如何從多個(gè)角度尋找解三角函數(shù)求值題的思路

熊芮 陳豫眉

對于同一道數(shù)學(xué)問題，我們從不同的角度進(jìn)行思考，往往能得到多種不同的解題方案.這樣不僅能拓寬解題的思路，還有助于培養(yǎng)發(fā)散性思維能力.因此開展“一題多解”訓(xùn)練是很有必要的.筆者以一道教材中的習(xí)題為例，談一談如何從多個(gè)角度尋找解答三角函數(shù)求值問題的思路和方法.

一、原題呈現(xiàn)

人教版高中數(shù)學(xué)必修四（B版）第三章的本章小結(jié)“自測與評估”板塊的第4題：

該三角函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)了正弦和余弦，含有一次、二次式，且20與80之間沒有關(guān)聯(lián)，題目較為復(fù)雜.但是此題的切入點(diǎn)較多，如特殊角、二倍角公式、對偶式、正余弦定理、變量代換等.我們可以從這5個(gè)角度進(jìn)行思考，尋找解題的思路.

二、解法探尋

思路1：借助特殊角的三角函數(shù)值來求解

三角函數(shù)中有很多的特殊角，如0、30、45、60、90、120、180、270等，它們的三角函數(shù)值都是我們熟知的，因此在解答三角函數(shù)求值問題時(shí)，我們可以通過拼湊，將非特殊的角轉(zhuǎn)化為特殊角，然后借助特殊角的三角函數(shù)值來求得三角函數(shù)式的值.對于本題，我們可以將80拆分為60和20，借助60的三角函數(shù)值來化簡三角函數(shù)式，求得目標(biāo)式的值.

此解題思路中運(yùn)用了化歸的思想，將未知的角化為已知的角，將所需要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題或容易解決的問題來求解.

思路2：運(yùn)用降冪公式求解

當(dāng)函數(shù)式中含有次數(shù)不一的式子時(shí)，我們可以運(yùn)用降冪公式，將高次的式子轉(zhuǎn)換為低次的式子，以便使函數(shù)式中的次數(shù)保持一致，這樣方便利用一些相關(guān)的公式來化簡三角函數(shù)式，求得函數(shù)式的值.而常用到的降冪公式一般是指正弦、余弦、正切的二倍角公式的變形式：、、.本題中的三角函數(shù)式中既含有二次式又含有一次式，需首先使用降冪公式、，將二次式轉(zhuǎn)化為一次式.再利用和差化積公式以及積化和差公式，將三角函數(shù)式化簡，從而求得函數(shù)式的值.

思路3：利用對偶式求解

對偶式是指結(jié)構(gòu)形式一致、運(yùn)算順序不變的兩個(gè)式子.在求三角函數(shù)式的值時(shí)，我們可根據(jù)三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)、形式構(gòu)造出對偶式，然后進(jìn)行整體代換、變形，構(gòu)造出滿足公式應(yīng)用條件的式子，借助公式來求得三角函數(shù)式的值.對于本題，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)成對出現(xiàn)，我們可以根據(jù)三角函數(shù)中的重要關(guān)系式，構(gòu)造出對偶式，通過整體配對、整合，便可求得問題的答案.

解：

思路4：借助正余弦定理來求解

解：

我們從5種角度出發(fā)，得到了5種不同的解題思路.當(dāng)然，解答此題的思路還不止這些，有興趣的讀者可以自己嘗試尋找新的解題思路.相比較而言，思路1和思路2是同學(xué)們比較熟悉的、用得較多的;思路3的應(yīng)用范圍較窄;思路4和5較為靈活.在解題的過程中，同學(xué)們可以根據(jù)自己熟悉的知識和解題需求選擇合適的思路來解題.

（作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 西華師范大學(xué)公共數(shù)學(xué)學(xué)院）