一種特定柵藻細(xì)胞形成機(jī)理的仿真分析

王遠(yuǎn)弟，李炎芮

(上海大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200444)

1 引言

綠藻作為地球上的一個(gè)古老的物種，它和陸生植物的聯(lián)系得到了廣泛的認(rèn)同[13]。綠藻本身也有大量的物種，據(jù)統(tǒng)計(jì)大約6000多種，比如：鞘毛藻、柵藻、盤星藻等。本文討論的只是其中一種綠藻--柵藻，準(zhǔn)確來說是以一種龍骨柵藻為例，仿真分析其結(jié)構(gòu)形態(tài)的成形機(jī)理。幾種比較具有代表性的綠藻細(xì)胞成形或分裂機(jī)制已經(jīng)有了研究。以鞘毛藻為例，其形狀多為一種平板盤形結(jié)構(gòu)，它的細(xì)胞是在平面方向不斷生長，也就是向外擴(kuò)張，在此過程中還伴隨著不斷分裂。研究表明，鞘毛藻在生長過程中，細(xì)胞分裂滿足“最短分割線原則”，即所謂的Errera律[1]。這種分裂方式，或者是分裂邊界的確定方式，與數(shù)學(xué)上的“隔墻”問題(fencing problem)有著密切聯(lián)系[9]，10]。

其它綠藻細(xì)胞是否也符合上述“隔墻”問題模型？事實(shí)并非如此，不同的綠藻細(xì)胞分裂和繁殖方式都有自己的特點(diǎn)，比如盤星藻與柵藻，它們的分裂方式與鞘毛藻不同，似乎有“更優(yōu)”的分裂方式。對(duì)于常見的盤星藻和柵藻細(xì)胞，盡管它們的生長分裂過程有類似之處，但是形狀上這兩種細(xì)胞群體有很大的差別。因此，不同綠藻細(xì)胞的成形機(jī)理是不同的。

盤星藻呈盤狀結(jié)構(gòu)，在平面上展開2n個(gè)細(xì)胞，細(xì)胞之間以一定的方式相連接。根據(jù)其連接方式和生物學(xué)屬性，盤星藻細(xì)胞的成形模擬是構(gòu)造了泡泡細(xì)胞模型[11，12]。所謂泡泡模型，用平面二維幾何來解釋是指：給定所有邊長長度之和為一個(gè)固定值，指定其圍成面積最大的固定數(shù)量的平面區(qū)域。注意到細(xì)胞間隔膜與細(xì)胞和外邊界之間隔膜性質(zhì)上的差別，也就是說細(xì)胞之間和細(xì)胞與外界之間存在不同的鈣粘性蛋白作用。例如細(xì)胞之間存在E-鈣粘性蛋白和N-鈣粘性蛋白這兩種蛋白的作用，而在外邊界上則只有E-鈣粘性蛋白，這種差異直接影響到細(xì)胞不同位置的邊界粘性和張力的差異[3，11]。

柵藻在外觀形狀上與盤星藻或鞘毛藻有明顯的差別，成形機(jī)制上它與盤星藻相似，都是從母體分裂出來的時(shí)候就已經(jīng)定形，然后只是不斷生長。不同于盤星藻的是，盤星藻細(xì)胞是不斷生長和分裂，從而形成一個(gè)巨大的盤狀細(xì)胞盤[10]。柵藻細(xì)胞則是成縱向一列(或兩個(gè)并行列)排列。這里以龍骨柵藻為例，是細(xì)胞縱向單列(參見圖2)。

本文主要研究柵藻細(xì)胞的形成機(jī)理，僅以2個(gè)細(xì)胞組成的群體為例進(jìn)行分析。除了考慮到細(xì)胞之間的鈣粘性蛋白，即E-鈣粘性和N-鈣粘性兩種蛋白對(duì)兩個(gè)細(xì)胞之間的粘性和張力作用外，新增加了一個(gè)影響因素，考慮了橫向和縱向之間受到不同的粘性和張力作用，即假設(shè)橫項(xiàng)和縱向之間存在一種受力差異。這種受力差異，根據(jù)本文后面的建模分析，導(dǎo)致了柵藻在形態(tài)上的變化。

2 柵藻成形模型

本文主要研究與龍骨柵藻形狀類似的一類綠藻。如圖2(a)為實(shí)際細(xì)胞紅外影像圖。根據(jù)實(shí)際受力和形態(tài)分析，引入不同參數(shù)構(gòu)建橢圓模型。作為對(duì)照分析，這里也引入泡泡模型做分析。

2.1 橢圓模型推導(dǎo)

基于目前已有的泡泡模型假設(shè)，兩個(gè)細(xì)胞的邊界有一部分相連。相連的公共邊界記為Lb，另外兩條邊界分別記為La和Lc，如圖1。細(xì)胞的兩條邊界交點(diǎn)分別記為P(t*)，P(tc)和P(t*)，P(T)，同時(shí)也為了討論方便，使用參數(shù)方程來表示邊界，其中t為參數(shù)；規(guī)定三條邊界的方向如下：

圖1 模型假設(shè)示意

La(t*→t*):P(t*)延上邊界即La本身到P(t*)；Lb(t*→tc):P(t*)延公共邊界即Lb本身到P(tc)；Lb(tc→T):P(tc)延下邊界即Lc本身到P(t).

考慮到細(xì)胞群外邊界(簡稱“外邊界”)和細(xì)胞群組之間細(xì)胞間隔(簡稱“內(nèi)膜”)粘性和張力的差異，使用了一個(gè)參數(shù)來表示這種差別。提出細(xì)胞的形狀要考慮橫向和縱向的受力差異，同樣引入了參數(shù)來表示這種差異。構(gòu)建如(1)帶有約束條件的Lagrange函數(shù)，以兩個(gè)細(xì)胞的面積作為目標(biāo)函數(shù)，整體加權(quán)周長l=|L|=|La∪Lb∪Lc|(外邊界和內(nèi)膜弧長之和)為約束條件。Lagrange函數(shù)為

(1)

這里的τ是上、下細(xì)胞Ω和Ωτ面積之間的比值，即|Ω|:|Ωτ|=1:τ，外邊界和內(nèi)邊界粘性和張力系數(shù)之比1:λ；而系數(shù)α1和α2表示細(xì)胞在橫和縱方向(即x-軸和y-軸方向)所受不同的拉張差別系數(shù)，其中也體現(xiàn)出了外邊界和內(nèi)邊界的差別。具體地，設(shè)

三條邊界曲線對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的范圍如下

La:t∈[t*，t*]，Lb:t∈[t*，tc]，Lc:t∈[tc，T].

其中端點(diǎn)處滿足

(φ(t*)，ψ(t*))=(f(tc)，g(tc))=(p(tc)，q(tc))，

(φ(t*)，ψ(t*))=(f(t*)，g(t*))=(p(T)，q(T)).

對(duì)于此函數(shù)的處理采取了攝動(dòng)法，以下是簡單的計(jì)算過程。此外，為了使函數(shù)表達(dá)

式簡單，引入了Wronski行列式

那么，Lagrange函數(shù)可記為

對(duì)于滿足極小加權(quán)周長的曲線L，任意一點(diǎn)的攝動(dòng)都會(huì)改變面積。對(duì)于三段曲線，分別引入三組對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)曲線

在L1=La1∪Lb1∪Lc1的擾動(dòng)下，該函數(shù)可變?yōu)?/p>

J(L+εL1)

現(xiàn)在尋求駐點(diǎn)，為此計(jì)算關(guān)于ε的導(dǎo)數(shù)：

且在駐點(diǎn)處即ε=0時(shí)有

(2)

先處理方程(2)中所含的積分式子，積分項(xiàng)為

(3)

其中的t*=t*(0)=t*(ε)|ε=0.

注意到攝動(dòng)曲線的任意性，以{φ1，ψ1}為例，找到其對(duì)應(yīng)的積分并將其化簡，則有：

利用攝動(dòng)函數(shù)的任意性，得出上邊界曲線La滿足的方程為

(4)

不難得出方程(4)的解為

(5)

同樣地，另外兩條曲線所滿足的方程的解分別為

(6)

(7)

下面考慮端點(diǎn)處的邊界條件，如圖1中右t=t*(tc)和左t=t*(T)兩個(gè)端點(diǎn)處滿足

(右端點(diǎn))

{φ(t*)，ψ(t*)}={f(tc)，g(tc)}={p(tc)，q(tc)};

(8)

(左端點(diǎn))

{φ(t*)，ψ(t*)}={f(t*)，g(t*)}={p(T)，q(T)}.

(9)

擾動(dòng)后的邊界條件如下

{φ(t*)+εφ1(t*)，ψ(t*)+εψ1(t*)}

={f(tc)+εf1(tc)，g(tc)+εg1(tc)}

={p(tc)+εp1(tc)，q(tc)+εq1(tc)};

{φ(t*)+εφ1(t*)，ψ(t*)+εψ1(t*)}

={f(t*)+εf1(t*)，g(t*)+εg1(t*)}

={p(T)+εp1(T)，q(T)+εq1(T)}.

對(duì)ε求導(dǎo)，且當(dāng)ε=0時(shí)，有:

{φ′(t)t′+φ1(t)，ψ′(t)t′+ψ1(t)}|t=t*

={f′(t)t′+f1(t)，g′(t)t′+g1(t)}|t=tc

={p′(t)t′+p1(t)，q′(t)t′+q1(t)}|t=tc;

{φ′(t)t′+φ1(t)，ψ′(t)t′+ψ1(t)}|t=t*

={f′(t)t′+f1(t)，g′(t)t′+g1(t)}|t=t*

={p′(t)t′+p1(t)，q′(t)t′+q1(t)}|t=T.

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

分別討論兩個(gè)端點(diǎn)的情況。對(duì)于在t=t*(tc)處的相關(guān)項(xiàng)，將上面方程(10)-(19)中對(duì)應(yīng)的表達(dá)式帶入駐點(diǎn)條件(2)和(3)，結(jié)合邊界條件(8)-(9)中的項(xiàng)，取出只含有t*，tc的部分(不含純積分項(xiàng))，再利用導(dǎo)數(shù)t*′和tc′的表達(dá)式，整理可得

=0.

這就得出駐點(diǎn)條件(2)中的非積分項(xiàng)，利用關(guān)于攝動(dòng)項(xiàng)端點(diǎn)處f1(tc)，g1(tc)，p1(tc)，q1(tc)的任意性，這些項(xiàng)的系數(shù)只能全部為0，也就是對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)如下

f1(tc):

g1(tc):

p1(tc):

q1(tc):

再通過簡單代數(shù)運(yùn)算，整理在t*，tc處滿足邊界條件:

(20)

(21)

(22)

類似得出，在t=t*以及t=T處滿足的邊界條件為

(23)

(24)

(25)

由方程(5)，(6)，(7)可以得出，該模型是一個(gè)橢圓模形，還可以利用邊界條件來驗(yàn)證柵藻細(xì)胞與其的擬合程度。其中α1=α2=κ=a/b為橢圓長短軸之比，直線Lb記為(f(t)，g(t))=(t，0)，其它切線方向都是細(xì)胞外角切線方向。

2.2 橢圓模型分析

(26)

圖2 兩個(gè)柵藻細(xì)胞成形圖及細(xì)胞仿真模型

為計(jì)算方便，假設(shè)長短軸之比為κ，即a:b=κ:1，結(jié)合點(diǎn)B(x1，y1)在橢圓上，滿足橢圓方程的一般形式，可以得到ξ與x1的關(guān)系式以及y1的表達(dá)式如下

(27)

標(biāo)準(zhǔn)化細(xì)胞的面積，可以獲取實(shí)際圖像長短軸a和b的測(cè)量數(shù)據(jù)，根據(jù)上式之間的關(guān)系以及測(cè)量數(shù)據(jù)x1可以計(jì)算出夾角ξ，然后通過細(xì)胞面積為π可以獲取具體的軸長。具體計(jì)算過程如下。

單個(gè)細(xì)胞的面積可以用積分表示為

簡單化簡一下，為

(28)

將(27)中的y1代入表達(dá)式(28)就通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)κ和計(jì)算數(shù)據(jù)ξ，求出長軸a和短軸b，即

還可以計(jì)算出橢圓模型整體邊界加權(quán)周長

“加權(quán)周長”L=外邊界長度×1+內(nèi)邊界長度×λ.

具體計(jì)算公式為

2.3 二泡泡模型分析

理想模型的泡泡模型是不考慮不同接觸面粘性與張力的差別[7]，而本文所考慮的泡泡模型兩種類型的邊權(quán)重是不一樣的，在生物學(xué)上表現(xiàn)為兩種不同的鈣粘性蛋白E和N張力和粘性的差別。外邊界和細(xì)胞間內(nèi)邊界的關(guān)系與方程(26)一致。具體的加權(quán)模型可以參加文獻(xiàn)[11]，也就是細(xì)胞形狀是兩個(gè)圓周圍成的圓盤(準(zhǔn)確地說是圓盤的一部分)拼成的細(xì)胞組(如圖3、4)。細(xì)胞之間的粘性和張力差別導(dǎo)致了外邊界之間夾角的差別，參見方程(26)，其中ξ就是兩條外邊界之間切向的夾角。

上下泡泡面積相等，中間共邊界，即圖3中間直線段的長度決定于細(xì)胞之間的粘性大小。假設(shè)單個(gè)泡泡細(xì)胞的半徑為R，每個(gè)細(xì)胞的大小即面積固定，統(tǒng)一假設(shè)為π，則

圖3 雙泡泡模型示意(右圖為模型局部)

圖4中，從左到右顯示內(nèi)膜張力由大到小(粘性由小到大)。

圖4 不同權(quán)重對(duì)應(yīng)的細(xì)胞模型

求解后得出泡泡模型的半徑為

細(xì)胞間邊界即內(nèi)膜長度為

圖5 半徑R和細(xì)胞間的內(nèi)膜長度l與細(xì)胞外角ξ之間的關(guān)系

所以，兩條外邊界和細(xì)胞之間的內(nèi)邊界構(gòu)成的整體邊界(加權(quán))周長為

LB=2(2π-ξ)R(ξ)+2λR(ξ)sin(ξ/2).

注意到，關(guān)系式(26)表示的是細(xì)胞外邊界與內(nèi)邊界之間的關(guān)系，計(jì)算雙泡泡模型時(shí)外邊界夾角ξ與橢圓模型是同一個(gè)，考慮前述橢圓模型算例中對(duì)應(yīng)的λ值計(jì)算出相應(yīng)的數(shù)值如下

ξ=1.47483，λ=1.48042，R(ξ)=1.04048，LB=12.0774.

3 數(shù)值模擬與驗(yàn)證

現(xiàn)針對(duì)上述兩種模型進(jìn)行數(shù)值模擬和驗(yàn)算，即橢圓模型和加權(quán)泡泡模型。

細(xì)胞之間內(nèi)膜粘性和張力系數(shù)與外邊界的之比為λ:1。如圖2a)是一種龍骨柵藻外彎變種[14(lg)]，細(xì)胞之間的粘性大小直接影響了細(xì)胞外觀形狀。通過分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到如下信息

a:b:x1=108.25:75:172.142(像素比)，

這樣，就會(huì)有：a/b=κ=1.44333.

由此，按照每個(gè)細(xì)胞面積為π的條件，橢圓模型可以算出相應(yīng)參數(shù)，長軸a，短軸b，外邊界夾角ξ，粘性和張力比λ以及總周長L近似數(shù)值為

a=1.29481，b=0.89710，ξ=1.47483，

λ=1.48042，L=12.4851.

照此算例，這里計(jì)算了33個(gè)來自各類文獻(xiàn)和互聯(lián)網(wǎng)的數(shù)據(jù)，圖片來源參見參考文獻(xiàn)[14]。所獲得的算值如表1。分析結(jié)果見圖6和圖7，比較明顯的是，長短軸之比κ正比于粘性λ和橢圓模型的全周長L，這與外邊界的夾角ξ的情況正好相反。

圖6 內(nèi)膜粘性與張力系數(shù)λ與外角ξ和長短軸比κ之間的關(guān)系(左).細(xì)胞邊界加權(quán)周長與ξ和κ的關(guān)系，右圖表示橢圓模型

圖7還顯示了橢圓模型周長正比于長短軸之比κ和粘性λ，負(fù)比于外邊界夾角ξ.圖8也顯示這33個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的橢圓模型和泡泡模型之間(加權(quán))總周長(length)的差別。普遍地，橢圓模型的總周長較泡泡模型長。還要注意到的是，泡泡模型的二次函數(shù)擬合吻合得比較好。

圖7 橢圓模型整體邊界加權(quán)周長L和外角ξ(左)，長短軸比κ(中)以及內(nèi)膜粘性與張力系數(shù)λ(右)之間的關(guān)系圖

圖8 兩個(gè)模型整體邊界加權(quán)周長和外角ξ之間的關(guān)系圖

圖8中，上部分為橢圓模型加權(quán)周長L，下部分為泡泡模型加權(quán)周長LB.

對(duì)于橢圓模型而言，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，外邊界夾角ξ直接影響整體加權(quán)周長，圖8還顯示出一種線性關(guān)系。(33個(gè)數(shù)據(jù))這種相關(guān)性在圖6和圖7顯示出一種一致性，實(shí)際上不難計(jì)算出三個(gè)相關(guān)系數(shù)，即橢圓模型加權(quán)周長L與外邊界夾角ξ，長短軸比值κ以及內(nèi)膜粘性與張力系數(shù)λ之間的相關(guān)系數(shù)(Corr)分別為

{Corr(L，ξ)，Corr(L，κ)，Corr(L，λ)}

={-0.515877，0.87514，0.508858}.

圖9中，內(nèi)膜粘性與張力系數(shù)λ與外角ξ和長短軸比κ之間的關(guān)系(左)。細(xì)胞邊界加權(quán)周長與ξ和κ的關(guān)系，右圖表示橢圓模型。

圖9 19個(gè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)(1)

圖10中，橢圓模型整體邊界加權(quán)周長L和外角ξ(左)，長短軸比κ(中)以及內(nèi)膜粘性與張力系數(shù)λ(右)之間的關(guān)系圖.

圖10 19個(gè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)(2)

圖11中，兩個(gè)模型整體邊界加權(quán)周長和外角ξ之間的關(guān)系圖。上部分為橢圓模型加權(quán)周長L，下部分為泡泡模型加權(quán)周長。

圖11 19個(gè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)(3)

在驗(yàn)證邊界曲線關(guān)于端點(diǎn)處的切向夾角之間的關(guān)系時(shí)，注意整個(gè)三條邊界的走向，如圖2起始點(diǎn)在右端點(diǎn)B然后沿上邊界抵達(dá)左端點(diǎn)(如圖1中的t=t*處)，然后沿中間分隔線回到右端點(diǎn)B再由此沿下邊界到了左端點(diǎn)(t=T)結(jié)束，各條曲線的切向量也是這樣的方向。通過模型分析得出在兩個(gè)端點(diǎn)處滿足邊界條件(20)-(25)。其中{f，g}，{φ，ψ}，{p，q}分別表示中間分隔線，上邊界和下邊界的方程，它們的導(dǎo)數(shù)表示切向。注意{φ′，ψ′}|t*表示到達(dá)該點(diǎn)，{f′，g′}|t*表示離開該點(diǎn)，其它類似分析。邊界條件(20)-(25)表達(dá)的是切向量之間的關(guān)系式。圖12顯示的是左端點(diǎn)條件(20)即t=t*(T)點(diǎn)處三條邊界切向量之間的關(guān)系實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，這里{f′，g′}={1，0}，κ1=κ(=α1=α2)表示兩條外邊界假設(shè)都是一樣的，τ=1表示上下細(xì)胞面積相等。驗(yàn)證的方法是將表1的數(shù)據(jù)代入式(20)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算后不是像等式(20)那樣等于0，而是與0有誤差，誤差值(error)及其分布(frequency)情況見圖12。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算后的平均誤差為-0.158457，在這33個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中誤差小于均值的有15個(gè)。

圖12 對(duì)應(yīng)于方程(20)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

另外一組19個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)帶入(20)式驗(yàn)算之后的誤差稍微小一些，均值為-0.131873，誤差不超過均值的數(shù)據(jù)有9個(gè)(如圖14)。

圖14 另一組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于方程(20)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

圖12中，左圖為33個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分布情況，右圖為誤差分布直方圖。

圖13中，左圖為33個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分布情況，右圖為誤差分布直方圖。

圖13 對(duì)應(yīng)于方程(21)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

圖14中，左圖為19個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分布情況，右圖為誤差分布直方圖。

圖15中，左圖為19個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差分布情況，右圖為誤差分布直方圖。

圖15 另一組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于方程(21)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

4 結(jié)論與分析

本文對(duì)一種特定柵藻——二細(xì)胞龍骨柵藻的成形特征進(jìn)行了研究分析，得到了以下結(jié)論：

1)在現(xiàn)有綠藻細(xì)胞成形機(jī)理分析的基礎(chǔ)上，提出細(xì)胞水平和縱向受力不均造成細(xì)胞形態(tài)變化。通過細(xì)胞受力分析和變分模型推導(dǎo)出這類細(xì)胞滿足的橢圓細(xì)胞模型。

2)利用已有的細(xì)胞數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真分析，包括細(xì)胞各項(xiàng)數(shù)據(jù)的分布情況。同時(shí)，本文還針對(duì)性地對(duì)照已有的加權(quán)泡泡模型進(jìn)行對(duì)照分析。結(jié)論是橢圓模型可以仿真模擬二細(xì)胞柵藻模型成形機(jī)制，盡管有一定誤差。

本文的模型分析是簡化考慮粘性和張力系數(shù)，也就是將邊界(包括細(xì)胞內(nèi)膜)上的粘性系數(shù)和張力系數(shù)合并成一個(gè)加以討論分析，沒有區(qū)別對(duì)待。后續(xù)可以結(jié)合借助于生物學(xué)實(shí)驗(yàn)詳細(xì)區(qū)分這兩種張力的各自作用差別，從而可以更精細(xì)的得出成形機(jī)理。此外本文僅僅是考慮了二個(gè)細(xì)胞構(gòu)成的細(xì)胞群，對(duì)于更多的諸如4個(gè)、8個(gè)甚至更多的細(xì)胞群以及雙列柵藻細(xì)胞也可以進(jìn)一步分析，盡管可能會(huì)遇到更大的挑戰(zhàn)。