事件觸發(fā)下多智能體系統(tǒng)固定時間二分一致性

李振濤，馮元珍，王正新

南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，南京210023

近年來，多智能體系統(tǒng)因其在無人機編隊控制[1-2]、環(huán)境監(jiān)測[3]等多個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注。一致性問題作為多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制的基礎(chǔ)，已經(jīng)成為控制領(lǐng)域目前的研究熱點之一。值得注意的是，現(xiàn)有文獻主要針對多智能體系統(tǒng)的漸近一致性問題進行了研究。針對幾類具有不同動力學(xué)的多智能體系統(tǒng)，文獻[4-8]分別給出了時間趨于無窮時系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的條件。但在工程應(yīng)用中，這樣的收斂時長并不能滿足實際需求。與漸近一致性相比，有限時間一致性要求多智能體系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)一致性，故其可滿足實際應(yīng)用對系統(tǒng)收斂時長有限性的要求?；谖墨I[9]提出的有限時間穩(wěn)定性理論，文獻[10]針對由離散時間子系統(tǒng)和連續(xù)時間子系統(tǒng)組成的切換多智能體系統(tǒng)，研究了其有限時間一致性問題。文獻[11]解決了具有不匹配擾動和非線性動力學(xué)的高階多智能體系統(tǒng)的有限時間一致性問題。然而，由于有限時間一致性中的收斂時間依賴于多智能體系統(tǒng)的初始狀態(tài)，但系統(tǒng)的初始狀態(tài)很多時候并不易于獲取，由此導(dǎo)致有限時間一致性在工程應(yīng)用中有一定缺陷。

為克服有限時間一致性的局限性，許多學(xué)者進行了固定時間一致性的研究工作。固定時間一致性的實現(xiàn)不僅要求多智能體系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)一致性，還要求對任意初始狀態(tài)，系統(tǒng)的收斂時間具有常值上界[12]。文獻[13]研究了有向拓撲結(jié)構(gòu)下帶領(lǐng)導(dǎo)者的非線性多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性；文獻[14]研究了一般有向圖下帶領(lǐng)導(dǎo)者和不帶領(lǐng)導(dǎo)者的一階非線性多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性；文獻[15]研究了具有符號有向圖的多智能體系統(tǒng)的有限時間二分一致性。然而，文獻[13-15]提出的控制協(xié)議均為連續(xù)控制協(xié)議，這意味著在實現(xiàn)一致性過程中，智能體之間需要頻繁地進行通信交流和控制更新，從而導(dǎo)致多智能體系統(tǒng)能源大量消耗?；谑录|發(fā)的控制策略可以有效解決這一問題。文獻[16]基于事件觸發(fā)機制，研究了在跟隨者拓撲圖為無向圖時帶領(lǐng)導(dǎo)者的一階多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性。文獻[17]在文獻[16]的基礎(chǔ)上，研究了具有擾動的帶領(lǐng)導(dǎo)者一階多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性問題。文獻[18]研究了帶領(lǐng)導(dǎo)者的一階非線性多智能體系統(tǒng)基于事件觸發(fā)機制的固定時間一致性問題。文獻[19]在文獻[16]和[17]的工作基礎(chǔ)上，考慮了具有輸入時滯的帶領(lǐng)導(dǎo)者一階多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性。目前基于事件觸發(fā)機制的固定時間一致性問題研究，主要針對帶領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)，通過引入跟蹤誤差將一致性問題轉(zhuǎn)化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；無領(lǐng)導(dǎo)者存在時的相關(guān)問題尚未深入開展。鑒此，本文研究了基于事件觸發(fā)機制的一階多智能體系統(tǒng)的固定時間二分一致性問題。本文的主要貢獻體現(xiàn)在以下三個方面：首先，與文獻[16-19]相比，本文將信息交流圖從無向正圖拓展到了符號有向圖，且多智能體系統(tǒng)中無領(lǐng)導(dǎo)者存在；其次，在文獻[15]工作的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種基于事件觸發(fā)機制的分布式控制協(xié)議，減少了能量損耗，并證明在所設(shè)計控制協(xié)議作用下一階多智能體系統(tǒng)可有效避免Zeno現(xiàn)象的發(fā)生，使控制協(xié)議更具現(xiàn)實意義；最后，給出了一階多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)固定時間二分一致性的收斂時間常值上界表達式。

1 預(yù)備知識及問題描述

本章介紹本文要用到的圖論基礎(chǔ)知識[20]和相關(guān)引理，并簡單描述將要討論的問題。

1.1 圖論基礎(chǔ)知識

令G={V,E,A}表示由N個結(jié)點組成的符號有向加權(quán)圖，其中V={v1,v2,…,vN}為點集合，E?V×V為邊集合，A=[aij]∈RN×N代表加權(quán)鄰接矩陣。當(vi,vj)∈E時aij≠0,否則aij=0。對于符號有向圖G，有向邊(vi,vj)∈E表示信息從結(jié)點vi流向結(jié)點vj。從vi1到viq的有向路徑指的是由一系列有向邊(vip,vip+1)∈E構(gòu)成的邊序列，其中p=1,2,…,q-1且該有向路徑中的結(jié)點彼此不同。如果符號有向圖G中的任意兩個結(jié)點之間都存在有向路徑，則稱G是強連通的。如果有向圖G的結(jié)點可以分為V1和V2兩組且滿足V1?V2=V,V1?V2=Φ,aij≥0(?vi,vj∈Vq,q=1,2)和aij≤0(?vi∈Vq,?vj∈Vr,q=1,2;r=3-q),則稱符號有向圖G是結(jié)構(gòu)平衡的；否則，G是結(jié)構(gòu)不平衡的。符號有向圖G的拉普拉斯矩陣定義為L=[lij]N×N,其中若符號有向圖G中的所有權(quán)值均非負，則稱G為正圖，這是一類特殊的符號有向圖。

1.2 相關(guān)引理

引理1[21]若符號有向圖G是強連通的，則G是結(jié)構(gòu)平衡的當且僅當下列兩個條件中任意一條成立：

（1）存在矩陣D∈D使得DAD的所有元素均非負，其中D={diag{d1,d2,…,dN},di=±1}。

（2）G的拉普拉斯矩陣L有且僅有一個零特征值且L的秩為N-1。

引理2[15]若符號有向圖G是強連通結(jié)構(gòu)平衡的，則存在正向量η=[η1,η2,…,ηN]T和引理1中定義的對角矩陣D，使得ηTDL=01×N,其中L為符號有向圖G的拉普拉斯矩陣。

引理3[15]若符號有向圖G是強連通結(jié)構(gòu)平衡的，則存在矩陣D∈D使得DLD為一個正圖的拉普拉斯矩陣。定義向量集：

則有：

引理4[22]對于任意給定的xi>0(i=1,2,…,N)和s>μ≥1,下列不等式恒成立：

引理5[12]對于系統(tǒng)

如果存在一個連續(xù)正定的徑向無界函數(shù)V(x(t))：R→R+?{0}且滿足：

（1）V(x(t))=0?x(t)=0；

（2）系統(tǒng)的任意解x(t)滿足：

其中，α?>0,β?>0,01,則系統(tǒng)（1）實現(xiàn)全局固定時間穩(wěn)定且收斂時間T滿足：

引理6[15]若符號有向圖G是強連通結(jié)構(gòu)不平衡的，則存在對角陣Ω=diag{ω1,ω2,…,ωN}>0使得ΩL+LTΩ>0。

1.3 問題描述

考慮由N個一階智能體組成的多智能體系統(tǒng)，智能體i的動力學(xué)模型為：

其中，xi(t)∈Rm和ui(t)∈Rm分別表示第i個智能體的位置狀態(tài)和控制輸入。

注1為表述方便起見，不失一般性，本文僅在m=1時進行討論，m>1時相關(guān)結(jié)論可利用克羅內(nèi)克積的性質(zhì)進行推廣。

假設(shè)智能體間的信息交流圖G滿足以下條件：

注2文獻[16-19]研究了具有正圖的多智能體系統(tǒng)固定時間一致性問題。本文將信息交流圖拓展到符號有向情形，考慮了智能體間的權(quán)重可為負值的情況，即智能體間除相互協(xié)作外，還存在博弈、競爭等關(guān)系，在工程應(yīng)用中，更具有廣泛性。

定義[15]對具有符號有向圖的多智能體系統(tǒng)（2），若存在控制輸入ui(t)，使得對任意初始狀態(tài)xi(0)，都有：

且存在一個正常數(shù)Tmax,使得T≤Tmax恒成立，則稱多智能體系統(tǒng)（2）實現(xiàn)固定時間二分一致性，其中T為依賴于初始狀態(tài)的收斂時間。

2 主要結(jié)果

本章考慮具有符號有向圖的一階多智能體系統(tǒng)（2）的固定時間二分一致性問題。為有效減少控制過程中多智能體系統(tǒng)的能源損耗，設(shè)計如下基于事件觸發(fā)的控制協(xié)議：

其中，控制增益a>0,b>0,控制參數(shù)0<α<1,β>1；s[a]定義為其中sign(?)為符號函數(shù)。定義，則在任意時間段為第j個智能體的最新觸發(fā)時刻。

令

多智能體系統(tǒng)可以簡寫為：

定理1若符號有向圖G是強連通的，設(shè)計分布式觸發(fā)函數(shù)φi(t)：

其中，c>0，當?shù)趇個智能體的觸發(fā)函數(shù)φi(t)>0時，事件觸發(fā)，此時該智能體的控制協(xié)議采集信息更新。

其中，λmax(LTH2L)為矩陣LTH2L的最大特征值，k1的定義見引理3及

ηi(i=1,2,…,N)的定義見引理2，ρ的定義見定理1證明過程。

否則，當G為結(jié)構(gòu)不平衡圖時，若

證明 考慮到符號有向圖分為結(jié)構(gòu)平衡圖和結(jié)構(gòu)不平衡圖。接下來，將在這兩種拓撲結(jié)構(gòu)下分別證明多智能體系統(tǒng)（2）在控制協(xié)議（3）和觸發(fā)函數(shù)（4）的作用下，均可實現(xiàn)固定時間二分一致性。

首先證明當G是結(jié)構(gòu)平衡圖時相關(guān)結(jié)論成立。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

其中，ηi的定義見引理2。

為方便證明，引入中間變量

由引理4可得：

和

聯(lián)立式（10）~（12），可得：

其中，γ1,γ2,p和q的定義見式（6）。由引理5可知，V在固定時間內(nèi)收斂到0，即y(t)=Lx(t)=0。由引理1知，L的秩為N-1且有LD1N=0,故有x(t)∈span{D1N},即,其中收斂時間T的上界為

其次，當圖G是結(jié)構(gòu)不平衡圖時，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

其中，ωi的定義見引理6。

綜上所述，當假設(shè)1成立時，應(yīng)用控制協(xié)議（3）和觸發(fā)函數(shù)（4），多智能體系統(tǒng)（2）實現(xiàn)固定時間二分一致性。證畢。

注3由式（5）和（7）知，若控制增益a=b，當控制增益增加時，固定時間一致性收斂時間上界T1max和T2max相應(yīng)減小。因此，在實際應(yīng)用中，可選取相對較大的控制增益來提高系統(tǒng)收斂速度。

注4當控制增益a=0或b=0時，應(yīng)用控制協(xié)議（3）和觸發(fā)函數(shù)（4），多智能體系統(tǒng)（2）可以實現(xiàn)有限時間二分一致性。

注5當強連通圖G為結(jié)構(gòu)不平衡圖時，其對應(yīng)的拉普拉斯矩陣L為可逆矩陣，由引理6可知L?為正定矩陣。

在實際應(yīng)用中，基于事件觸發(fā)的控制協(xié)議還需要保證事件觸發(fā)時間間隔τ>0,以確保整個多智能體系統(tǒng)在收斂過程中，不會在某一時間段內(nèi)無限次觸發(fā)控制協(xié)議，即避免Zeno行為發(fā)生。

定理2若假設(shè)1成立，通過應(yīng)用控制協(xié)議（3）和事件觸發(fā)函數(shù)（4），所有智能體均排除了Zeno行為的發(fā)生，且事件觸發(fā)時間間隔τi滿足以下條件：

其中

證明類似于文獻[23]，定義：

對式（14）關(guān)于時間t求導(dǎo)，可得：

其中μ1的定義見式（13）。

對式（15）求解得：

將式（16）化簡，可得觸發(fā)時間間隔τi的表達式為：

因此，通過使用控制協(xié)議（3）和觸發(fā)函數(shù)（4），多智能體系統(tǒng)（2）中的所有智能體均有效避免了Zeno行為的發(fā)生。證畢。

注6本文在文獻[15]的工作基礎(chǔ)上，進一步研究了多智能體系統(tǒng)的二分一致性問題。相比文獻[15]中采取的連續(xù)控制策略，本文提出的基于事件觸發(fā)機制的控制方法有效降低了系統(tǒng)控制過程中的能量消耗，并避免了Zeno行為的發(fā)生。

3 仿真

本章將通過數(shù)值仿真來驗證本文所得理論結(jié)果的有效性。

考慮由六個智能體組成的一階多智能體系統(tǒng)，其拓撲關(guān)系圖如圖1所示，其中圖1（a）為結(jié)構(gòu)平衡圖，圖1（b）為結(jié)構(gòu)不平衡圖。圖1（a）和圖1（b）的鄰接矩陣分別為：

圖1 拓撲圖Fig.1 Topological graphs

和

選擇控制增益和參數(shù)分別為a=0.1,b=0.2,α=0.8和β=1.2,設(shè)置事件觸發(fā)函數(shù)參數(shù)c=0.5,當系統(tǒng)初始狀態(tài)為X(0)=[-10,8.7,2.3,-1.5,5.5,-7.3]T時，圖2和圖3分別顯示的是具有強連通拓撲結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)中各智能體的位置軌跡和事件觸發(fā)時刻?？梢园l(fā)現(xiàn)，無論拓撲圖是結(jié)構(gòu)平衡圖還是結(jié)構(gòu)不平衡圖，多智能體系統(tǒng)均可在固定時間內(nèi)實現(xiàn)二分一致性。圖4顯示的是各智能體的控制輸入隨時間變化的趨勢。由圖4可知，當拓撲圖為強連通圖時，各智能體的控制輸入均為分段函數(shù)，避免了能量的持續(xù)輸出，減少了系統(tǒng)的能量損耗。

圖2 智能體位置狀態(tài)軌跡圖Fig.2 Trajectories of position states

圖3 各智能體事件觸發(fā)時刻Fig.3 Triggering instants of all agents

圖4 智能體控制輸入Fig.4 Control inputs of all agents

4 結(jié)語

本文研究了具有符號有向圖的一階多智能體系統(tǒng)的固定時間二分一致性問題。通過設(shè)計基于事件觸發(fā)機制的控制協(xié)議，以圖論和Lyapunov理論為主要研究工具，證明了多智能體系統(tǒng)中所有智能體狀態(tài)的絕對值均可在固定時間內(nèi)實現(xiàn)一致，且在控制過程中有效避免了Zeno行為的發(fā)生?；谑录|發(fā)機制設(shè)計的控制協(xié)議避免了對智能體的連續(xù)控制，有效降低了能量損耗。