溫度場(chǎng)下多跨輸流管道共振可靠性及變量重要性測(cè)度分析

吳楠, 郭慶, 仝國(guó)軍, 劉永壽

(西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 陜西 西安 710072)

管道作為氣液輸運(yùn)與儲(chǔ)存的重要載體，在航空航天、能源、生物等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在設(shè)計(jì)、制造、組裝、服役等全壽命周期內(nèi)，管道結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性大量存在，進(jìn)而導(dǎo)致管道固有頻率的不確定性。此外，輸流管道蘊(yùn)含豐富的流固耦合作用，會(huì)進(jìn)一步加劇管道固有頻率的不確定性。而當(dāng)固有頻率與激振力頻率接近到一定程度會(huì)引發(fā)共振失效問(wèn)題。因此，對(duì)輸流管道開(kāi)展防共振可靠性和重要性測(cè)度分析是很必要的。

國(guó)內(nèi)外關(guān)于工程結(jié)構(gòu)面臨的防共振失效問(wèn)題開(kāi)展了大量的研究。Zhai等[1]采用精細(xì)響應(yīng)面法對(duì)輸流管道開(kāi)展了共振和動(dòng)力可靠性分析，并根據(jù)結(jié)果對(duì)輸流管道結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。Guo等[2]對(duì)多跨功能梯度輸流管道進(jìn)行了共振可靠性和全局靈敏度分析，并引入了主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging模型提高計(jì)算效率。張屹尚等[3]采用Kriging模型分析了充液管道非概率共振可靠性問(wèn)題。韓濤等[4]采用直曲組集方法針對(duì)復(fù)雜液壓管路實(shí)現(xiàn)了高效建模與模態(tài)分析，分析了管道布局對(duì)固有頻率的影響。Ritto等[5]建立了一種考慮建模誤差的流固耦合概率模型，并將其應(yīng)用于輸流管道振動(dòng)分析，通過(guò)隨機(jī)特征值分析得到了相關(guān)顫振現(xiàn)象。

為研究隨機(jī)變量對(duì)系統(tǒng)共振失效概率的影響程度，開(kāi)展變量重要性測(cè)度分析是必要的。由于輸流管道涉及到多階共振失效，即需要考慮多輸出響應(yīng)，需對(duì)多輸出響應(yīng)整體進(jìn)行變量重要性測(cè)度分析。徐立揚(yáng)等[6]提出了基于譜分解加權(quán)摩爾彭羅斯馬氏距離的多輸出響應(yīng)重要性測(cè)度方法。石巖等[7]采用包絡(luò)函數(shù)法將時(shí)空動(dòng)態(tài)可靠性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了可靠性及重要性測(cè)度的高效分析。任超和李洪雙[8]采用交叉熵方法提出了一種基于失效概率的全局重要性測(cè)度分析方法。Wei等[9]提出了一對(duì)模式重要性測(cè)度指標(biāo)，可有效分析各失效模式對(duì)系統(tǒng)失效概率和可靠度的影響程度。

本文將動(dòng)剛度法與ALK方法相結(jié)合，采用前者進(jìn)行溫度場(chǎng)下多跨輸流管道固有頻率的計(jì)算，再采用ALK方法計(jì)算不確定性參數(shù)影響下的多階共振失效概率，并分別計(jì)算不同流速、壓強(qiáng)和溫度效應(yīng)下共振失效概率的大小，分析不同工況對(duì)管道共振失效概率的影響規(guī)律，為輸流管道的防共振設(shè)計(jì)提供參考。

1 輸流管道模態(tài)求解

嵌入溫度變化矩陣的多跨輸流管道模型如圖1所示。 管道長(zhǎng)度為L(zhǎng)1+L2,U表示流速,Ri和Ro分別代表管道內(nèi)徑和外徑。根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論,內(nèi)嵌溫度變化矩陣的多跨管道的振動(dòng)控制方程為[10]

圖1 嵌入溫度變化矩陣多跨輸流管道模型

(1)

式中：w是管道的橫向位移；mp是單位長(zhǎng)度管道質(zhì)量；Nx是管道軸向力;t是時(shí)間。

(2)

式中：Q,M和KW分別是剪切力,彎矩和溫度變化剛度；(EI)是彎曲剛度；KW0是初始溫度變化剛度；a是溫度變化系數(shù)；ΔT表示溫度變化值。

Fw由離心力,科氏力和慣性力組成,即

(3)

式中,Mf是管道中單位長(zhǎng)度流體的質(zhì)量。

式中：Nm是由內(nèi)部流體壓強(qiáng)造成的附加軸向力；NT是由溫度變化導(dǎo)致的軸向力；p和Af分別是流體壓強(qiáng)和流體截面積。

將方程(2)～(6)代入方程(1),振動(dòng)控制方程可重寫(xiě)為

(7)

采用動(dòng)剛度法[11]求解管道固有頻率。假設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為

w(x,t)=W(x)eiωt

(8)

式中：W(x)表示橫向位移在頻域內(nèi)的設(shè)解；ω表示固有圓頻率；i為虛數(shù)單位。

將通解代入方程(7),得到頻域內(nèi)的振動(dòng)方程

(9)

進(jìn)一步地將位移在頻域內(nèi)的解設(shè)為

W(x)=ceikx

(10)

式中：c表示待定常數(shù)；k表示波數(shù)。

將方程(10)代入散射方程(9)得到

(11)

式中,α表示結(jié)構(gòu)內(nèi)阻損耗因子。

根據(jù)以上方程,可知波數(shù)k有4個(gè)解,則位移在頻域內(nèi)的解可以設(shè)為

(12)

管道的轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力在頻域內(nèi)的解為

多跨管道的第m跨單元節(jié)點(diǎn)位移如圖2所示。

節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)自由度的關(guān)系為[12]

式中：lm表示第m跨管道單元的長(zhǎng)度；下標(biāo)l和r分別表示單元的左端和右端。

為了得到第m跨單元的動(dòng)剛度矩陣,單元的節(jié)點(diǎn)位移在局部坐標(biāo)系里為

(18)

式中,λj=ikj(j=1,2,3,4)。

將(18)式寫(xiě)成矩陣向量形式為

Wm=Ym(ω)wm

(19)

式中,Wm,Ym和wm分別表示位移向量、系數(shù)矩陣和系數(shù)向量。

那么,第m跨單元的節(jié)點(diǎn)力向量為

(20)

相應(yīng)地,(20)式的矩陣向量形式為

Fm=Πm(ω)wm

(21)

式中：Πm(ω)表示系數(shù)矩陣；Fm表示節(jié)點(diǎn)力矩陣。

則第m跨單元的節(jié)點(diǎn)力向量和節(jié)點(diǎn)位移向量間的關(guān)系為

Fm=Km(ω)wm

(22)

式中：Km表示第m跨單元的動(dòng)剛度矩陣,

Km(ω)=Πm(ω)Ym(ω)-1。

根據(jù)以上方法可以建立其他各跨的動(dòng)剛度矩陣,進(jìn)而參考有限元法進(jìn)行單元?jiǎng)觿偠染仃嚱M裝,構(gòu)建多跨輸流管道在全局坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系為

Kg(ω)Wg=Fg

(23)

式中，Kg,Wg和Fg分別表示全局坐標(biāo)系下的動(dòng)剛度矩陣、位移向量和節(jié)點(diǎn)力向量。

方程(23)取得非零解的充要條件為系數(shù)矩陣行列式為零,即

h(ω)=det[Kcg]=0

(24)

通過(guò)(24)式可以求出多跨輸流管道的固有頻率。

2 共振可靠性與重要性分析

假設(shè)結(jié)構(gòu)固有頻率為R,激振力頻率為S,一般認(rèn)為當(dāng)固有頻率和激振力頻率接近到一定程度時(shí),結(jié)構(gòu)會(huì)因共振而造成破壞。首先考慮一階共振失效的情況,用Z1來(lái)表示固有頻率和激振力頻率的接近程度,則Z1的表達(dá)式為

(25)

式中：R1表示一階固有頻率；X表示隨機(jī)輸入變量；X={x1,x2,…,xn}(n為變量維數(shù))。

假設(shè)發(fā)生共振失效的閾值為q,那么一階共振可靠性的功能函數(shù)g1(X)為

g1(X)=Z1(X)-q

(26)

進(jìn)一步考慮激振力頻率的寬頻特性,可能導(dǎo)致多階固有頻率發(fā)生共振,將g1進(jìn)行推廣。假設(shè)第jj階共振可靠性的功能函數(shù)gjj(X)為

gjj(X)=Zjj(X)-q

(27)

易知,任意一階固有頻率發(fā)生共振失效均代表結(jié)構(gòu)整體失效,即gjj之間是邏輯“或”的關(guān)系,因此建立多階共振失效下的系統(tǒng)功能函數(shù)g(X)為

(28)

共振失效概率Pf為

(29)

基于可靠性的變量重要性分析(variable importance analysis,VIA)方法旨在量化隨機(jī)輸入變量的不確定性對(duì)失效概率的貢獻(xiàn),對(duì)于單一失效模式的結(jié)構(gòu)構(gòu)件,該方法得到了廣泛研究。本文將這些指標(biāo)推廣到具有多種失效模式的結(jié)構(gòu)體系?；谖墨I(xiàn)[13],可以將Sobol指數(shù)衍生出的2個(gè)VIA指標(biāo),即單個(gè)輸入變量xv的主效應(yīng)指標(biāo)和總效應(yīng)指標(biāo)分別定義為

(30)

(31)

式中：x～v指包含所有除了xv的輸入變量的向量；var(·)和E(·)是方差和期望的數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)。和Sobol的指標(biāo)相似,以可靠性為基礎(chǔ)的VIA指標(biāo)滿足0≤Sv≤STv≤1。

3 求解策略

3.1 主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging模型

Kriging模型由兩部分組成,前半部分為全局近似,后半部分為局部偏差[14],具體形式如下所示

G(x)=F(x,β)+z(x)=f(x)β+z(x)

(32)

式中：G(x)表示待擬合的目標(biāo)響應(yīng)函數(shù)；f(x)表示變量x的多項(xiàng)式；β表示f(x)的系數(shù)；z(x)表示待擬合函數(shù)的隨機(jī)分布部分。

(33)

(34)

式中：1是n維單位列向量；g是n維列向量,含有每個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的目標(biāo)響應(yīng)值；rT(x)是n維列向量；R表示觀測(cè)點(diǎn)x與樣本點(diǎn){x(1),x(2),…,x(n)}間的相關(guān)性。

相關(guān)參數(shù)θ的值通過(guò)最大似然估計(jì)求解得到,那么當(dāng)相關(guān)函數(shù)是高斯相關(guān)函數(shù)時(shí),則可轉(zhuǎn)化為下面的優(yōu)化問(wèn)題

(35)

ALK模型建立都在Matlab中的DACE工具箱中完成,相關(guān)參數(shù)θk的優(yōu)化可以通過(guò)全局優(yōu)化策略的DIRECT優(yōu)化算法[15]得到。

目前較為常用的學(xué)習(xí)方程為

(36)

該U型函數(shù)由Echard等人[16]于2011年在AK-MCS方法中提出。

3.2 ALK方法的基本步驟

1) 在不確定性域中隨機(jī)抽取XΓ=(x1,Γ,x2,Γ,…,xn,Γ)(Γ=1,2,…,N)個(gè)初始樣本點(diǎn),計(jì)算功能函數(shù)值,構(gòu)建初始Kriging模型,此處N=20。

2) 隨機(jī)產(chǎn)生大量候選樣本點(diǎn),為U型學(xué)習(xí)方程選點(diǎn)做準(zhǔn)備,為使候選樣本點(diǎn)充滿不確定性域,取候選點(diǎn)數(shù)量為105。

3) 在候選點(diǎn)中計(jì)算Kriging模型的預(yù)測(cè)值μG(X)和U值,將U值最小的點(diǎn)記為X*。

4) 若U函數(shù)最小值滿足收斂條件的閾值,則轉(zhuǎn)入第6)步,本文U函數(shù)閾值大小為2。

5) 若4)中的收斂條件無(wú)法滿足,將X*加入DoE中,計(jì)算X*處的功能函數(shù)值并更新Kriging模型,返回到第3)步。

6) 基于已建立的Kriging模型,代入Monte-Carlo法中求解防共振失效概率。

4 算例分析

管長(zhǎng)L1+L2=15 m,外徑Ro,壁厚d,管道密度ρp,彈性模量E,流體密度ρf,泊松比v=0.3,K0=1×106N/m,a=5 000 N/(m×K)。外界激振力頻率為S1,S2和S3。隨機(jī)變量及其分布信息如表1所示。本文中的共振失效閾值為q=0.05。

表1 輸入變量統(tǒng)計(jì)信息

4.1 液體流速的影響

當(dāng)壓強(qiáng)和溫度均為0時(shí),隨著流速增大,前六階固有頻率如表2所示。可以明顯看出,隨著流速的增大,各階固有頻率均逐漸降低,且第一階固有頻率降低最快,該結(jié)果與參考文獻(xiàn)[2]中的結(jié)論及理論解釋吻合。該現(xiàn)象是由于流速的增長(zhǎng)導(dǎo)致了管道剛度降低,進(jìn)而導(dǎo)致固有頻率降低。

表2 不同液體流速下輸流管道前六階固有頻率

本文考慮外激勵(lì)頻率為130,330和530 Hz,考慮外激勵(lì)的不確定性及輸流管道固有頻率的不確定性,管道可能在第二、四、六階發(fā)生共振失效。因此,本文考慮三階共振問(wèn)題,其功能函數(shù)為

(37)

且該系統(tǒng)為串聯(lián)系統(tǒng),系統(tǒng)功能函數(shù)為

g=min(g1,g2,g3)

(38)

本文采用Monte-Carlo(MC)方法計(jì)算得到的結(jié)果作為精確解,以此驗(yàn)證ALK方法的計(jì)算精度和效率。不同流速條件下共振失效概率和函數(shù)調(diào)用次數(shù)如表3所示。

表3 不同液體流速下的失效概率

ALK方法的函數(shù)調(diào)用次數(shù)結(jié)果中，第一項(xiàng)為初始樣本量，第二項(xiàng)為通過(guò)主動(dòng)學(xué)習(xí)增加的樣本量。可以發(fā)現(xiàn),隨著流速的增加,共振失效概率逐漸減小。這是因?yàn)殡S著流速增加,各階固有頻率均在下降,即在遠(yuǎn)離激振力頻率,所以共振失效可能性降低。此外,對(duì)比MC和ALK 2種方法的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),ALK方法得到的失效概率誤差很小,但功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)極大地降低。MC法需要調(diào)用3×106次功能函數(shù),而ALK僅需要調(diào)用二百多次,計(jì)算效率極大提高。

當(dāng)U=10 m/s時(shí),采用ALK法計(jì)算得到的VIA指標(biāo)如圖3所示。可以發(fā)現(xiàn),SRo和SE明顯大于其他變量的主指標(biāo),說(shuō)明Ro和E對(duì)系統(tǒng)共振失效概率的影響程度最大,而其他變量的主指標(biāo)趨近于零,因此在管道防共振設(shè)計(jì)中可忽略其他變量的不確定性,降低問(wèn)題的維度,減小計(jì)算負(fù)擔(dān)。此外,各變量的總指標(biāo)的主要排序?yàn)镽o>E>ρp,總指標(biāo)排序的前兩位與主指標(biāo)排序的前兩位相同,說(shuō)明Ro和E對(duì)系統(tǒng)共振失效概率的影響最大。同時(shí)所有變量的總指標(biāo)值明顯大于主指標(biāo)值,說(shuō)明變量間的相互作用對(duì)系統(tǒng)共振失效概率有顯著影響。

圖3 流速為10 m/s時(shí)的變量重要性測(cè)度指標(biāo)

4.2 液體壓強(qiáng)的影響

當(dāng)U=0 m/s,ΔT=0 K時(shí),考慮壓強(qiáng)的3種不同工況,即:①p=0 MPa;②p=14 MPa;③p=28 MPa。隨壓強(qiáng)增大,輸流管道前六階固有頻率如表4所示。可以發(fā)現(xiàn),管道各階固有頻率均隨壓強(qiáng)增大而降低,且下降趨勢(shì)十分明顯,根據(jù)振動(dòng)控制方程可知,壓強(qiáng)p和流速U對(duì)管道影響的作用類(lèi)似。

表4 不同液體壓強(qiáng)下輸流管道前六階固有頻率

3種壓強(qiáng)工況下的共振失效概率如表5所示。由結(jié)果可知,隨著壓強(qiáng)的增大,系統(tǒng)共振失效概率不斷減小,其原因是壓強(qiáng)的增大導(dǎo)致了固有頻率的降低,使得固有頻率逐漸遠(yuǎn)離激振力頻率,共振失效可能性隨之降低。ALK法在保證計(jì)算精度的同時(shí),計(jì)算效率明顯優(yōu)于MC法。

表5 不同液體壓強(qiáng)下的失效概率

當(dāng)p=14 MPa時(shí),采用ALK法計(jì)算得到的VIA指標(biāo)如圖4所示?？梢园l(fā)現(xiàn),Ro和E的主指標(biāo)和總指標(biāo)均排在第一和第二位,其中主指標(biāo)明顯大于其他變量的主指標(biāo),說(shuō)明Ro和E對(duì)系統(tǒng)共振失效概率的影響程度最大,而其他變量的主指標(biāo)趨近于零,因此在管道防共振設(shè)計(jì)中可忽略其他變量的不確定性。此外,各變量的總指標(biāo)的主要排序?yàn)镽o>E>ρp>ρf,所有變量的總指標(biāo)值明顯大于主指標(biāo)值,其規(guī)律與U=10 m/s時(shí)基本相同,進(jìn)一步說(shuō)明了流速U和液壓p相比其他隨機(jī)變量,對(duì)共振失效的影響程度較小。

圖4 壓強(qiáng)為14 MPa時(shí)的變量重要性測(cè)度指標(biāo)

4.3 溫度效應(yīng)的影響

當(dāng)U=0 m/s,p=0 MPa時(shí),考慮溫度效應(yīng)的3種不同工況,即:①ΔT=0 K;②ΔT=10 K;③ΔT=20 K。隨溫度變化值增大,輸流管道前六階固有頻率如表6所示?？梢园l(fā)現(xiàn),管道各階固有頻率均隨溫度變化值增大而降低,且下降趨勢(shì)較為明顯。

表6 不同溫度效應(yīng)下輸流管道前六階固有頻率

3種溫度效應(yīng)工況下的共振失效概率如表7所示。由結(jié)果可知,隨著溫度變化值的增大,系統(tǒng)共振失效概率不斷減小,其原因與流速和壓強(qiáng)的影響規(guī)律相同。

表7 不同溫度效應(yīng)下的失效概率

當(dāng)ΔT=20 K時(shí),采用ALK法計(jì)算得到的VIA指標(biāo)如圖5所示。可以發(fā)現(xiàn),Ro和E的主指標(biāo)和總指標(biāo)均排在第一和第二位,其中主指標(biāo)明顯大于其他變量的主指標(biāo),而其他變量的主指標(biāo)趨近于零,各變量的總指標(biāo)的主要排序?yàn)镽o>E>t,同時(shí)所有變量的總指標(biāo)值明顯大于主指標(biāo)值,主指標(biāo)與總指標(biāo)的分布規(guī)律與U=10 m/s和p=14 MPa基本相同,進(jìn)一步驗(yàn)證了3種變量對(duì)共振失效概率的影響程度較小。VIA指標(biāo)對(duì)于管道的防共振設(shè)計(jì)具有重要參考價(jià)值。

圖5 溫度變化值為20 K時(shí)的變量重要性測(cè)度指標(biāo)

5 結(jié) 論

本文基于溫度效應(yīng)下的多跨輸流管道模型建立了共振可靠性和變量重要性分析方法,并用算例分析了流速、壓強(qiáng)和溫度效應(yīng)對(duì)共振失效概率、VIA的影響。主要結(jié)論如下:

1) 流速、壓強(qiáng)和溫度變化值的增大均會(huì)導(dǎo)致管道固有頻率的降低,造成固有頻率與激振力頻率逐漸遠(yuǎn)離,從而進(jìn)一步導(dǎo)致系統(tǒng)共振失效概率的降低。

2) 各輸入變量中,Ro和E對(duì)系統(tǒng)失效概率的影響程度最大,在設(shè)計(jì)中應(yīng)控制或降低其不確定性程度,從而降低系統(tǒng)共振失效概率。

3) ALK方法在保證計(jì)算精度的前提下,極大地提高了計(jì)算效率,有助于管道防共振可靠性分析方法的工程應(yīng)用。