基于正則化模型的RLS算法改進(jìn)

孫 帥，劉子龍，萬(wàn) 偉

(上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上海 200082)

在利用生物雷達(dá)進(jìn)行生命體征監(jiān)測(cè)的過(guò)程中，外界環(huán)境干擾及待檢測(cè)目標(biāo)自身的一些活動(dòng)會(huì)影響監(jiān)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。由于目前無(wú)法提前了解外界環(huán)境中各種復(fù)雜干擾信號(hào)的特性以及隨時(shí)間推移而產(chǎn)生的變化規(guī)律，因此在復(fù)雜的外界情況下，僅通過(guò)傳統(tǒng)固定系數(shù)的過(guò)濾系統(tǒng)已無(wú)法獲得理想的過(guò)濾效果[1]。

依據(jù)自適應(yīng)原理可以對(duì)濾波參數(shù)進(jìn)行調(diào)試，使自適應(yīng)系統(tǒng)能夠完成對(duì)實(shí)變信號(hào)的濾除[2]。自適應(yīng)算法在收斂速度、穩(wěn)態(tài)失調(diào)、算法復(fù)雜度等方面各有不同。自適應(yīng)算法的優(yōu)點(diǎn)是在處理實(shí)變信號(hào)時(shí)仍可以保持較為理想的輸出信號(hào)，且能夠有效減少因系統(tǒng)本身計(jì)算產(chǎn)生的誤差；其不足之處在于穩(wěn)定性以及收斂速度不夠理想。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出了一種改進(jìn)算法：基于正則化模型增加改進(jìn)函數(shù)使遺忘因子增加可變性，并改進(jìn)自相關(guān)矩陣逆矩陣方程[3]，從而提高算法收斂速度、跟蹤能力以及穩(wěn)定性。

1 RLS算法

20世紀(jì)60年代，為了解決旁瓣干擾的問(wèn)題，研究人員提出了最初的最小均方算法(Least Mean Square，LMS)模型[4]。隨著研究的不斷深入，在LMS算法模型的基礎(chǔ)上又演變出遞推最小二乘算法(Recursive Least Square，RLS)[5]。

RLS算法的改進(jìn)之處在于可在待測(cè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度不斷變化的情況下求均方誤差，而且根據(jù)時(shí)間先后分別乘了加權(quán)因子[6]。因此，可得該算法的均方誤差為

(1)

式中，β(k,n)是加權(quán)因子，滿(mǎn)足0<β(k,n)<1。經(jīng)過(guò)n次迭代，以前的數(shù)據(jù)可以忽略。當(dāng)環(huán)境中雜波信號(hào)不穩(wěn)定時(shí)，待測(cè)數(shù)據(jù)可能仍會(huì)遵從之前的特性。

通常情況下，遺忘因子為指數(shù)加權(quán)因子的形式，即

β(k,n)=αk-n,n=1,2,…,k

(2)

式中，α是一個(gè)接近1但小于1的數(shù)。均方誤差的表達(dá)式為

(3)

當(dāng)ξ(k)為最小時(shí)，有以下關(guān)系

R(k)×w(k)=p(k)

(4)

式中，R(k)與p(k)定義如下式所示。

(5)

(6)

基于上述理論分析，能夠得出RLS算法通過(guò)對(duì)獲得信號(hào)自相關(guān)矩陣的逆矩陣進(jìn)行特殊的處理，可以有效解決LMS算法缺點(diǎn)帶來(lái)的影響。與LMS算法相比，RLS算法在收斂速度和跟蹤能力上都有所提升[7]。但是，通常情況下RLS算法的遺忘因子是不變的，因此系統(tǒng)無(wú)法在跟蹤速度和穩(wěn)定誤差兩方面同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。而且當(dāng)參數(shù)估值約等于實(shí)際值時(shí)，卡爾曼增益向量無(wú)限趨于0，此時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)喪失跟蹤能力[8]。

2 基于正則化模型的RLS算法改進(jìn)

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種基于正則化模型的改進(jìn)算法。該算法基于正則化模型增加改進(jìn)函數(shù)使遺忘因子增加可變性，并且改進(jìn)自相關(guān)矩陣逆矩陣方程[9]，最終在收斂速度、跟蹤能力、穩(wěn)定性等方面得到了較好的提升。

2.1 正則化模型

針對(duì)此模型，用x(n)表示信號(hào)，其中1

(7)

TV(x)還可表示為T(mén)V(x)=‖Dx‖，其中D為N×(N+1)的矩陣。

(8)

不含雜波的原始信號(hào)表示為x(n)，含有雜波的信號(hào)用y(n)，即

y(n)=x(n)+ε(n)

(9)

式中，ε(n)為高斯噪聲。

與其他降噪方式不同，依據(jù)總變分正則化模型的方式，可以通過(guò)增加相關(guān)限制條件將雜波信號(hào)降噪為原始信號(hào)，且能夠保證降噪效果存在且唯一，可以有效減少雜波的干擾[10]。根據(jù)已有的模型可以將雜波消除轉(zhuǎn)化成求解目標(biāo)函數(shù)最小化的方式，其中目標(biāo)函數(shù)定義為

(10)

式中，λ為正則化參數(shù)。可通過(guò)改變?chǔ)说拇笮?lái)控制權(quán)重。

2.2 算法改進(jìn)

帶改進(jìn)因子的RLS算法可以表示為

J(n)=∑λn-ie2(i)

(11)

式中，i=1,2,…,n；λ為改進(jìn)因子，并且滿(mǎn)足0<λ<1。

算法如下

e(n)=d(n)-xT(n)w(n-1)

(12)

(13)

w(n)=w(n-1)+k(n)e(n)

(14)

(15)

λ(n)=λmin+(1-λmin)2L(n)

(16)

L(n)=-round[μe2(n)]

(17)

式中，x(n)表示n時(shí)刻的輸入信號(hào)矢量；w(n)表示n時(shí)刻的權(quán)矢量；d(n)為n時(shí)刻的期望輸出信號(hào)；e(n)為先驗(yàn)誤差；k(n)為卡爾曼增益矢量；p(n)為n時(shí)刻的輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的逆矩陣；λ(n)表示n時(shí)刻的遺忘因子；round表示最接近μe2(n)的整數(shù)。

當(dāng)誤差變小時(shí)，λ(n)就接近1，使參數(shù)的誤差減小；反之當(dāng)誤差變大時(shí)，λ(n)就變小至最小值λmin，這樣可以加強(qiáng)系統(tǒng)跟蹤能力[11]。

由以上的算法基礎(chǔ)能夠推演出新的降噪算法，詳細(xì)過(guò)程如下：含有雜波的信號(hào)記為y(n)，原始不含雜波的信號(hào)記為x(n)。根據(jù)以上算法可知，可以將求取最初的原始信號(hào)轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)最小值問(wèn)題[12]。

(18)

式(18)中的目標(biāo)函數(shù)J(x)可轉(zhuǎn)化為

(19)

(20)

若要求得目標(biāo)函數(shù)式(20)最小向量x,可以通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)

(21)

求解式(21)的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為

(22)

由于F(x,z)在x方向?yàn)橥沟?，在z方向是凹的，根據(jù)極值的特性，能夠調(diào)換最值的順序

(23)

對(duì)F(x,z)關(guān)于x求導(dǎo)可得

(24)

將上式代入式(22)中得

(25)

可以轉(zhuǎn)化為等價(jià)的求解最小化問(wèn)題。

(26)

式(25)是一個(gè)具有不等式約束的條件極值，通過(guò)常規(guī)的方式不便于求解。本文通過(guò)最小化方法進(jìn)行求解，令

(27)

G(z,z(i))=F(z)+(z-z(i))T(αI-DDT)(z-z(i))

(28)

式中，z(0)為初始向量，取參數(shù)α不小于DDT最大特征值[13]。則(z-z(i))T(αi-DDT)(z-z(i))是一正定或半正定二次型，因此有：

(1)對(duì)任意的z有G(z,z(i))>F(z)；

(2)在z(i)處，G(z(i),z(i))=F(z(i)),求G(z,z(i))的最小值，記為z(i+1)。

3 實(shí)驗(yàn)與仿真

為了驗(yàn)證RLS改進(jìn)算法雜波濾除的效果，本文將對(duì)采集到的呼吸信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，采用高斯噪聲進(jìn)行仿真驗(yàn)證。圖1為采集到的正常人體呼吸信號(hào)波形圖，圖2是高斯噪聲，圖3為人體呼吸信號(hào)和高斯噪聲的疊加信號(hào)。

圖1 呼吸信號(hào)圖Figure 1. Respiration signal diagram

圖2 噪聲波形圖Figure 2. Noise waveforms

圖3 呼吸信號(hào)與高斯噪聲混迭信號(hào)Figure 3. Respiratory signal and Gaussian noise mixed signal

3.1 LMS與RLS對(duì)比實(shí)驗(yàn)

圖4 基于LMS算法的誤差曲線(xiàn)Figure 4. Error curve based on LMS algorithm

圖5 基于RLS算法的誤差曲線(xiàn)Figure 5. Error curve based on RLS algorithm

通過(guò)對(duì)比圖4和圖5能夠明顯看出，基于RLS算法的自適應(yīng)過(guò)濾系統(tǒng)在信號(hào)迭代過(guò)程中形成的誤差小于基于LMS算法所形成的誤差。根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證可知，基于RLS算法的自適應(yīng)過(guò)濾系統(tǒng)在信號(hào)濾除的過(guò)程中收斂速度較快，而且精度高、穩(wěn)定性強(qiáng)，能夠有效地對(duì)雜波信號(hào)進(jìn)行濾除，對(duì)于不穩(wěn)定的信號(hào)仍能達(dá)到較為理想的效果[14]。而基于LMS算法的自適應(yīng)過(guò)濾系統(tǒng)在信號(hào)濾除的過(guò)程中收斂速度則較為緩慢，計(jì)算精度不夠且穩(wěn)定性差。

3.2 RLS算法改進(jìn)前后對(duì)比實(shí)驗(yàn)

本文提出改進(jìn)函數(shù)的方法：引入?yún)?shù)r改善函數(shù)形狀，s控制參數(shù)范圍。常數(shù)t和s控制函數(shù)的取值范圍，常數(shù)v與常數(shù)r控制改進(jìn)函數(shù)收斂速度快慢。

圖6為常數(shù)v分別取12、16、20時(shí)，λ(n)與e(n)的關(guān)系曲線(xiàn)圖。圖7為常數(shù)r分別取2、20、200和2 000時(shí)，λ(n)與e(n)的關(guān)系曲線(xiàn)圖。λ(n)表示n時(shí)刻的遺忘因子，e(n)為先驗(yàn)誤差。

圖6 v變化時(shí)λ(n)與e(n)的關(guān)系曲線(xiàn)圖Figure 6. The relationship between λ(n) and e(n) when v changes

綜合兩圖可知，常數(shù)v對(duì)收斂速度產(chǎn)生了關(guān)鍵影響[12]，而r則對(duì)改進(jìn)函數(shù)產(chǎn)生主要影響，對(duì)收斂速度也有相應(yīng)的影響。若要獲得理想的收斂速度和跟蹤能力，需要增大v值，減小r值；若要獲得理想的穩(wěn)態(tài)誤差，需減小v值，增大r值[15]。

圖7 r變化時(shí)λ(n)與e(n)的關(guān)系曲線(xiàn)圖Figure 7. The relationship between λ(n) and e(n) when r changes

常數(shù)t和s可以控制改進(jìn)函數(shù)的取值范圍。當(dāng)|e(n)|趨近于較大值，例如1時(shí)，λ(n)趨近于s；當(dāng)|e(n)|為0時(shí)，λ(n)=s+t，即s<λ(n)

圖8 遺傳因子改進(jìn)前后對(duì)比圖Figure 8. Comparison chart before and after genetic factor improvement

圖8中，改進(jìn)的遺忘因子參數(shù)為v=20，t=0.1，s=0.6，r=200；基本改進(jìn)遺忘因子參數(shù)選取μ=12；遺忘因子最小取值均為λmin=0.6。在初始階段或者系統(tǒng)發(fā)生突變的情況下，λ(n)迅速下降，從而獲得理想的收斂速度和跟蹤速度。在系統(tǒng)進(jìn)入平穩(wěn)狀態(tài)后，λ(n)保持不變，來(lái)調(diào)整穩(wěn)態(tài)誤差較小的情況[16-17]。

4 結(jié)束語(yǔ)

LMS算法在穩(wěn)定的環(huán)境中有著較好的收斂效果，算法的復(fù)雜度較低，能夠在有限精度的情況下實(shí)現(xiàn)理想的雜波濾除效果。在求均方誤差時(shí)，RLS算法待測(cè)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度是實(shí)時(shí)變化的。本文提出的改進(jìn)算法通過(guò)增加改進(jìn)函數(shù)使改進(jìn)因子增加可變性，并改進(jìn)了自相關(guān)矩陣逆矩陣方程，有效地改善了算法的收斂速度、跟蹤能力和穩(wěn)定性。本文實(shí)驗(yàn)采用的是理想狀況下的輸入信號(hào)，然而在實(shí)際應(yīng)用中，外界環(huán)境的干擾復(fù)雜多變。在輸入信號(hào)含有多種干擾的情況下，本文所提算法在收斂速度、跟蹤能力、穩(wěn)定性方面的效果會(huì)有所降低。此外，本文所提算法的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)過(guò)濾效果欠佳。因此，在今后的研究中，將重點(diǎn)改進(jìn)算法的動(dòng)態(tài)過(guò)濾效果，以使該算法在實(shí)際工程中得到更加廣泛的應(yīng)用。