Banach格上的幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì)

陳緣媛， 陳金喜， 陳滋利

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都611756）

近年來(lái)，關(guān)于Banach格及其上的算子理論的研究中，主要討論算子所在的空間性質(zhì)和算子本身的性質(zhì).2012年，Aqzzouz等［1］對(duì)Dunford-Pettis集的性質(zhì)作了進(jìn)一步研究.2016年，Retbi等［2］提出了Banach空間上的L-Dunford-Pettis集和L-Dunford-Pettis性質(zhì)，并對(duì)其進(jìn)行了研究.2018年，Halmeh等［3］提出了幾乎L-Dunford-Pettis集，并對(duì)其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了討論.本文基于L-Dunford-Pettis性質(zhì)和幾乎L-Dunford-Pettis集的啟發(fā)，給出了幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì)的定義，并研究此性質(zhì)與不交Dunford-Pettis全連續(xù)算子、弱緊算子、正Dunford-Pettis的相對(duì)緊性質(zhì)以及L-Dunford-Pettis性質(zhì)等之間的關(guān)系.

本文中E′表示Banach格E的拓?fù)涔曹椏臻g，L（E，F(xiàn)）表示Banach格E到Banach格F的有界線性算子全體.設(shè)T：E→F是Banach格E到Banach格F的算子，如果T將E中的Dunford-Pettis集映為F中的相對(duì)緊集，則稱(chēng)T為Dunford-Pettis全連續(xù)算子.記為DPcc［4］.T：E→F是一個(gè)算子，若T將E中的不交Dunford-Pettis序列并且是弱零序列映為F中的相對(duì)緊集，則稱(chēng)T為不交Dunford-Pettis全連續(xù)算子.記為DPdcc［3］.顯然Dunford-Pettis全連續(xù)算子一定是不交Dunford-Pettis全連續(xù)算子，反之卻不一定成立.根據(jù)文獻(xiàn)［5］知道，B是E′上的范數(shù)有界子集，如果E中的任意不交序列xn，且在B上都一致收斂于零，即

則稱(chēng)B為幾乎L-集.當(dāng)E和F是Banach格并且F是Dedekind完備的，對(duì)任意算子T∈Lb（E，F(xiàn)），定義正則范數(shù)‖T‖r＝‖｜T｜‖，則Lb（E，F(xiàn)）在‖T‖r下是Banach格.（Lb（E，F(xiàn)），‖·‖r）表示在正則范數(shù)下E到F的有界線性算子全體.

未解釋的關(guān)于Banach格和相關(guān)算子理論的部分概念、術(shù)語(yǔ)以及符號(hào)詳見(jiàn)文獻(xiàn)［6-7］.

1 幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì)

知道每個(gè)弱緊算子是不交Dunford-Pettis全連續(xù)算子，反之不一定成立.例如，恒等算子Idl1：l1→l1是不交Dunford-Pettis全連續(xù)算子，但不是弱緊算子.

下面定理介紹在幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì)下，研究不交Dunford-Pettis全連續(xù)算子與弱緊算子的關(guān)系.

定理1.5設(shè)E是一個(gè)Banach格，則下面命題是等價(jià)的：

1）E有幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì)；

2）對(duì)于任意Banach空間X，每一個(gè)E到X的DPdcc算子是弱緊算子；

3）任意E到l∞的DPdcc算子是弱緊算子.

因此T′不是弱緊算子，從而T也不是弱緊算子.

推論1.6設(shè)E是具有Dunford-Pettis性質(zhì)的Banach格，如果E′有序連續(xù)范數(shù)，則E有幾乎LDunford-Pettis性質(zhì).

證明設(shè)Τ：Ε→X是Banach格E到Banach空間X的DPdcc算子，設(shè)xn為E中的不交有界序列，由文獻(xiàn)［7］推論2.9知道xn是弱收斂于0，因?yàn)镋有Dunford-Pettis性質(zhì)，E中的每個(gè)相對(duì)弱緊集是Dunford-Pettis集，則xn是Dunford-Pettis集.根據(jù)假設(shè)，有‖T（xn）‖→0.則T是M-弱緊算子，通過(guò)文獻(xiàn)［6］定理5.61知T是弱緊算子，由定理1.5知，E有幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì).

如果E′中的每個(gè)L-Dunford-Pettis集是相對(duì)弱緊集，則稱(chēng)Banach格E有L-Dunford-Pettis性質(zhì)［2］.很顯然如果Banach格E有幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì)，則E一定有L-Dunford-Pettis性質(zhì)，但反之不一定成立.根據(jù)引理1.12推論出幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì)與L-Dunford-Pettis性質(zhì)等價(jià)時(shí)的條件.

推論1.13如果一個(gè)Banach格E有L-Dunford-Pettis性質(zhì)，若滿足以下任一條件，則E也具有幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì)：

1）任意Banach空間X，

則稱(chēng)T是幾乎Dunford-Pettis算子［9］.用LaDP（E，F(xiàn)）表示E到F的全體幾乎Dunford-Pettis算子所成的集合.

知道幾乎Dunford-Pettis算子是DPdcc算子，但反之不一定成立，接下來(lái)討論DPdcc算子與幾乎Dunford-Pettis算子的關(guān)系.

定理1.14設(shè)E為一個(gè)Banach格，則以下條件等價(jià)：

定理1.15設(shè)Banach格E有弱序列連續(xù)格運(yùn)算，若E有弱Dunford-Pettis性質(zhì)和Grothendieck性質(zhì)，則E有幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì).

證明設(shè)T：E→X是DPdcc算子，因?yàn)镋有弱Dunford-Pettis性質(zhì)，由定理1.14知T是幾乎Dunford-Pettis算子，又因?yàn)镋有弱序列連續(xù)格運(yùn)算，由文獻(xiàn)［10］的推論2.7，T為Dunford-Pettis算子.因?yàn)閘1不是Grothendieck空間，則E不包含l1的可補(bǔ)同構(gòu)像，由文獻(xiàn)［11］定理2.1，E有RDP性質(zhì)，所以T是弱緊算子，根據(jù)定理1.5得E有幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì).

例如，l∞具有弱序列連續(xù)格運(yùn)算，而且l∞具有弱Dunford-Pettis性質(zhì)和Grothendieck性質(zhì)，所以l∞有幾乎L-Dunford-Pettis性質(zhì).