具有相依性的加權(quán)n中取k系統(tǒng)的熱分配問(wèn)題

范莉，游銀萍

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021)

在可靠性理論中，n中取k系統(tǒng)[1]是協(xié)同系統(tǒng)中的一類非常流行的糾錯(cuò)結(jié)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于電子工程、航空工業(yè)及水利水電等相關(guān)領(lǐng)域.n中取k系統(tǒng)是指由n個(gè)元件組成的協(xié)同系統(tǒng)，系統(tǒng)工作當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)元件中至少有k個(gè)元件工作.通過(guò)給系統(tǒng)工作元件分配冗余元件來(lái)延長(zhǎng)系統(tǒng)的壽命，從而提高系統(tǒng)的可靠性.冗余元件一般有熱分配和冷儲(chǔ)備兩種添加方式.熱分配是指冗余元件與工作元件同時(shí)開(kāi)始運(yùn)行，添加位置的元件壽命為冗余元件與工作元件壽命的最大值.冷儲(chǔ)備是指在工作元件停止運(yùn)行后，冗余元件開(kāi)始運(yùn)行，添加位置的元件壽命為冗余元件與工作元件壽命之和.近年來(lái)，已有許多學(xué)者對(duì)n中取k系統(tǒng)冗余元件的分配問(wèn)題進(jìn)行了研究[1-9].當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行元件的總權(quán)重超過(guò)某個(gè)預(yù)定臨界值k時(shí)，系統(tǒng)才工作.一般的n中取k系統(tǒng)是加權(quán)n中取k系統(tǒng)的特例.關(guān)于加權(quán)n中取k系統(tǒng)的不同方面已有大量的研究，如可靠性計(jì)算、系統(tǒng)性能指標(biāo)計(jì)算、權(quán)重?fù)p失評(píng)估、剩余容量及具有多個(gè)狀態(tài)或隨機(jī)權(quán)重的加權(quán)n中取k系統(tǒng)[10-17].

Zhang[18]考慮系統(tǒng)元件壽命相互獨(dú)立的情況下，研究加權(quán)n中取k系統(tǒng)的熱分配問(wèn)題.在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，加權(quán)n中取k系統(tǒng)中的工作元件通常在相同的環(huán)境中工作或共享相同的負(fù)載，因此，工作元件的壽命存在一定的相依性.例如，在一個(gè)連鎖故障的系統(tǒng)中，某個(gè)工作元件的故障將導(dǎo)致其余元件承受壓力更密集，從而更有可能發(fā)生故障.如果忽略這種相依性的影響，認(rèn)為各個(gè)元件之間是獨(dú)立工作的，那么必將高估或低估這些元件所構(gòu)成的系統(tǒng)壽命.因此，考慮工作元件壽命隨機(jī)排列遞增的相依性，本文研究加權(quán)n中取k系統(tǒng)在熱分配下冗余元件的最優(yōu)分配策略.

1 預(yù)備知識(shí)

隨機(jī)序主要用來(lái)描述隨機(jī)變量之間的大小關(guān)系[4，19-20]，在可靠性工程、金融和精算風(fēng)險(xiǎn)管理及統(tǒng)計(jì)等與概率相關(guān)的領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用.

定義1假設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，分別具有分布函數(shù)F和G.對(duì)于任意增函數(shù)Ψ，如果滿足E[Ψ(X)]≤E[Ψ(Y)]，則X在普通隨機(jī)序(st)上小于Y，記為X≤stY.

定義2假設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，分別具有密度函數(shù)f和g.對(duì)于任意x≤y，如果滿足f(x)g(y)≥f(y)g(x)，則X在似然比序(lr)上小于Y，記為X≤lrY.

文中關(guān)于系統(tǒng)各元件壽命間的統(tǒng)計(jì)相依性是隨機(jī)排列遞增性，多元非參數(shù)相依概念由文獻(xiàn)[21-22]首次提出.對(duì)于任意對(duì)(i，j)，1≤i

定義3函數(shù)g(x):Rn→R在x上是排列遞增(AI)的，如果(xi-xj)[g(x)-g(τi，j(x))]≤0，1≤i

定義4如果對(duì)任意函數(shù)g∈Ai，j(n)，1≤i

若隨機(jī)向量X是SAI的，則在集合{x:xj≤xj}任意子集上的X比τi，j(X)有更大的權(quán)重，1≤i

SAI的一些重要性質(zhì)如引理1～2.

引理2[21]設(shè)隨機(jī)向量X=(X1，…，Xn)是SAI的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的x2≥x1，有E[g2(X1，X2)]≥E[g1(X1，X2)]，其中，g2(x1，x2)≥g1(x1，x2)；g2(x1，x2)+g2(x2，x1)≥g1(x1，x2)+g1(x2，x1).

令I(lǐng)(A)表示事件A的示性函數(shù)，有如下引理3.

引理3設(shè)u為任意增函數(shù)，u:R→R.對(duì)于任意y1≥y2，ω1≥ω2，有

m2(x1，x2)=u(ω1I(V{x1，y1}>t)+ω2I(V{x2，y2}>t))，

m1(x1，x2)=u(ω1I(V{x1，y2}>t)+ω2I(V{x2，y1}>t))，

則對(duì)于所有x2≥x1，有

m2(x1，x2)≥m1(x1，x2)，

(1)

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

(2)

式(1)的證明.對(duì)于任意固定值t≥0，I(x>t)是x的增函數(shù).對(duì)于任意y1≥y2，令h(x)=I(V{x，y1}>t)-I(V{x，y2}>t)，1)當(dāng)x≥y1≥y2時(shí)，則有h(x)=I(x>t)-I(x>t)=0；2)當(dāng)y1≥x≥y2時(shí)，則有h(x)=I(y1>t)-I(x>t)≥0；3)當(dāng)y1≥y2≥x時(shí)，則有h(x)=I(y1>t)-I(y2>t)≥0.因此易證，h(x)是非負(fù)且關(guān)于x是遞減函數(shù).

對(duì)于所有x2≥x1，有h(x1)≥h(x2)≥0，即

I(V{x1，y1}>t)-I(V{x1，y2}>t)≥I(V{x2，y1}>t)-I(V{x2，y2}>t)≥0.

因?yàn)棣?≥ω2，則有

ω1(I(V{x1，y1}>t)-I(V{x1，y2}>t))≥ω2(I(V{x2，y1}>t)-I(V{x2，y2}>t))≥0，

整理為

ω1I(V{x1，y1}>t)+ω2I(V{x2，y2}>t)≥ω1I(V{x1，y2}>t)+ω2I(V{x2，y1}>t)≥0.

又因?yàn)閡為增函數(shù)，故

u(ω1I(V{x1，y1}>t)+ω2I(V{x2，y2}>t))≥u(ω1I(V{x1，y2}>t)+ω2I(V{x2，y1}>t))，

即m2(x1，x2)≥m1(x1，x2)得證.

式(2)的證明.1)當(dāng)x2≥x1≥y1≥y2時(shí)，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(x1>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(x1>t))，

即m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

2)當(dāng)y1≥y2≥x2≥x1時(shí)，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=2u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=2u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t)).

因?yàn)閡為增函數(shù)且y1≥y2，ω1≥ω2，易證

u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))≥u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t)).

從而可知m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

3)當(dāng)x2≥y1≥y2≥x1時(shí)，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y2>t))，

(3)

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(y2>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

(4)

對(duì)于x2≥y1≥y2≥t，I(x2>t)=I(y1>t)=I(y2>t)=1.由式(3)，(4)，有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=2u(ω1+ω2)=m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

對(duì)于x2≥y1≥t≥y2，I(y2>t)=0且I(x2>t)=I(y1>t)=1.由式(3)，(4)，有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1+ω2)+u(ω1)，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω2)+u(ω1+ω2).

因?yàn)棣?≥ω2，有m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).對(duì)于x2>t≥y1或t≥x2，容易檢驗(yàn)得

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

4)當(dāng)x2≥y1≥x1≥y2時(shí)，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(x1>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

類似3)的證明方式，有m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

5)當(dāng)y1≥x2≥y2≥x1時(shí)，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

因?yàn)閡為增函數(shù)且y1≥x2≥y2，ω1≥ω2，易證

u(ω1I(y1>t)+ω2I(y2>t))-u(ω1I(y2>t)+ω2I(y1>t))≥0，

u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))-u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t))≥0.

從而可知m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

6)當(dāng)y1≥x2≥x1≥y2時(shí)，則有

m2(x1，x2)+m2(x2，x1)=u(ω1I(y1>t)+ω2I(x2>t))+u(ω1I(y1>t)+ω2I(x1>t))，

m1(x1，x2)+m1(x2，x1)=u(ω1I(x1>t)+ω2I(y1>t))+u(ω1I(x2>t)+ω2I(y1>t)).

類似3)的證明方式，有m2(x1，x2)+m2(x2，x1)≥m1(x1，x2)+m1(x2，x1).

2 主要結(jié)論及其證明

設(shè)隨機(jī)向量X=(X1，…，Xn)是加權(quán)n中取k系統(tǒng)n個(gè)分量的壽命，ω=(ω1，…，ω2)是系統(tǒng)的權(quán)重向量，其中，第i個(gè)工作元件為系統(tǒng)運(yùn)行貢獻(xiàn)權(quán)重為ωi，i=1，…，n，則在任意時(shí)刻t≥0，系統(tǒng)總權(quán)重的隨機(jī)過(guò)程為

給定臨界值k，系統(tǒng)的壽命為T(mén)X(k):=inf{t:WX(t)

P(TX(k)>t)=P(WX(t)≥k).

(5)

將兩個(gè)壽命具有似然比序大小關(guān)系的冗余元件熱分配給工作元件壽命為SAI的加權(quán)n中取k系統(tǒng).設(shè)這兩個(gè)冗余元件的壽命分別為隨機(jī)變量Y1和Y2，對(duì)于任意對(duì)(i，j)，1≤i

定理1[18]設(shè)X1，…，Xn，Y1，Y2相互獨(dú)立，對(duì)任意對(duì)(i，j)，1≤i

由定理1可知：對(duì)于具有相互獨(dú)立壽命的系統(tǒng)工作元件，將更好的冗余元件分配給權(quán)重較大、性能較差的工作元件，可以隨機(jī)地延長(zhǎng)加權(quán)n中取k系統(tǒng)的壽命.由于系統(tǒng)元件在同一個(gè)系統(tǒng)中工作，受共同環(huán)境因素的影響，因此，需要研究工作元件壽命具有相依性的冗余元件熱分配問(wèn)題.

定理2設(shè)隨機(jī)向量X=(X1，…Xn)是SAI的，則對(duì)于任意ωi≥ωj，1≤i

證明：設(shè)u為任意增函數(shù)，y1≥y2，1≤i

根據(jù)引理3，對(duì)于所有xj≥xi，有

h2(xi，xj)≥h1(xl，xj)，

h2(xi，xj)+h2(xj，xi)≥h1(xi，xj)+h1(xj，xi).

可以證明

(g1(y1)g2(y2)-g1(y2)g2(y1))dy1dy2.

由于Y1≥lrY2，對(duì)于y1≥y2，有g(shù)1(y1)g2(y2)≥g1(y2)g2(y1).結(jié)合上式，有

又因?yàn)閡為任意增函數(shù)，所以有

即WX(t；(Y1，Y2))≥stWX(t；(Y2，Y1)).由式(5)和定理2，得到推論1.

推論1設(shè)隨機(jī)向量X=(X1，…，Xn)是SAI的，則對(duì)于任意ωi≥ωj，1≤i

由推論1可知：當(dāng)加權(quán)n中取k系統(tǒng)中n個(gè)工作元件的壽命具有SAI相依性時(shí)，將較好的冗余元件分配給權(quán)重較大性能較差的工作元件，另一個(gè)冗余元件分配給權(quán)重較小性能較好的工作元件，系統(tǒng)的壽命會(huì)得到隨機(jī)延長(zhǎng).若X1，…，Xn相互獨(dú)立且X1≤lrX2≤lr…≤lrXn，易證X=(X1，…，Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)是AI的，即X=(X1，…，Xn)是SAI的，也就是說(shuō)，推論1將定理1從系統(tǒng)工作元件壽命相互獨(dú)立擴(kuò)展到工作元件壽命具有SAI相依性.

由定理2和推論1可知：當(dāng)加權(quán)n中取k系統(tǒng)的工作元件壽命具有SAI相依性時(shí)，為系統(tǒng)分配一個(gè)冗余元件的最優(yōu)分配策略.設(shè)這一冗余元件的壽命為隨機(jī)變量Y，對(duì)于任意對(duì)(i，j)，1≤i

推論2假設(shè)隨機(jī)向量X=(X1，…，Xn)是SAI的，則對(duì)于任意ωi≥ωj，1≤i

Ti(k；Y)≥stTj(k；Y).

由推論2可知：在加權(quán)n中取k系統(tǒng)n個(gè)工作元件壽命具有SAI相依性的情況下，將冗余元件分配給權(quán)重更大、性能更差的系統(tǒng)工作元件上，將會(huì)隨機(jī)地提高系統(tǒng)的可靠性.推論2實(shí)際上擴(kuò)展了Zhang[18]的推論2.3，將加權(quán)n中取k系統(tǒng)工作元件壽命相互獨(dú)立推廣到相依性.

3 結(jié)束語(yǔ)

在加權(quán)n中取k系統(tǒng)工作元件壽命具有隨機(jī)排列遞增的相依性下，主要研究了兩個(gè)不同冗余元件熱分配的最優(yōu)分配策略.事實(shí)上，由于系統(tǒng)單元數(shù)量的增加和結(jié)構(gòu)的復(fù)雜化，可以進(jìn)一步研究多個(gè)不同的冗余元件一一對(duì)應(yīng)地分配給系統(tǒng)的工作元件，或者多個(gè)相同的冗余元件一一對(duì)應(yīng)地分配給系統(tǒng)的工作元件的最優(yōu)分配策略，或者考慮系統(tǒng)工作元件之間或冗余元件之間具有其他不同的相依性的冗余分配問(wèn)題.