖像進行比較，如圖6所示.由圖6可知，矩陣A的灰度圖像是由矩陣AT的灰度圖像順時針旋轉90°后，再將所得圖像沿y軸中心線作鏡面翻轉得到的.因此，可以得出如下結論，矩陣轉置對圖形變換的幾何意義是先將圖形沿y軸中心線做水平鏡面翻轉，再將所得圖形逆時針旋轉90°.

圖6 對矩陣A，AT的灰度圖像進行比較

考察2幅實際圖片，選定一幅灰度圖像圖7(a)，其對應矩陣為A，將該矩陣AT轉置后所表示的灰度圖像圖7(b)與原圖像對比，進一步驗證上述圖形變換的規(guī)律.

圖7 原始圖像及將其對應矩陣轉置后對應的灰度圖像(a)測試矩陣A的灰度圖像；(b)所對應的灰度圖像

通過觀察發(fā)現(xiàn)，將矩陣A進行轉置得到AT，同時矩陣所對應的灰度圖像將通過2個步驟發(fā)生變化如圖8所示.①首先圖像沿著中心y軸中心線做水平鏡面翻轉；②將翻轉后的圖像沿著逆時針旋轉90°.這和通過數(shù)字矩陣的灰度圖像得出的圖形變化規(guī)律是一致的.

圖8 矩陣轉置對圖像變換的2個步驟

3 結論

從矩陣轉置的代數(shù)定義出發(fā)，首先闡釋了矩陣轉置直觀上的幾何定義.同時利用數(shù)字矩陣與灰度圖像的對應關系，設計案例驗證了矩陣轉置直觀幾何定義的準確性.進一步通過觀察矩陣轉置后灰度圖像的形式，總結出了矩陣轉置對圖形變換的幾何意義，即矩陣轉置對應著先將原圖形沿著y軸中心線做水平鏡面翻轉，接著將翻轉后的圖像沿逆時針旋轉90°.最后通過實際圖像進一步驗證了該規(guī)律的準確性.