數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的運用

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中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-39-382

何為“數(shù)形結(jié)合”數(shù)形結(jié)合就是把幾何性質(zhì)的探究轉(zhuǎn)化為精確與規(guī)范嚴密的數(shù)量關(guān)系的探究。簡而言之，就是把數(shù)學(xué)問題里面的數(shù)量關(guān)系和空間圖形聯(lián)系起來解決數(shù)學(xué)問題的思想方法。

數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)解題中發(fā)揮了極大的作用，展現(xiàn)了其獨特的魅力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，授人一“魚”不如授人一“漁”，讓學(xué)生學(xué)會數(shù)形結(jié)合思想方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識解決問題的能力。因此，我們在數(shù)學(xué)解題中要堅定不移地貫徹數(shù)形結(jié)合思想。

一、數(shù)形結(jié)合的作用

有助于教師傳遞知識的信息。 “數(shù)形結(jié)合”在教學(xué)上有助于教師傳遞知識的信息，對于學(xué)生往往難以理解的抽象問題，老師可通過數(shù)形結(jié)合，使抽象化直觀，使抽象的數(shù)學(xué)知識盡可能的形象化，能讓學(xué)生易感知并獲得成功的體驗。從而把老師想表達的信息顯現(xiàn)出來了，達到了輕松教學(xué)的目的。

有助于學(xué)生學(xué)習(xí)?！皵?shù)形結(jié)合”有助于學(xué)生學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，把抽象的數(shù)學(xué)具體形象在腦海里，形成圖像數(shù)學(xué)，模型數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生記憶。同時，學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合法，并不斷地進行嘗試、運用、探索，就能品味到數(shù)學(xué)的樂趣，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美，進而激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、熱情和積極性，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)[1]。

有助于提高解題速度。 “數(shù)形結(jié)合”提高了學(xué)生的解題效率。“數(shù)”與“形”的巧妙與正確結(jié)合，使學(xué)生充分理解題意，直觀的圖像勾勒了題意中的隱含條件，從而可從不同的角度分析題意，增強學(xué)生理解和運用數(shù)學(xué)信息，啟迪解題思路，使解題思路明朗化，以達到提高學(xué)生解題的速度和正確率的作用。

二、數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化原則

數(shù)形結(jié)合遵循兩大原則：簡單性原則和雙向性原則。

簡單性原則就是是把數(shù)學(xué)復(fù)雜的問題簡單化。但解題時，不要碰到任何與數(shù)、形有關(guān)的題目都建立“數(shù)與形的結(jié)合”，在解題過程中選擇一個突破口，恰當(dāng)設(shè)定參數(shù)、運用參數(shù)、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化，最終達到使問題簡單化，易于解答.

雙向性原則是指幾何直觀分析與抽象數(shù)量關(guān)系可相互轉(zhuǎn)化探討，克服其自身的局限性，發(fā)揮對方的優(yōu)越性。解題時，我們既要進行幾何問題直觀分析，又要進行相應(yīng)的代數(shù)表達式的探求，從兩方面去分析同一問題，以“形”直觀表達“數(shù)”，以“數(shù)”精確研究“形”.

三、轉(zhuǎn)化類型

“以形助數(shù)”。 用圖形解題，通過題目的數(shù)據(jù)畫出相應(yīng)的圖像，在圖像里面去理解題目里面數(shù)據(jù)的聯(lián)系。常見有由x=ab想到射影定理;由F（cosθ，sinθ）想到單位圓x2+y2=1上的點等等。

“以數(shù)輔形”。常見的有由坐標法，向量法來解決平面幾何、立體幾何問題;用距離公式來證明線段的相等或不等;用斜率關(guān)系來描述直線平行或垂直等等。

“數(shù)形互助”。 特別體現(xiàn)在圓、橢圓、雙曲線這些圓錐曲線上[2]。

四、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

一是以形助數(shù)。

對于集合，在運用數(shù)形結(jié)合時，一般運用數(shù)軸或韋恩圖。 對于方程，我們一般把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像來解決方程問題。對于函數(shù)，通過運用數(shù)形結(jié)合來幫助考察函數(shù)相關(guān)知識的理解和應(yīng)用。一般是一次函數(shù)、二次函數(shù)、絕對值等的混合組成的題型，故畫出它們的圖像有助于我們解題。對于三角函數(shù)，我們可畫出其三角函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可觀察出它的周期、奇偶性、單調(diào)性等。而且有時三角函數(shù)又與其他函數(shù)或者圓錐曲線聯(lián)系起來，解這類題型我們都需借用數(shù)形結(jié)合來簡化題型，降低題的難度系數(shù)。對于數(shù)列，在數(shù)列中，我們需要數(shù)形結(jié)合的地方一般是在求數(shù)列的極值或取值范圍。

二是以數(shù)輔形。

我們一般采用在坐標軸里面畫圖或者使用向量的知識畫出我們需要的圖形。

三是數(shù)形互助。

在圓錐曲線或線性規(guī)劃中，運用數(shù)形互助。對于解圓錐曲線相關(guān)題型，給出的曲線方程可以畫出曲線的圖像，或給出圖像可以寫出曲線方程，其能形象直觀觀察出圓錐曲線的相關(guān)特點和性質(zhì)，能夠根據(jù)圖像寫出圓錐曲線的相關(guān)定義。在線性規(guī)劃題型中，圖像能幫助簡化題型。

“數(shù)”與“形”的相結(jié)合，克服了“數(shù)”的抽象性與“形”的不完全性兩者之間的自身的缺點?！皵?shù)”與“形”相輔相成，挖掘題目中的隱含條件，以便充分理解題意，啟迪思路，理順解題線索。

盡管我們是站在偉人的肩膀上來研究數(shù)學(xué)的，但也不能停滯不前。以上證明數(shù)形結(jié)合思想的典型例題和方法，說明時代的進步，數(shù)學(xué)的進步都離不開更有力的工具和更簡單的方法。進而這個時代的數(shù)學(xué)還需要我們這些后輩們繼承光榮成果，繼續(xù)研究數(shù)學(xué)的奧秘，這條道路是曲折而漫長的。

參考文獻

[1] 李志強·談數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想[J].教育研究，2010，（1）.

[2] 肖文華·數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運用[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo) 刊，2012（18）.