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    基于自適應(yīng)選擇的多策略粒子群算法

    2021-11-17 03:57:54銘,李
    計算機(jī)仿真 2021年3期
    關(guān)鍵詞:測試函數(shù)全局表格

    蔡 銘,李 響

    (北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京,100081)

    1 引言

    粒子群優(yōu)化算法是一種基于種群智能的優(yōu)化算法,其結(jié)構(gòu)簡單且收斂速度快。近幾年,粒子群算法仍然被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域,如軌跡優(yōu)化[1],數(shù)據(jù)辨識[2]和特征選擇[3]等。但是相比與其它進(jìn)化算法,粒子群算法在解決復(fù)雜的多峰問題容易陷入局部最優(yōu)[4]。針對該缺點(diǎn),不少學(xué)者提出了很多改進(jìn)的粒子群算法。最為典型的便是CLPSO算法[5],該算法通過提高粒子的多樣性來提高算法對于多峰問題的解決能力,但是與此同時其收斂速度也隨之降低。為了提高算法對不同類型問題的適用性,本文提出了,基于自適應(yīng)選擇的多策略粒子群算法。試驗(yàn)表明:與其它4種改進(jìn)的粒子群算法相比,本文所提的算法具備更高的全局收斂精度與更快的收斂速度。

    2 粒子群優(yōu)化算法

    粒子群算法是由Kennedy和Eberhart于1995年提出[6,7]。與遺傳算法和差分進(jìn)化算法類似,粒子群算法是一種基于種群的智能進(jìn)化算法。粒子群算法模擬自然界中鳥類覓食與遷徙行為對問題的解空間進(jìn)行搜索。每個粒子具有位置矢量與速度矢量,其位置矢量對應(yīng)解空間中的一個解。粒子的位置矢量通過速度矢量進(jìn)行更新,而速度矢量則根據(jù)粒子自身的歷史最優(yōu)位置pbest與種群的歷史最優(yōu)位置gbest進(jìn)行更新。通過多次迭代得到的種群歷史最優(yōu)位置即為粒子群算法對該問題求解所得的最優(yōu)解。對于粒子i而言,其速度矢量vi和位置矢量xi的更新可表示為

    (1)

    (2)

    3 基于自適應(yīng)選擇的多策略粒子群

    3.1 策略池的建立

    傳統(tǒng)的粒子群算法以及大多的粒子群改進(jìn)算法的速度更新策略僅有一種,即式(1)或?qū)κ?1)進(jìn)行改進(jìn)。單策略的速度更新往往無法兼顧算法解決不同類型問題的能力,如CLPSO[5]增強(qiáng)了算法對復(fù)雜多峰問題的解決能力,但其對單峰問題的收斂速度有所降低;PSO-cf[8]提高了算法對單峰問題的收斂性能,但在解決復(fù)雜多峰問題時算法容易陷入局部最優(yōu)。單策略型粒子群算法能否解決問題取決于其策略是否適合,但問題的類型可能不明確,逐個嘗試的方法來尋找合適的策略其工作量過大。多策略型粒子群算法其包含多種速度更新策略,因此對不同類型問題的優(yōu)化求解有更好的適用性。

    受SLPSO啟發(fā),本文建立了包含以下4種不同策略的策略池[9]:

    1)探索

    (3)

    2)開發(fā)

    (4)

    3)跳躍

    (5)

    4)收斂

    (6)

    3.2 自適應(yīng)選擇機(jī)制

    對于多策略型粒子群算法,在建立了包含多種速度更新策略后,還需要為算法制定自適應(yīng)選擇機(jī)制,讓粒子在更新迭代的過程中能夠根據(jù)自己的自身情況選擇適合的策略。在介紹自適應(yīng)選擇機(jī)制前,不妨對四種策略的性質(zhì)與功能進(jìn)行表述:

    1)探索策略:僅包含“自我認(rèn)知”部分,采用該策略的粒子僅向其自身的歷史最優(yōu)位置學(xué)習(xí),對于處在“坡”處的粒子,該策略效果最佳[9]

    2)開發(fā)策略:賦予粒子向其它粒子的歷史最優(yōu)位置學(xué)習(xí)的能力,相比于探索策略該策略對多峰問題的處理更有效

    3)跳躍策略:通過種群的平均速度與正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),使得粒子能夠在陷入局部最優(yōu)時具備一定的逃逸能力

    4)收斂策略:僅包含“社會認(rèn)知”部分,該策略能讓粒子向種群的歷史最優(yōu)位置靠攏。當(dāng)搜索環(huán)境較為簡單時,其效果最佳。但當(dāng)種群的歷史最優(yōu)位置為局部最優(yōu),過多粒子使用該策略可能使得算法出現(xiàn)早熟。

    理論上,自適應(yīng)選擇機(jī)制可以讓種群中的粒子根據(jù)其自身情況選擇出最佳的策略來更新自己的速度與位置。SaDE[10]與SaLPSO[11]的自適應(yīng)選擇機(jī)制是基于種群的機(jī)制,其每個粒子是根據(jù)之前整個種群的反饋進(jìn)行選擇策略,這種做法可能使得一些粒子被迫選擇不適合自己的策略。為了避免出現(xiàn)這種狀況,本文的自適應(yīng)選擇機(jī)制其實(shí)施對象為種群中的每個個體,而非是整個種群。也就是說,每個粒子的速度更新策略的選擇是根據(jù)自身的反饋而并非整個種群的反饋。

    (7)

    (8)

    不妨把長度為LP的反饋結(jié)果記錄在成功表格與失敗表格中。隨著粒子的迭代,其成功與失敗表格也隨之更新。表格更新主要是將最舊的信息(即代數(shù)最低的數(shù)據(jù))替換為最新的信息。如圖1所示為第i個粒子從g代進(jìn)化到g+1代,其成功表格的更新,在更新后g-LP代的信息被抹除,取而代之的是g代的信息。

    圖1 第i個粒子g代到g+1代的成功表格更新

    至此,自適應(yīng)選擇機(jī)制便完成建立。但仍有一些情況需要說明:

    1)學(xué)習(xí)周期LP為預(yù)先給定的一個整數(shù)。當(dāng)代數(shù)g小于等于LP時,由于各個粒子成功與失敗的表格并沒完全建成,因此每個粒子4種策略被選中的概率均相等即0.25,當(dāng)代數(shù)g大于LP時,各個粒子的成功與失敗表格便開始更新,各粒子4種策略被選中的概率便可通過式(7)和式(8)進(jìn)行計算求解。

    3)自適應(yīng)機(jī)制對粒子自身情況的變化響應(yīng)要足夠較快。對于復(fù)雜的多峰函數(shù)而言,各個粒子需要在迭代過程中,根據(jù)自身的情況盡早的舍棄原有的策略而選擇出合適的策略。例如,對于粒子i,可能在某個階段最佳策略均為探索策略,因此其策略被選中的概率趨近于1,而其它策略被選中的概率趨近于0,但隨著局部搜索情況的變化,最佳的策略變?yōu)樘S策略。而跳躍策略若以極低的被選概率被選中且成功了,則其被選中概率便會迅速上升,相應(yīng)的探索策略被選中的概率隨之降低。

    3.3 基于自適應(yīng)選擇的多策略粒子群算法的整體框架

    基于自適應(yīng)選擇的多策略粒子群算法的整體框架如下所示。

    Algorithm 3 MPSO-AS Algorithm

    1) initialize the position and velocity of particles in the swarm randomly;

    2) set the nfe=0,generation number g=0;

    3) while nfe

    4) if g>LP then

    5) update probability of 4 strategies for each particle according to (8)

    6) end if

    7) for each particle i do

    8) select the strategy k by roulette wheel selection;

    9) update the position and velocity of particle i;

    10) if f(xi(g))

    12) else

    14) end if

    15) if f(xi(g))

    16) pbesti=xi(g);

    17) if f(xi(g))

    18) gbest=xi(g);

    19) end if

    20) end if

    21) end for

    22) g=g+1;

    23) end while

    3.4 算法復(fù)雜度

    與標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法相比,基于自適應(yīng)選擇的多策略粒子群算法的額外計算量主要在于自適應(yīng)選擇機(jī)制中各個粒子4種策略選中概率的計算。而在選中概率的計算過程中,沒有額外的適應(yīng)值計算。

    總體來說,若算法共進(jìn)行Ite次迭代,則基于自適應(yīng)選擇的多策略粒子群算法的總計算復(fù)雜度為O(PS)。

    4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

    4.1 測試函數(shù)

    為了測試基于自適應(yīng)選擇的多策略粒子群算法的性能,本次試驗(yàn)采用8個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù),可將其分為三組。

    1)第一組為4個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù),其中包括:

    2個單峰函數(shù)(f1,f2)

    2個多峰函數(shù)(f3,f4)

    2)第二組為病態(tài)條件下的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù),其是在標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的基礎(chǔ)上加入噪聲、平移和旋轉(zhuǎn)的操作,從而提高測試函數(shù)的復(fù)雜。

    其中,平移函數(shù)為Shifted Schwefeil 1.2函數(shù),具體可以表示為:

    o為平移量,也是全局最優(yōu)的解;fbias為函數(shù)值偏移量,此處fbias=-450。

    旋轉(zhuǎn)操作的方法參考CLPSO中的方法,具體可以表示為

    M為正交矩陣。

    噪聲操作可表示為:

    8個測試函數(shù)的搜索范圍,以及全局最優(yōu)如表1所示。

    表1 測試函數(shù)的搜索范圍與全局最優(yōu)

    4.2 相關(guān)算法的參數(shù)設(shè)置

    本次試驗(yàn),通過與其它4種改進(jìn)的粒子群算法進(jìn)行對比來測試基于自適應(yīng)選擇的多策略粒子群算法的性能,這些算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

    表2 算法參數(shù)參數(shù)設(shè)置

    PSO-w是最典型的一種粒子群改進(jìn)算法,其慣性權(quán)重w是隨迭代次數(shù)線性減小。CLPSO通過提高種群中的粒子多樣性來提高算法對多峰問題的解決能力。ALPSO采用基于候選代的自適應(yīng)學(xué)習(xí)策略與基于預(yù)測的競爭學(xué)習(xí)策略來平衡算法的探索與開發(fā)能力。

    為了保證在對各個算法試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比的公平,對試驗(yàn)的基本參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一設(shè)置,如種群大小(PS)和最大適應(yīng)值計算次數(shù)nfemax。在本次實(shí)驗(yàn)中,設(shè)置維度D=30,其對應(yīng)的種群大小PS=20,最大適應(yīng)值計算次數(shù)nfemax=100000。所有算法分別獨(dú)立對測試函數(shù)進(jìn)行30計算。

    4.3 基于平均值與方差的對比

    5種算法均獨(dú)立對測試函數(shù)進(jìn)行30次計算。對于每個測試函數(shù),記錄其30次計算的最優(yōu)值f(xtest)與函數(shù)真正的全局最優(yōu)值f(x*)差(即誤差)的絕對值。5種算法對8個測試算法30次獨(dú)立計算的誤差平均值與方差如表4所示。表4數(shù)據(jù)括號內(nèi)的值為誤差的方差,括號外的值為誤差的平均值。此外,在5個算法中,最優(yōu)的值以加粗的形式來體現(xiàn)。

    由表3可得,對于單峰測試函數(shù)(f1-f2),MPSO-AS的求解結(jié)果明顯優(yōu)于其它算法。第3個測試函數(shù)(f3)為復(fù)雜的多峰函數(shù),雖然MPSO-AS的誤差平均值要大于CLPSO,但是其方差較大,這個原因在于,MPSO-AS在30次求解第3個函數(shù)時,有21次找到了全局最優(yōu)解0,但其它9次求解并未找到。CLPSO雖然誤差均值要小,但在30次重復(fù)運(yùn)行中,沒有一次找到全局最優(yōu)。同時,MPSO-AS對于另外一個多峰測試函數(shù)(f4)的均值方差均為零,這表明MPSO-AS在30次獨(dú)立的求解后,每次都能在給定的計算量內(nèi)找到全局最優(yōu)。對于病態(tài)的測試函數(shù)(f5-f8)的測試結(jié)果可以看出,平移f5和噪聲的操作對所有算法的求解精度都有所影響,但MPSO-AS求解結(jié)果依然優(yōu)于其它算法。相比于其它算法,旋轉(zhuǎn)操作的加入對MPSO-AS算法的求解影響較小。由于第6個函數(shù)(f6)和第7個函數(shù)(f7)分別是在第3個函數(shù)(f3)和第4個函數(shù)(f4)的基礎(chǔ)上加入正交矩陣??梢詮谋?看出,MPSO-AS算法對第7個函數(shù)(f7)的求解結(jié)果和其對第4個函數(shù)(f4)的求解結(jié)果一樣。相比于未加入旋轉(zhuǎn)操作的第3個測試函數(shù)(f3)結(jié)果而言,對于第6個函數(shù)(f6),MPSO-AS的求解結(jié)果優(yōu)于CLPSO的求解結(jié)果。

    表3 12個測試函數(shù)的平均值與方差

    4.4 基于收斂速度的對比

    在試驗(yàn)過程中,對于每個測試函數(shù),每個算法在每次獨(dú)立運(yùn)算過程中隨著適應(yīng)值計算次數(shù)nfe的增加其最小的誤差值均被記錄。故可以根據(jù)誤差值求得平均最小誤差值error(nfe),通過平均最小誤差值則可畫出每個算法對于每個測試函數(shù)的收斂圖。具體地,平均最小誤差值error(nfe)可表示為

    (9)

    式(12)中xbest(nfe)為一次獨(dú)立運(yùn)行過程中適應(yīng)值計算次數(shù)為nfe時算法求得的歷史最優(yōu)位置。f(x*)為該測試函數(shù)的全局最優(yōu)解。

    本次試驗(yàn)中,5種算法對8個函數(shù)求解的收斂圖如圖2所示。

    圖2 測試函數(shù)收斂圖

    由圖2.(a)和圖2.(b)可以看出,對于2個單峰測試函數(shù),MPSO-AS的收斂速度隨著迭代的進(jìn)行不斷加快,相比于其它4種算法,MPSO-AS的收斂速度有著顯著的優(yōu)勢。對于f4多峰測試函數(shù),MPSO-AS均在一半的適應(yīng)值計算次數(shù)之后其收斂速度迅速變快,且在給定的適應(yīng)值計算次數(shù)內(nèi)收斂到全局最優(yōu)。對于f3多峰測試函數(shù),MPSO-AS收斂速度在中后期趨于平緩的原因如上文所述,在30次的求解中有幾次并未找到全局最優(yōu)。對于病態(tài)的測試函數(shù) (f5,f6,f7,f8),MPSO-AS的搜索速度受平移、旋轉(zhuǎn)和噪聲的干擾并不大,其它算法如PSO-w在迭代中期進(jìn)入阻滯狀態(tài),MPSO-AS算法在中后期仍保持較高的收斂速度。

    5 結(jié)論

    本文通過建立策略池以及自適應(yīng)選擇機(jī)制,實(shí)現(xiàn)粒子在不同情況下能根據(jù)自身情況選擇最佳的速度更新策略。試驗(yàn)表明,對于8個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù),MPSO-AS的收斂性能(收斂精度與收斂速度)比其它四種粒子群改進(jìn)算法更好。

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