非相關源與相干源并存的信源數(shù)估計

余小玲，龔曉峰，雒瑞森

(四川大學電氣工程學院，四川 成都 610065)

1 引言

空間譜陣列信號處理在雷達、通訊、導航和電子對抗領域有著廣泛的應用前景?；谔卣髯涌臻g的高分辨譜估計技術中大部分算法要求信源個數(shù)精確已知。當估計的信號源數(shù)目與真實的信號源數(shù)目不一致時，空間譜曲線中的峰值個數(shù)與實際源數(shù)不相同，會對真實信號的估計產生嚴重的影響。然而，在實際應用場合，信號源數(shù)往往是一個未知數(shù)。所以，信源數(shù)的準確估計是子空間類譜估計算法需要解決的關鍵問題。

針對信源數(shù)估計問題，相關學者提出了很多較為有效的方法，包括Akaike 信息論(AIC)準則[1]、最小描述長度(MDL)準則[2]、有效檢測(EDC)準則、蓋氏圓法(GDE)[3]以及正則相關技術(CCT)[4]。這些算法能準確估計信號源不相關或者獨立時的個數(shù)，但是在多徑傳播和復雜電磁干擾背景下，會產生大量的強相關或相干信號，信號子空間會向噪聲子空間擴散，造成秩虧，導致算法失效[5]。因此相干信源估計問題，首先應是對信號解相干。圍繞信號的解相干問題，很多有效算法被提出，大致分為兩類：一類是空間平滑類；另一類是矩陣重構類?？臻g平滑類算法的原理是將空間平滑算法與信息論的方法相結合來實現(xiàn)相干信源數(shù)目的估計。主要包括前向空間平滑算法[6]、前后向空間平滑算法[7]以及空間差分平滑算法[8]。該算法是是通過犧牲有效陣元數(shù)目、實現(xiàn)解相干，會造成陣列孔徑的損失。矩陣重構法的原理是直接利用陣列接收快拍數(shù)據(jù)或利用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進行矩陣重構方式解相干。主要包括矩陣分解法[9]和Toeplitz法[10-12]。該算法在低信噪比時性能良好，得到廣泛應用。

本文針對非相關源與相干源共存時的信源數(shù)目估計問題，利用陣元接收信號間的互相關信息，構造一個秩只與相干源信息有關的差分矩陣，從而將非相關源與相干信源的估計分辨開。該算法首先利用SORTE法估計相互獨立信源個數(shù)，結合非相關信源導向矢量、相干信源陣列導向矢量矩陣分布與噪聲子空間正交特性的差異，根據(jù)DOA估計結果得到非相關信源數(shù)估計。然后通過利用陣元接收信號間的相互關系，構造差分矩陣，最后利用SORTE法實現(xiàn)相干信源數(shù)估計。

相比常規(guī)信源數(shù)估計算法，本算法將非相關信源與相干信源分開分辨，重復利用陣列接收數(shù)據(jù)，具有更強的信源承載能力及陣元節(jié)省能力，且精確度較高。

2 信號接收模型

信號接收陣列模型如圖1所示。

圖1 信號接收陣列模型

假設有M個窄帶遠場信號源Si(t)以角度θi(i=1，2，…，M)入射到空間陣列上，其中陣列天線由2N+1個線性分布陣元組成，假設陣列中各陣元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影響，如圖1所示。假設噪聲為零均值、方差為δ2的高斯白噪聲，陣元間噪聲彼此獨立，且與信號不相關。以中間陣元為參考陣元，則其陣列接收信號寫成矢量表達式為

X(t)=A(θ)S(t)+V(t)

(1)

式中，X(t)為陣列接收的快拍數(shù)據(jù)的矢量表達式；A(θ)為對應的(2N+1)×M階陣列流形矩陣；V(t)為噪聲矢量，R為信號協(xié)方差矩陣。

X(t)=[x-N(t)，…，x-1(t)，x0(t)，x1(t)，…，xN(t)]T

(2)

A(θ)=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θM)]

(3)

(4)

S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sM(t)]T

(5)

V(t)=[v-N(t)，…，v-1(t)，v0(t)，v1(t)，…，vN(t)]T

(6)

R=E[X(t)XH(t)]

(7)

3 算法原理

3.1 非相關信源數(shù)估計

(8)

SORTE信源估計法主要思想是利用特征值二階統(tǒng)計方差信息構造信源估計判決函數(shù)[13]。

若定義M1=Mu+D、?λi=λi-λi+1，其中i=1，…，2N，則有

?λM1+1=?λM1+2=…=?λ2N=0

(9)

定義特征值的方差為δk。

(10)

其中，k=1，…，2N。

定義SORTE函數(shù)為

(11)

由式(11)得，SORTE函數(shù)滿足如下關系：

(12)

則獨立信號(非相關信號與相干信號組之和)源估計的判決函數(shù)為

1

(13)

結合，非相關信源導向矢量、相干信源陣列導向矢量矩陣分布與噪聲子空間正交特性的差異，根據(jù)DOA估計結果得到非相關信源數(shù)估計。

3.2 相干信源數(shù)估計

假設M個信號中前L個相干，其余各信號間不相關，則第n個陣元上的接收信號為

(14)

式中，n=-N，…，-1，0，1，…，N;βi=ρiejΔφi，ρi>0，i=1，2，…，L;Φ=-2πd/λ。定義第n個和第k(k≥0)個陣元上接收信號的互相關為

(15)

同理，對應的第-k(-k≤0) 個與第-n個陣元上的接收信號的互相關為

(16)

用第k個陣元與所有陣元的接收信號的互相關構造如下(N+1)×(N+1)維Toeplitz矩陣

(17)

同理用對應第-k個陣元與所有陣元的接收信號的互相關，構造如下(N+1)×(N+1)維Toeplitz矩陣

(18)

構造差分矩陣

(19)

為了提高協(xié)方差矩陣特征空間對噪聲擾動的魯棒性，所有陣列的互相關性和自相關性都被采用，按如下處理所有的差分矩陣

(20)

文獻[14]已證明，通過構造差分矩陣達到了相干信源去相干的目的。

對于入射信源中有多個相干信源組的混合情況，由單組相干信源同理可推導。

3.3 算法的基本步驟

綜上所述，本文算法基本步驟如下：

1)利用SORTE得到非相關信源數(shù)和相關信源組數(shù)。

2)結合常規(guī)分辨方法中非相關信源陣列導向矢量與噪聲子空間正交關系特性，得到非相關信源數(shù)目的估計。

3)構造差分矩陣。

4)對差分矩陣分解得到的特征值，利用SORTE算法估計得到相干信源數(shù)。

4 數(shù)值仿真與分析

為驗證本文算法的性能，將本文算法與基于FSS、FBSS、SDS和Toeplitz矩陣重構的解相干算法進行比較。同時，為了驗證算法的有效性，進行了4組仿真。

實驗一：單組相干源時驗證算法解相干能力對信噪比和快拍數(shù)的敏感程度，考慮均勻線陣的陣元數(shù)為13，陣元間距為半波長。其中2個非相關信號和一組4個相干窄帶信號同時入射到陣列上，非相關信號DOA分別為[20°，30°]，一組相干信號DOA分別為[-20°，10°，-50°，0°]。假設噪聲為零均值、方差為δ2的高斯白噪聲，陣元間噪聲彼此獨立，且與信號不相關。Monte Carlo實驗次數(shù)為100。圖2是采樣快拍數(shù)為200時成功檢測概率與SNR關系曲線，圖3是SNR為15dB時成功檢測概率與快拍數(shù)的關系曲線。

圖2 單組相干源時算法對信噪比的敏感程度

圖3 單組相干源時算法對快拍數(shù)的敏感程度

如圖2所示，本文算法在低信噪比下性能明顯高于另外4種算法，并且在信噪比為-10dB～30dB，步進為3dB下，信噪比為2dB時，成功檢測概率達到98%以上，由此可見本文算法對信噪比的敏感度較低。

如圖3所示，即使在快拍數(shù)很小的情況下，本文算法依舊可以保證99%以上的正確率，即快拍數(shù)對最后的估計結果幾乎不會造成影響，取信噪比為15dB快拍數(shù)為20到200，步進為20。SDS 算法在快拍數(shù)為200時正確率才能達到 96%，另外3種算法，即使在快拍數(shù)達到200的情況下正確率也沒有達到80%。

實驗二：多組相干源時驗證算法解相干能力對信噪比和快拍數(shù)的敏感程度。其中2個非相關信號和兩組4個相干信號同時入射到陣列上，非相關信號DOA分別為[20°，30°]，第一組相干信號DOA分別為[-20°，10°]第二組相干信號DOA分別為[-40°，0°]。其它仿真參數(shù)同實驗一。圖4是采樣快拍數(shù)為200時成功檢測概率與SNR關系曲線。圖5是SNR為15dB時檢測概率與快拍數(shù)的關系曲線。

圖4 兩組相干源時算法對信噪比的敏感程度

圖5 兩組相干源時算法對快拍數(shù)的敏感程度

如圖4所示當信噪比大于26dB時5種算法的正確率均可以達到100%，但是在信噪比的敏感程度上，本文算法最優(yōu)，在5dB時的正確率就可以達到100 %。

如圖5所示，在快拍數(shù)為40的情況下本文的正確率就可以達到100%，其它4種算法，即使在快拍數(shù)達到200時，正確率也均低于90%。

實驗三：單組相干源角度接近時驗證算法解相干能力對信噪比和快拍數(shù)的敏感程度。其中2個非相關信號和一組4個相干信號同時入射到陣列上，非相關信號DOA分別為[7°，-21°]，相干信號DOA分別為[-20°，5°，-30°，0°]，其它仿真參數(shù)同實驗一。圖6是采樣快拍數(shù)為200時成功檢測概率與SNR關系曲線。圖7是SNR為15dB時成功檢測概率與快拍數(shù)的關系曲線。

圖6 相干源角度接近時算法對信噪比的敏感程度

圖7 相干源角度接近時算法對快拍數(shù)的敏感程度

如圖6、圖7所示，當非相關信源與相干信源角度接近時傳統(tǒng)的FSS、FBSS和Teop算法通過空間平滑或矩陣重構之后仍可能是秩虧的狀態(tài)，因此正確率較低，但是本文算法和SDS是通過差分構造差分矩陣將非相關源和相干源區(qū)分開，因此分辨率不受角度間隔的影響。

實驗四：信源數(shù)等于陣元數(shù)時驗證算法解相干能力對信噪比和快拍數(shù)的敏感程度。其中9個非相關信號和一組4個相干信號同時入射到陣列上，非相關信號DOA分別為[20°，30°，-10°， -45°，40°，-60°，60°，15°，-25°]，一組相干信號DOA分別為[-20°，10°，-50°，0°]。其它仿真參數(shù)同實驗一。圖8是采樣快拍數(shù)為200時成功檢測概率與SNR關系曲線。圖9是SNR為15dB時成功檢測概率與快拍數(shù)的關系曲線。

圖8 信源數(shù)等于陣元數(shù)時算法對信噪比的敏感程度

圖9 信源數(shù)等于陣元數(shù)時算法對快拍數(shù)的敏感程度

如圖8、圖9所示，當入射信源數(shù)等于陣列元數(shù)時，F(xiàn)SS、FBSS、Toep算法均失效，只有本文算法和SDS能夠檢測13個信號，顯然本文算法的精確度較SDS高，且在信噪比為11dB時，正確率達到99%，對快拍數(shù)的敏感程度顯然也優(yōu)于SDS。在信源數(shù)等于陣元數(shù)時仍有較好的估計結果，可見本文的算法的信源承載能力較強。

5 結束語

針對相干源與非相關源并存時的信源數(shù)目估計問題，提出了一種基于差分算法的信源數(shù)估計方法。利用陣元間的互相關信息構造差分矩陣，使其秩只與相干源的信息有關，達到相干源解相干。該算法首先利用SORTE法估計獨立信源的個數(shù)，結合常規(guī)分辨方法中非相關信源陣列導向矢量與噪聲子空間正交關系特性，實現(xiàn)非相關信源數(shù)目的估計，再構造僅包含相干源信息的差分矩陣，實現(xiàn)相干源數(shù)目的估計。該算法通過構造差分矩陣，消除了噪聲的影響，將相干源與非相關源的估計分隔開。

實驗結果表明：1)相比傳統(tǒng)的空間平滑類算法、矩陣重構類算法以及SDS算法，本文算法在快拍數(shù)小和信噪比低的情況下依然能夠準確的估計信源數(shù)目。單組相干源時，當快拍數(shù)為200的情況下，信噪比為2dB時，成功檢測概率達到98%以上。當信噪比為15dB的情況下，快拍數(shù)為20時成功檢測概率達到99%以上；2)當信源角度接近時算法依舊有很好的性能。在快拍數(shù)為200的情況下，常規(guī)信源數(shù)估計算法在信源角度接近時，信噪比達到30dB時，成功檢測率也只能達到60%，本文算法，當信噪比為5dB時，成功檢測率能達到98%以上；3)將非相關信源與相干信源分開檢測，算法的信源承載能力較強。常規(guī)信源數(shù)估計算法都會損失陣列孔徑，本文算法將非相關信源與相干信源分開分辨，重復利用陣列接收數(shù)據(jù)，具有更強的信源承載能力及陣元節(jié)省能力，當陣元數(shù)為13時，可估計的信源數(shù)與陣元數(shù)相同。