無限時滯隨機泛函微分方程的一般衰減ψγ-穩(wěn)定性

劉 羽， 李樹勇

（1.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066； 2.綿陽師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，四川 綿陽621000）

隨機泛函微分方程穩(wěn)定性由于在實際應(yīng)用中的重要作用長期被學(xué)者們所關(guān)注，各種穩(wěn)定性，如指數(shù)穩(wěn)定性、多項式穩(wěn)定性、對數(shù)穩(wěn)定性等被提出，相應(yīng)的穩(wěn)定性判定定理被建立［1-5］.針對不同的穩(wěn)定性，Liu［6］提出了ψγ-穩(wěn)定性概念，涵蓋了上述各類穩(wěn)定性，并建立了一系列穩(wěn)定性結(jié)果.Razumikhin方法是一種重要的技巧，在隨機泛函微分方程穩(wěn)定性研究中發(fā)揮了重要的作用.從Mao［4］首先將Razumikhin技巧運用于隨機泛函微分方程建立隨機版本的Razumikhin型穩(wěn)定性定理以來，學(xué)者們運用Razumikhin方法建立了各類隨機泛函微分方程的Razumikhin穩(wěn)定性定理［7-12］.如Liu等［9］運用Razumihin技巧研究具有無窮時滯的隨機泛函微分方程穩(wěn)定性，建立了該系統(tǒng)的Razumikhin型p階矩ψγ穩(wěn)定性定理和a.s.ψγ穩(wěn)定性定理.然而，這些Razumikhin型定理通常是通過標量微分不等式描述的，但是，許多系統(tǒng)是多維的，因此使用分量Lyapunov函數(shù)方法研究隨機微分方程的穩(wěn)定性引起學(xué)者們的關(guān)注［13］，最近Liu［14］利用隨機分析技巧和M矩陣性質(zhì)建立隨機泛函微分系統(tǒng)p階指數(shù)穩(wěn)定的分量Razumikhin型定理.Liu等［15］利用Razumikhin技巧和分量Lyapunov函數(shù)討論隨機泛函微分方程的輸出狀態(tài)穩(wěn)定性，建立該隨機泛函微分方程的Razumikhin型p階矩指數(shù)輸出狀態(tài)穩(wěn)定性定理.受他們思想的啟發(fā)，本文將討論一類具有無限時滯隨機微分方程的具有一般衰減率的穩(wěn)定性問題，利用Razumikhin技巧和分量Lyapunov函數(shù)方法，建立系統(tǒng)具有一般衰減率的p階矩ψγ-穩(wěn)定性和a.s.ψγ-穩(wěn)定性定理，豐富了隨機泛函微分方程穩(wěn)定性的理論.

1 基本準備

設(shè)G為一個向量或矩陣，用G≥0表示G中所有元素非負，G?0表示G中每個元素都為正.此外，記Zn×n＝｛A＝（aij）n×n：aij≤0，i≠j｝.若存在向量x?0，使得矩陣Ax?0，則稱矩陣A∈Zn×n是一個非奇異M-矩陣.記ΩM（A）＝｛x∈Rn｜Ax?0，x?0｝.

2 主要結(jié)論

引理2.1若存在W1，…，Wn∈C1，2（R×Rd；R＋）滿足以下條件：

（i）存在v∈K，使得

與（17）式矛盾.故對任意t≥0，有（12）式成立，得證.

定理2.3假設(shè)引理2.2的條件全部滿足，并且存在常數(shù)C，p＞0，使得

3 例子和數(shù)值模擬

計算可知μ－A是一個非負的M-矩陣，若取α1＝1，α2＝1.2，此時γ2＝0.032.由定理2.3可得，系統(tǒng)（25）的解x（t）是2階矩ψγ-穩(wěn)定的.

例子3.2令t≥0，考慮如下2維非自治系統(tǒng)

計算可知μ－（A＋B）是一個非負的M－矩陣，若取α1＝1，α2＝2，此時γ6＝0.050.

由于W1＋W2≥｜x1｜3或者｜x2｜6，所以由定理2.3知，系統(tǒng)（27）的平凡解關(guān)于x1是3階矩ψγ-穩(wěn)定，x2是6階矩ψγ-穩(wěn)定.