金剛石套料鉆刀齒表面形貌測量與建模

楊癸庚，馬 靈，李淑娟

(西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，陜西 西安 710048)

隨著光伏光電、半導體集成電路制造等高新技術(shù)制造業(yè)的快速發(fā)展，碳化硅、藍寶石、多晶硅、石英玻璃等材料的應用需求不斷增長。然而，這些材料屬于難加工硬脆材料，具有大模量、高硬度、高強度、高耐磨性等特點，其加工過程需要采用多種金剛石工具，如金剛石線鋸、金剛石砂輪和金剛石套料鉆等[1,2]。金剛石套料鉆加工具有加工效率高、加工質(zhì)量好及機床能耗小等特點，在硬脆材料的大直徑深孔加工[3]及掏棒加工[4]中起著重要作用。

金剛石套料鉆的刀齒表面鑲嵌著大量的超硬金剛石磨粒，磨削加工過程本質(zhì)上是由大量離散分布在刀齒表面的金剛石磨粒同時與被加工材料相互作用來實現(xiàn)材料去除的過程。目前，國內(nèi)外學者重點針對單顆磨粒進行磨削加工機理研究[5-8]。磨粒仿真中通常是根據(jù)磨粒的某一幾何特征或加工特性，采用如球體、圓錐體、球頭圓錐體、多棱錐體[7]等簡化的幾何體來模擬磨粒的形狀。然而，單顆磨粒磨削加工研究只是認識磨削加工機理的第一步，而實際加工中是多顆磨粒同時與工件材料相互作用，磨粒切削刃形狀、尺寸、位置的隨機多樣性等多種因素相互影響，導致單顆磨粒的仿真結(jié)果難以與實際磨削加工過程相符[8]。因此，進一步開展考慮多顆磨粒共同作用的磨削加工過程仿真及磨削加工機理研究具有重要意義。為了保證考慮多顆磨粒共同作用的磨削加工仿真結(jié)果符合實際，必須對磨料磨具的表面形貌進行準確測量與建模[9,10]。

國內(nèi)外學者在磨料磨具表面形貌的三維建模方面已經(jīng)取得了一定的進展[11-15]。Gong等[11]將磨粒簡化為球形，闡述了虛擬砂輪的表面形貌特征，并利用其形貌特征預測了工件的表面粗糙度。Doman等[12]總結(jié)了砂輪的一維、二維和三維數(shù)值模型，提出了砂輪建模的總體框架，以磨粒的隨機分布為基礎，統(tǒng)計并分析了砂輪表面形貌特征。商維等[13]通過測量砂輪表面形貌、簡化磨粒形狀等方法對砂輪的表面特征進行研究，得出了磨粒的凸出高度及間距分布規(guī)律。宿崇等[14]針對磨粒的隨機分布問題提出了虛擬網(wǎng)格法，根據(jù)砂輪表面磨粒的平均分布密度，將表面劃分為規(guī)則的網(wǎng)格，使磨粒在網(wǎng)格內(nèi)隨機分布，既實現(xiàn)了磨粒的隨機分布，又避免了重疊現(xiàn)象的發(fā)生。劉月明[15]運用振動模型方法確定各個磨粒的中心坐標，建立磨粒在空間內(nèi)隨機分布的模型，然后將球形磨粒替換為不規(guī)則六面體模型，再引入修整軌跡函數(shù)施加到砂輪形貌模型中，建立了更符合實際的砂輪表面形貌模型。然而，現(xiàn)有的表面形貌測量與建模研究主要集中于金剛石砂輪。砂輪表面的金剛石磨粒分布雖然具有一定隨機性，但總體分布密度相對均勻，而套料鉆刀齒表面金剛石磨粒分布的隨機性非常強，具有總體分布稀疏、部分區(qū)域分布密集的特點，這導致砂輪的形貌建模方法不能直接應用于金剛石套料鉆。因此，需要針對金剛石套料鉆提出新的表面形貌建模方法。

為了實現(xiàn)金剛石套料鉆刀齒表面形貌的測量與建模，首先，結(jié)合套料鉆刀齒形貌的特點，建立刀齒表面磨粒尺寸、出刃高度與結(jié)合面輪廓面積、出刃角之間的數(shù)學關(guān)系；然后，采用超景深三維顯微系統(tǒng)對實際刀具的表面形貌進行測量，獲得刀齒表面磨粒的形狀、面積密度、粒徑和出刃高度的近似正態(tài)分布規(guī)律；其次，基于測量結(jié)果將磨粒形狀簡化為截角八面體，提出刀齒表面形貌的建模方法；最后，通過虛擬模型與實際刀齒的表面形貌特征數(shù)據(jù)對比，驗證了形貌建模方法的有效性。

1 刀齒表面形貌特征描述

1.1 套料鉆模型

本文研究的金剛石套料鉆如圖1所示，套料刀具的刀頭外徑為132 mm，內(nèi)徑為124 mm；共包含12個刀齒，每個刀齒徑向厚度為4 mm，外徑弧長約為20 mm。該套料鉆可用于粗加工、半精加工的場合，刀齒端面上的磨粒對應的粒度號為70/80和80/100，其尺寸參數(shù)標準可查閱GB/T 6406-2016。

圖1 某金剛石套料鉆實物模型Fig.1 Physical model of a diamond core-drill

1.2 表面形貌特征描述

刀齒表面形貌特征包括磨粒形狀、磨粒分布密度、磨粒尺寸、出刃高度等，結(jié)合實際套料鉆的特點合理地描述其表面形貌特征，為形貌測量實驗和形貌建模提供理論依據(jù)。

1.2.1磨粒形狀

圖1所示套料鉆的金剛石磨粒屬于等積形磨粒[16]，表面以四邊形、六邊形為主。一方面，在描述磨粒分布和計算磨粒尺寸時，可以先將磨粒等效為球體，基于球體模型推導磨粒幾何尺寸之間的關(guān)系；另一方面，考慮到與實際磨粒形狀的吻合性，形貌建模時采用由6個正方形、8個正六邊形組成的截角八面體[17](將正八面體的六個頂點切去得到)來模擬磨粒的形狀，如圖2所示。

圖2 截角八面體磨粒Fig.2 Truncated octahedral abrasive

1.2.2磨粒分布

圖1所示的金剛石套料鉆，其刀齒由金屬粉末和磨粒經(jīng)過配料、混料、預壓、燒結(jié)成型，其中金剛石磨粒的濃度較小，使得在混料過程中磨粒難以攪拌均勻。該制備過程導致刀齒端面的磨粒分布具有如下特點：①磨粒位置分布具有強隨機性；②總體分布較為稀疏，部分區(qū)域分布密集。

1.2.3磨粒尺寸

磨具在加工過程中起磨削作用的是凸出的磨粒，磨粒的形狀、粒徑大小和出刃高度共同決定了磨具的磨削力、加工效率等性能[18]。

實驗測量中，采用顯微鏡觀察和拍攝的刀齒表面的磨粒圖像通常為二維圖像，從圖像上觀察到的是凸出于結(jié)合劑基體表面部分的磨粒輪廓投影圖像，如圖3中紅色線條所示的多邊形，通過實驗測量很容易得到磨粒輪廓投影多邊形的面積。通常，磨粒一半以上的部分位于結(jié)合劑表面之下，因此，磨粒輪廓投影多邊形即為磨粒與基體的結(jié)合面輪廓。

圖3 磨粒輪廓投影圖像Fig.3 Projection image of an abrasive profile

為了得到磨粒的粒徑和出刃高度特征，首先將磨粒等效為球體模型，如圖4所示，基于球體模型推導磨粒粒徑、出刃高度與結(jié)合面輪廓面積之間的關(guān)系。金剛石磨粒等效為球體后，其剖面內(nèi)粒徑與出刃高度的幾何關(guān)系如圖5所示，磨粒粒徑、出刃高度與結(jié)合面輪廓面積之間的關(guān)系為：

圖4 磨粒等效為球體模型Fig.4 Equivalent sphere model of an abrasive

圖5 球體模型剖面內(nèi)粒徑與出刃高度的幾何關(guān)系Fig.5 Geometric relationship between abrasive size and abrasive protrusion height in profile of sphere model

(1)

式中：hg為磨粒出刃高度；dg為磨粒粒徑；OA為磨粒中心距離結(jié)合面的高度；AC為磨粒輪廓截面的等效圓半徑；Sg為磨粒與基體的結(jié)合面輪廓面積，其值等于磨粒輪廓投影多邊形的面積，需要通過實驗測量來確定。

其次，為了進一步分析磨粒出刃角度對磨削性能的影響，將出刃部分等效為圓錐體模型，如圖6所示，由此可得磨粒出刃高度與結(jié)合面輪廓面積和出刃角之間的關(guān)系：

圖6 出刃部分等效為圓錐體模型Fig.6 Equivalent cone model of the cutting edge part

(2)

式中：β為磨粒的出刃角度，出刃角度可取平均值111°[19]。

聯(lián)立式(1)和(2)可得磨粒粒徑：

(3)

綜上，只需通過實驗測量得到Sg，即可由式(2)和(3)計算出hg和dg的大小。

2 刀齒表面形貌測量與分析

通過實驗測量獲取刀齒表面形貌特征，包括磨粒形狀、磨粒分布密度、磨粒尺寸、出刃高度等。一方面，可以驗證第1節(jié)表面形貌特征描述方法的合理性；另一方面，可以為后續(xù)刀齒形貌建模提供輸入?yún)?shù)。

2.1 測量實驗

2.1.1測試設備

采用日本基恩士公司生產(chǎn)的型號為VHX-5000的超景深三維顯微系統(tǒng)來拍攝與收集刀齒表面的形貌圖像信息，如圖7所示。該數(shù)字顯微鏡集觀察、拍攝、測量于一體，操作、觀測方便簡單且速度快，鏡頭放大倍率可調(diào)范圍廣，并且其系統(tǒng)可實時對觀測畫面進行尺寸測量，同時保存測量圖像和測量結(jié)果。

圖7 超景深三維顯微系統(tǒng)Fig.7 Super depth of field 3D microscope system

2.1.2實驗方法

進行測量實驗時，將深孔套料鉆固定于平臺上，調(diào)整儀器的光學鏡頭，使其與刀具的軸線方向平行，然后調(diào)整顯微鏡的鏡頭放大倍數(shù)進行表面形貌觀察和測量，如圖8所示。當顯微鏡鏡頭放大倍數(shù)為20時，拍攝得到的某刀齒表面磨粒的形貌圖像如圖1(b)所示。

圖8 套料鉆刀齒形貌測量實驗系統(tǒng)Fig.8 Experimental system for the surface topography measurement of diamond core-drill

為了更加清晰地顯示刀齒表面磨粒的形狀及尺寸，將顯微鏡鏡頭放大150倍，此時的拍攝范圍為2 340 μm×1 749 μm，圖像畫面正好鋪滿整個顯示器屏幕界面，形貌圖像效果如圖9所示。在顯微鏡鏡頭放大150倍的條件下，針對12個刀齒，每個刀齒拍攝3～5張圖像，一共拍攝50張?；谠?0張圖像，對刀齒表面形貌特征進行統(tǒng)計分析。

圖9 顯微鏡鏡頭放大150倍時的形貌圖像Fig.9 Topography image with microscope lens magnified 150 times

2.2 測量結(jié)果分析

2.2.1磨粒形狀

將形貌圖像中的磨粒進行局部放大，如圖10所示?？傮w上，磨粒的晶形較為規(guī)則，有清晰的晶棱和頂角，晶面較平整，表面以四邊形、六邊形為主，磨粒的形狀與截角八面體較為吻合。

圖10 形貌圖像中的磨粒局部放大Fig.10 Local magnification of the abrasives in topography image

2.2.2磨粒分布

金剛石套料鉆的刀齒端面表面的磨粒分布情況如圖1(b)和圖9所示。可以看出，磨粒位置分布的隨機性很強，分布很不均勻，磨粒總體分布較為稀疏，少部分磨粒存在密集分布的情況。通過對50張形貌圖像進行統(tǒng)計可知，不同區(qū)域的磨粒分布情況存在較大差異。在各個圖像中，磨粒數(shù)目最多為14個，最少為2個，大部分為5～6個，50張圖像共包含251個磨粒。

需要指出的是，磨粒的出刃完整性[16]決定著磨粒是否能夠在實際加工中起到有效的磨削作用。因此，在后續(xù)統(tǒng)計磨粒尺寸和進行形貌建模時，僅考慮出刃完整性較好的磨粒。上述50張圖像中，出刃完整性較好的磨粒數(shù)目為239個?；诖?，刀齒表面磨粒分布的平均面積密度為1.17個/mm2，第3節(jié)將采用該面積密度進行形貌建模。

2.2.3磨粒尺寸

針對50張形貌圖像中出刃完整性較好的239個磨粒，各個磨粒的出刃高度和粒徑值可通過兩種方案得到。方案1：僅測量各個磨粒輪廓投影多邊形的面積；然后，根據(jù)式(2)和(3)計算得到各個磨粒的出刃高度和粒徑值，記為計算值。方案2：直接通過測量得到各個磨粒輪廓投影多邊形的面積和出刃高度的實測值；然后，根據(jù)式(1)得到磨粒的粒徑值，記為磨粒粒徑的實測值。

磨粒出刃高度、粒徑的計算值與實測值的分布情況如表1和表2所示。磨粒出刃高度和粒徑的分布直方圖如圖11所示。根據(jù)分布趨勢可知，磨粒粒徑和出刃高度近似符合正態(tài)分布規(guī)律?；谡龖B(tài)分布函數(shù)對磨粒出刃高度、粒徑的計算值和實測值進行曲線擬合，擬合曲線如圖11所示。磨粒粒徑、出刃高度的取值范圍、均值及標準偏差結(jié)果如表3所示。

表1 出刃高度分布Tab.1 Protrusion height distribution of the abrasives

表2 磨粒粒徑分布Tab.2 Size distribution of the abrasives

圖11 磨粒出刃高度和粒徑的分布直方圖Fig.11 Distribution histograms of protrusion height and abrasive size

表3 計算與實測得到的磨粒粒徑和出刃高度特征量對比Tab.3 Comparison of calculated and measured characteristic values of abrasive particle size and protrusion height

根據(jù)測量結(jié)果可知，磨粒粒徑取值范圍的計算值與實測值分別為152～263 μm和152～251 μm，其相對誤差為12.1%。圖1所示的套料鉆刀齒上的磨粒對應的粒度號為70/80和80/100，根據(jù)參數(shù)標準，這兩種磨粒的粒徑取值范圍為100.2～252.4 μm。所有磨粒粒徑的實測值均滿足標準范圍，而計算值中滿足標準范圍的磨粒也占到了98.7%，只有3個磨粒(1.3%)的粒徑計算值稍微超出了標準范圍，這表明方案1的結(jié)果是合理有效的。

磨粒粒徑均值、標準偏差的計算值與實測值之間的相對誤差分別為2.0%和2.7%，出刃高度均值、標準偏差的計算值與實測值之間的相對誤差分別為2.4%和3.8%。結(jié)果表明，根據(jù)式(2)和(3)得到的磨粒出刃高度和粒徑的計算值與實測值之間的相對誤差較小，說明計算值是正確有效的。因此，相較于方案2，方案1可以減小測量工作量。

3 刀齒表面形貌建模

3.1 建模方法

根據(jù)1.2節(jié)和2.2節(jié)的分析與測量可知，套料鉆刀齒中的磨?？梢越坪喕癁閳D2所示的截角八面體，并作如下設定：①截角八面體的正方形與六邊形的邊長相等；②截角八面體的最長體對角線作為其直徑。

刀齒表面的形貌特征包括磨粒形狀、粒徑、出刃高度、磨粒分布面積密度等特征信息，這些特征均具有隨機性。為了建立同實際刀齒表面微觀形貌具有相同統(tǒng)計規(guī)律的三維模型，基于Monte-Carlo原理[20]，按照正態(tài)分布規(guī)律生成表面形貌的三維模型。圖12為刀齒表面形貌的建模流程圖，具體分為四個步驟。

圖12 刀齒表面形貌建模流程圖Fig.12 Flow chart for the modeling of diamond core-drill tool tooth surface

1)設定模型的基本參數(shù)，包含：刀齒模型的尺寸參數(shù)Xt×Yt×Zt，刀齒端面Xt×Yt區(qū)域內(nèi)磨粒分布的面積密度值，以及實驗測得的磨粒粒徑分布的均值μd、標準偏差σd和出刃高度的均值μh、標準偏差σh。

2)基于Monte-Carlo方法，按照正態(tài)分布N(μd,σd)和N(μh,σh)分別隨機產(chǎn)生磨粒粒徑向量dg=(dg1,dg2,…,dgn)T和出刃高度向量hg=(hg1,hg2,…,hgn)T。

3)確定各個磨粒的中心位置坐標，任意磨粒i的中心坐標可表示為(xi,yi,zi)；磨粒i的中心坐標(xi,yi)在Xt×Yt區(qū)域內(nèi)隨機產(chǎn)生，需滿足xi、yi的取值范圍分別為[dgi/2，Xt-dgi/2]、[dgi/2，Yt-dgi/2]；磨粒中心坐標zi的取值與出刃高度相關(guān)，磨粒中心點與出刃高度之間的幾何關(guān)系如圖13所示，由此可得：

圖13 磨粒中心點與出刃高度之間的幾何關(guān)系Fig.13 Geometric relationship between abrasive center and abrasive protrusion height

zi=Zt+hgi-dgi/2

(4)

式中：hgi、dgi分別為磨粒i的出刃高度、粒徑。

在確定磨粒i(i≥2)的中心位置時，為了避免磨粒之間相互嵌入，需要判斷磨粒i與已經(jīng)生成的i-1個磨粒的中心之間的距離，即：

(5)

式中：Lij(j=1～i-1)為磨粒i與磨粒j的中心之間的距離；dgi和dgj分別磨粒i與磨粒j的粒徑。

4)對各個磨粒進行姿態(tài)變換。磨粒的空間分布包括空間位置和姿態(tài)兩個特征，同一顆磨粒即使中心位置一樣，磨粒姿態(tài)的不同也會影響其磨削性能，同一磨粒的不同姿態(tài)如圖14所示。

圖14 同一磨粒的不同姿態(tài)Fig.14 Different postures of the same abrasive particle

令任意磨粒i(i=1～n)相對于自身中心位置做旋轉(zhuǎn)變換，其繞X、Y、Z三個坐標軸旋轉(zhuǎn)的角度可表示為(αi,βi,γi)。其中，αi、βi和γi在[0，π]內(nèi)隨機取值。

綜上，n顆磨粒的位姿參數(shù)矩陣可表示為：

(6)

3.2 結(jié)果分析

圖1所示的套料鉆刀頭包含12個刀齒，忽略每個刀齒的曲面形狀，每個刀齒均可看作20 mm×4 mm×0.5 mm的長方體。因此，刀齒模型的尺寸參數(shù)為Xt=20 mm、Yt=4mm、Zt=0.5 mm。根據(jù)2.2節(jié)的實驗測量可得，刀齒表面磨粒的面積密度為1.17個/mm2，磨粒粒徑分布的均值和標準偏差分別為203 μm和21.8 μm，出刃高度的均值和標準偏差分別為50.5 μm和5.4 μm。

采用3.1節(jié)的形貌建模方法，建立套料鉆12個刀齒的三維形貌虛擬模型，進而得到金剛石套料鉆刀頭的整體三維模型，如圖15所示。隨機選取其中的5個刀齒，其表面形貌模型如圖16所示。對比圖16與圖1(b)可知，虛擬模型中的磨粒分布特點與實際刀齒基本一致，磨粒分布隨機性很強，總體分布較為稀疏，部分磨粒集中分布。

圖15 金剛石套料鉆刀頭整體三維模型Fig.15 Overall 3D model of the diamond core-drill

圖16 隨機選取的5個刀齒的形貌模型Fig.16 Topography model of five randomly selected cutter tooth

為了便于與實物模型對比，分別于圖16的5個刀齒形貌模型中各截取10個大小為2 340 μm×1 749 μm的矩形區(qū)域，截取方法如圖17所示。一共可得到50個矩形區(qū)域(與實驗測量的50張形貌圖像的覆蓋區(qū)域面積一致)，共有255顆磨粒。統(tǒng)計該255顆磨粒的粒徑和出刃高度可知，粒徑和出刃高度值基本上服從正態(tài)分布規(guī)律，如圖18所示。磨粒粒徑分布的均值和標準偏差分別為204 μm和22.2 μm，出刃高度的均值和標準偏差分別為52.3 μm和6.2 μm。

圖17 在刀齒表面等間隔地選取10個矩形區(qū)域Fig.17 Selection of 10 rectangular areas at equal intervals on the cutter tooth

圖18 虛擬模型與實物模型的表面形貌特征對比Fig.18 Comparison of surface topographies between virtual model and physical model

虛擬模型與實物模型中，磨粒分布面積密度、粒徑及出刃高度的數(shù)據(jù)對比如表4所示。在相同的測量區(qū)域內(nèi)，虛擬模型與實物模型磨粒分布面積密度的相對誤差為6.7%，磨粒粒徑分布的均值、標準偏差的相對誤差分別為0.49%和1.8%，出刃高度的均值、標準偏差的相對誤差分別為3.6%和11.1%。結(jié)果表明，虛擬模型與實物模型的表面形貌特征數(shù)據(jù)相對誤差較小，說明虛擬模型與實際刀齒的表面形貌較為一致，建模方法合理有效。本研究可為考慮多顆磨粒共同作用的金剛石套料加工過程仿真和加工機理研究奠定基礎。

4 結(jié) 論

本文提出了一種金剛石套料鉆的刀齒表面形貌測量與建模方法，通過對實際刀具的表面形貌進行測量，獲得了刀齒表面磨粒的形狀、面積密度、粒徑和出刃高度的分布規(guī)律，并基于測量結(jié)果將磨粒形狀簡化為截角八面體，提出了刀齒表面形貌的建模方法。

1)金剛石套料鉆刀齒表面磨粒分布具有總體分布稀疏、部分區(qū)域分布密集的特點，磨粒粒徑和出刃高度值近似服從正態(tài)分布規(guī)律。

2)磨粒出刃高度的計算值與實測值對比表明，只需通過實驗測量得到結(jié)合面輪廓面積，即可通過理論公式計算得出磨粒出刃高度的大小，該方法可以減少測量工作量。

3)虛擬模型與實際刀齒的表面形貌特征一致性較好，基于截角八面體的刀齒表面形貌建模方法合理有效，可為考慮多顆磨粒共同作用的金剛石套料加工過程仿真和加工機理研究奠定基礎。