預制圓管頂管允許最大頂力的解析公式及其應用探究

范毅雄

中國市政工程中南設計研究總院有限公司 430010

引言

驗算預制管接頭傳力面所能承受的最大頂力，是頂管設計和施工中的一項重要內(nèi)容。如果頂管管道處于理想的軸心受壓狀態(tài)，其允許最大頂力的計算將是簡單的，但實際施工時管道產(chǎn)生偏轉是不可避免的，另外曲線頂管時管道也會產(chǎn)生偏轉，因此管道接頭傳力面實際上幾乎總是處于偏心受壓狀態(tài)，此時的允許最大頂力計算相對比較復雜。目前我國工程建設協(xié)會頂管規(guī)范《給水排水工程頂管技術規(guī)范》（CECS246：2008）［1］第8.1.1條的允許最大頂力計算公式是參考的美國土木工程師協(xié)會《Standard Practice for Direct Design of Precast Concrete Pipe for Jacking in Trenchless Construction》（ASCE27-00）［2］，其假定條件為：頂力合力偏心，管道接頭傳力面的壓應力呈三角形分布，一側壓應力為零、另一側壓應力最大。在這種特例下，偏壓合力剛好是理想軸壓合力的一半，因此公式中取折減系數(shù)為0.5。但對于其余偏心條件下，例如曲線頂管頂力合力偏心較大使得管道接頭接觸面發(fā)生脫離時的最大允許頂力如何計算，ASCE27-00［2］沒有給出具體的計算公式，中國規(guī)范［1］則只在條文說明中給出了未求解的積分式。本文將推導圓環(huán)截面線性分布壓力的合力及彎矩的解析公式，并探討可用于指導設計和施工的實用計算方法。

1 圓環(huán)截面線性分布壓力的有關解析公式

為推導圓環(huán)截面壓應力線性分布時的解析公式，需要先推導圓盤截面的公式，再以外圓減內(nèi)圓來推導圓環(huán)截面的公式。

1.1 圓盤截面的有關公式

如圖1所示，其中D1為直徑，r為半徑，壓應力線性分布，pmax為應力最大值，pmin為應力最小值，受壓區(qū)高度Z＝λD1，λ為受壓區(qū)間比，是一個無量綱系數(shù)。

圖1 圓盤截面積分計算簡圖Fig.1 Diagram for calculating the integral of disk section

（1）零應力線位于截面內(nèi)，即0≤λ≤1時。

求解并代入r＝D1/2，Z＝λD1，得：

（2）零應力線位于截面外，即1≤λ時。

1.2 圓環(huán)截面的有關公式

利用公式（1）～公式（4），就可以推導出以下公式。

式中：D1為圓環(huán)外徑；λ為受壓區(qū)高度和外徑的比值，β為圓環(huán)內(nèi)徑D0和外徑D1的比值，均為無量綱參數(shù)。合力系數(shù)κ1按表1計算，力矩系數(shù)κ2按表2計算，合力偏心距系數(shù)κ3由κ1、κ2計算。

表1 合力系數(shù)κ1Tab.1 Resultant force coefficient κ1

表2 力矩系數(shù)κ2Tab.2 Moment coefficient κ2

表1、表2中的四種條件對應于壓應力分布情況，如圖2所示。

圖2 圓環(huán)截面積分計算簡圖Fig.2 Diagram for calculating the integral of ring section

需要注意的是，由于計算模型所取的坐標系，推導的公式計算所得κ2為負值，相應的κ3和偏心距也是負值，應用時可視需要改為正值。

2 頂管接頭變形約束條件

為了確定允許最大頂力和管道偏轉角、管線轉彎半徑之間的關系，還需要考慮管道接頭處的變形。

1.頂管接頭全截面受壓

頂管接頭處于全截面受壓時，其受力簡圖如圖3所示；其中α為木墊圈的厚度，D1此處為木墊圈外徑，L為管節(jié)長度，R為管道轉彎半徑，φ為管道接頭偏轉角，t為管壁最薄處厚度，hp為木墊圈寬度，Ep為木墊圈材料彈性模量，Ec為管材彈性模量。

圖3 接頭全截面受壓的計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of full section compression of joint

分別計算兩邊的壓縮變形量（Δα1、Δα2），壓縮變形包括木墊圈的變形（Δαp1、Δαp2）和管道的變形（Δαc1、Δαc2），得到公式（8）。

2.頂管接頭存在脫離區(qū)

圖4 接頭張開的計算簡圖Fig.4 Calculation diagram of joint opening

所以兩種情況下受壓區(qū)間比λ和偏轉角φ之間關系式是統(tǒng)一的，按公式（8）計算。

3 公式應用

以上各變量中管道尺寸由D1和β表示；pmax表示管道接頭截面的最大應力，在計算允許最大頂力時取管材抗壓強度設計值，例如混凝土管取pmax＝fc；管道頂力偏心分別由λ、x0、φ、R這四個變量表示，這四個變量是相互關聯(lián)的，可利用公式（7）～（9）由其中任一個求得其余三個，λ作為基礎變量通過公式（5）和截面壓應力合力相關聯(lián)；另外公式（8）、（9）中的各個變量由管道接頭的構造和材料確定。

3.1 允許最大頂力公式

為方便應用，采用理想軸壓條件下允許最大頂力的折減形式，參考CECS246［1］第8.1.1條的公式，允許最大頂力標準值為：

式中：φ1、φ2、φ3、φ5、γQd、fc同CECS246［1］定義，γQd為頂力分項系數(shù)，fc為混凝土受壓強度設計值，φ1、φ2、φ3、φ5為混凝土管材相關的一系列調(diào)整系數(shù)，其他管材則取相應的另一系列調(diào)整系數(shù)；AP為管道最小有效傳力面面積；κd為偏心折減系數(shù)，由公式（5）可得：

以下討論如何具體應用公式（10）、（11）。

3.2 設計取值

1.直線頂管

公式（10）、（11）是通用的，適用于任意偏心狀態(tài)的頂管，因此如果設計時對直線頂管施工偏心（包括管道接頭偏轉角、頂力合力偏心距）作出合理限制，也可以根據(jù)這個限制值計算相應的允許最大頂力，而不是固定地取折減系數(shù)0.5。

2.曲線頂管

對于曲線頂管，設計時可根據(jù)公式（9）由管線轉彎半徑R求得λ，再利用公式（10）、（11）計算允許最大頂力。

當1＜λ時：κd＝1-1/2λ，計算較簡單。

當0＜λ＜1時，κd的解析公式較復雜，為方便應用，本文根據(jù)解析公式繪制了圖表供查詢。由于κd是λ和β的二元函數(shù)，可以繪制二維函數(shù)的等高線圖如圖5所示。例如取λ＝0.75、β＝0.8，圖中交點處κd＝0.389，和解析公式計算結果0.388765一致。

圖5 折減系數(shù)κd隨λ和β變化的等高線Fig.5 The contour map of Reduction coefficient κd with λ and β

3.3 施工控制

施工控制主要是控制頂力的大小和偏心，或者是已知偏心狀態(tài)求允許最大頂力，或者是已知頂力大小求允許最大偏心。如前所述，表示頂力偏心的四個變量為λ、x0、φ、R，以下分別討論。

1.管道接頭接觸面受壓區(qū)間比

當管道接頭接觸面出現(xiàn)脫離區(qū)域時，可以從管道內(nèi)部直接測得受壓區(qū)間比λ，就可以利用公式（10）、（11）或圖5計算此時的偏心折減系數(shù)κd，進而得到允許最大頂力。

2.頂力合力偏心距

頂管施工時，工作井內(nèi)的主壓千斤頂、工具管后的校正千斤頂以及中繼間處的中繼千斤頂?shù)捻斄Υ笮∈且阎?，可以由此計算得到頂力合力的偏心距x0，從而計算得到合力偏心距系數(shù)κ3，再利用公式（7）計算得到λ，最后由λ計算κd。但公式（7）較復雜，實際應用時可以直接查詢圖6得到。

圖6 折減系數(shù)κd與合力偏心距系數(shù)κ3的關系Fig.6 Relationship of the reduction coefficient κd and the relative eccentricity coefficient κ3

當偏心距小于斷面核半徑，接頭接觸面全截面受壓時，可推導得：κd＝1/［1＋8κ3/（1＋β2）］。

例如β＝0.8、κ3＝0.1時，查圖6得κd＝0.67，由上面的公式計算得κd＝0.672。

當施工頂力已知，需要計算允許最大偏心距時，可采用公式（10）由頂力計算得κd，然后查圖6得κ3，從而算出該頂力作用下的允許最大偏心距。

3.偏轉角和轉彎半徑

已知偏轉角和轉彎半徑求允許最大頂力，采用第3.2節(jié)曲線頂管設計中的方法。

當施工頂力已知，求允許最大偏轉角或允許最小轉彎半徑時，可采用公式（10）由頂力計算得κd，然后查圖5或利用公式（11）求得λ，再利用公式（8）求得允許最大偏轉角，或利用公式（9）求得允許最小轉彎半徑。

3.4 管端彎矩

目前頂管管道設計時，對于管道縱向只驗算了最大頂力；但通過公式（6），還可以計算管道接頭接觸面的偏心荷載對管道端部產(chǎn)生的縱向彎矩作用；雖然遠離端部的管道截面除了承受這個彎矩，還會承受由于管道轉彎引起的管側不平衡土壓力所產(chǎn)生的縱向彎矩；但在端部附近的范圍內(nèi)，這也是頂管管道截面面積相對小的位置，管道承受的縱向彎矩是可以按公式（6）計算的，這樣就可以按偏壓構件進行管道的縱向承載力驗算，或計算管道的縱向鋼筋。

當1＜λ時，κ2＝π（1-β4）/64λ；當0＜λ＜1時，解析公式較復雜，除了按表2計算，也可以查圖7得到。

圖7 彎矩系數(shù)κ2與λ的關系Fig.7 Relationship of the moment coefficient κ2and λ

對于頂管管道縱向彎矩的分布，后續(xù)可作進一步研究。

4 對截面壓應力分布形態(tài)的討論

以上公式全部建立在接頭處壓應力為線性分布的假定之上，這要求管道和墊板材料的彈性模量為常量，而Scherle（1983）［3］通過試驗指出：適合做墊板的松木板和粘合板的彈性模量隨著壓應力增大而線性增大；對于松木，壓應力為20MPa→60MPa時，彈性模量為30MPa→90MPa；對于粘合板，壓應力為0MPa→60MPa時，彈性模量為40MPa→130MPa。這意味著接頭處壓應力分布不是線性的，而可能是二次方分布的。目前ASCE27［2］和CECS246［1］都是采用線性分布模型，而德國規(guī)范《Statische Berechnung von Vortriebsrohren：Arbeitsblatt》DWA-A161［4］要求有木墊板時采用二次方分布，沒有墊板時采用線性分布。

4.1 接頭截面壓應力二次方分布條件下的解析公式

采用第1節(jié)相同的方法可推導解析公式如下，其中各參數(shù)定義和第1節(jié)相同，但以η1、η2、η3分別表示合力系數(shù)、力矩系數(shù)和合力偏心距系數(shù)，η1、η2取值分別見表3、表4。

表3 合力系數(shù)η1Tab.3 Resultant force coefficient η1

表4 力矩系數(shù)η2Tab.4 Moment coefficient η2

4.2 兩種應力分布的對比

限于篇幅，本文僅作簡單對比，結論如下：

（1）對于相同的λ，β在0.5～0.9范圍內(nèi)時，η1約為κ1的60%～70%。

（2）對于相同的λ，當λ＜1時，η2＜κ2；當λ＞1時，η2＞κ2；λ＝1時，η2＝κ2＝-（1-β4）π/64；κ2約在λ＝0.75～0.8時最大，η2在λ＝1時最大。

5 結論

1.基于頂管接頭接觸面壓應力為線性分布的假定，以管道接頭接觸面受壓區(qū)間比和內(nèi)外徑比為基礎變量，可推導頂力合力、力矩和偏心距的解析公式。

2.由頂管接頭的變形約束條件，可推導受壓區(qū)間比基于管道偏轉角、管線轉彎半徑的解析公式，以及頂管接頭允許最大偏轉角。

3.在上面兩步驟的基礎上，就可以基于受壓區(qū)間比、頂力合力偏心距、管道偏轉角、管線轉彎半徑這四個變量之一計算允許最大頂力，或由已知施工頂力計算允許最大偏心距、允許最大偏轉角或允許最小轉彎半徑。

4.為方便應用，根據(jù)解析公式繪制了偏心折減系數(shù)關于受壓區(qū)間比、頂力合力偏心距的圖表供查詢使用。

5.由偏心頂力對管端截面的力矩解析公式，可以對管端截面的縱向承載力進行計算，后續(xù)可根據(jù)管道偏轉時管側土壓分布，對偏心狀態(tài)下管道縱向彎矩分布進行研究。

6.根據(jù)Scherle（1983）［3］的研究，假定頂管接頭接觸面壓應力為二次方分布，本文推導了頂力合力、力矩和偏心距的解析公式。兩種假定條件下的計算結果相差較大，需要后續(xù)作進一步試驗研究確定哪種應力分布模型更符合實際情況。