梯度校正法燃?xì)鉄嶂禍y量裝置抽氣系統(tǒng)建模

劉 偉，王玉剛，張洪軍，趙曉東，潘 江

(中國計量大學(xué)計量測試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

在天然氣能量計量方法中，以燃燒法測量可燃?xì)怏w熱值是能源領(lǐng)域的基礎(chǔ)問題，也是目前研究熱點。國外很多學(xué)者和計量機構(gòu)已經(jīng)在這方面有較為深入的研究并取得長足進步。20世紀(jì)30年代美國國家標(biāo)準(zhǔn)局的Rossini建立了電能標(biāo)定的等溫式熱值測量計，以電校正的形式將熱值溯源到質(zhì)量、溫度、電流和時間等國際單位上[1-3]。20世紀(jì)80年代，中國計量科學(xué)研究院在Rossini方法的基礎(chǔ)上用氧彈法測量純甲烷的熱值，于2012年開始研制基準(zhǔn)氣體熱量計[4-5]。此后，中國石油西南油氣田分公司天然氣研究院、中國計量大學(xué)等研究機構(gòu)或高校，在天然氣熱值測量技術(shù)、配氣比例、熱值測量主體、熱量計非穩(wěn)態(tài)溫度場優(yōu)化分析、抽氣系統(tǒng)設(shè)計等方面取得較大進展[6-10]。中國計量大學(xué)研制的氣體熱值測量系統(tǒng)是在Rossini法的基礎(chǔ)上改進而來，目前該裝置已初步成型。但該系統(tǒng)在抽氣控制方面的研究還尚待完善，如只能實現(xiàn)恒速抽氣，沒有建立完善的數(shù)學(xué)模型，無法應(yīng)對諸如外界氣壓變化、管路內(nèi)部氣源不穩(wěn)、抽氣過快或過慢等不利因素引起的燃燒不穩(wěn)定情況。本文的研究內(nèi)容就是建立抽氣系統(tǒng)的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型，并對模型進行驗證，為后期設(shè)計數(shù)字控制器從而實現(xiàn)抽氣系統(tǒng)變速抽氣控制做準(zhǔn)備。

1 抽氣系統(tǒng)工作原理

抽氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示，系統(tǒng)由干燥管、緩沖瓶、尾氣收集裝置、壓差傳感器、數(shù)據(jù)采集單元、單片機電路以及控制程序組成。系統(tǒng)工作時，操作人員通過控制程序設(shè)置好抽氣裝置運行參數(shù)，發(fā)布抽氣命令，單片機接收到參數(shù)和命令后，控制尾氣收集裝置運行的相關(guān)電路導(dǎo)通，尾氣收集裝置按照設(shè)定的運行速度將燃燒室排氣口出來的尾氣經(jīng)過干燥后抽入尾氣收集裝置的氣缸內(nèi)；壓差傳感器檢測到燃燒室進、排氣口兩端壓差的變化并輸出電壓，使用Agilent 34972A數(shù)據(jù)采集單元采集該電壓，通過串口將電壓發(fā)送到控制程序中再換算為氣體壓差值，經(jīng)過控制器的計算后給出下一時刻的運行速度信號，再通過串口自動向單片機發(fā)布新的運行速度信號；如此循環(huán)往復(fù)，在控制程序的控制下實現(xiàn)運行速度的自調(diào)整，在一次燃燒實驗完成后，排出氣缸內(nèi)的尾氣。

圖1 抽氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

2 實驗信號設(shè)計

2.1 M序列生成

為了預(yù)先對抽氣系統(tǒng)的動態(tài)特性有一定了解，如確定抽氣系統(tǒng)是否存在滯后現(xiàn)象，確定系統(tǒng)調(diào)節(jié)過程時間等，對抽氣系統(tǒng)進行階躍響應(yīng)測試[11]。階躍響應(yīng)測試時，抽氣系統(tǒng)工作在開環(huán)控制狀態(tài)。設(shè)定尾氣收集裝置活塞運行速度為20 mm/min，待抽氣系統(tǒng)運行處于穩(wěn)定抽氣狀態(tài)時，保持當(dāng)前運行速度，在此運行速度基礎(chǔ)上再突加一個幅值為β的正向速度信號，作為階躍信號輸入抽氣系統(tǒng)。為確定多大幅值的β值能獲得較為理想的階躍響應(yīng)信號，在20 mm/min運行速度基礎(chǔ)上分別施加原有運行速度的5%、10%、15%、20%、25%、50%作為階躍信號輸入系統(tǒng)，抽氣系統(tǒng)在不同幅值階躍信號測試下的響應(yīng)曲線如圖2所示。實驗結(jié)果表明，當(dāng)階躍信號幅值β選取為原來速度的25%，即β=5 mm/min時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)效果較為理想。

圖2 不同幅值階躍信號測試下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

在得到不同幅值階躍信號測試結(jié)果后，將β的幅值設(shè)定為5 mm/min再次進行測試，記錄數(shù)據(jù)如圖3所示。多次重復(fù)實驗結(jié)果表明，抽氣系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間Ts≈21 s，純滯后時間 τ0≈2 s。

圖3 5 mm/min階躍信號測試下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

沖激信號作為最理想的系統(tǒng)測試信號，擁有廣泛的頻譜，但讓計算機產(chǎn)生一個理想的沖激信號較為困難。研究發(fā)現(xiàn)，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)與沖激信號很接近。白噪聲取代沖激信號對一個系統(tǒng)進行測試是最為理想的，但在實際工程應(yīng)用中，執(zhí)行器并不可能完全按照白噪聲的變化規(guī)律來動作，而M序列（即最長線性移位寄存器序列）能較好地模擬執(zhí)行器動態(tài)運行中的輸入信號。通過對M序列自相關(guān)分析發(fā)現(xiàn)，M序列自相關(guān)函數(shù)也接近于沖激信號，其自相關(guān)函數(shù)圖形分析如圖4所示。

圖4 M序列自相關(guān)函數(shù)圖形

使用M序列產(chǎn)生一系列‘0’和‘1’的碼值，并給碼值‘0’和碼值‘1’賦以相應(yīng)的活塞運行速度值作為抽氣系統(tǒng)激勵信號輸入系統(tǒng)，得到一系列M序列的響應(yīng)值。利用移位寄存器產(chǎn)生‘0’和‘1’的碼值，需要確定M序列的時鐘周期T0、序列長度Np、序列幅值A(chǔ)0和試驗長度N。已知抽氣系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間Ts，M序列的時鐘周期可根據(jù)式（1）來確定：

序列長度根據(jù)式（2）確定：

代入數(shù)據(jù)計算后取M序列時鐘周期T0=0.5 s，序列長度Np=63。依據(jù)Np=26–1=63，確定M序列由6級移位寄存器發(fā)生，6級移位寄存器連接方式用式（3）表示，寄存器連接示意圖如圖5所示。

圖5 6級移位寄存器連接示意圖

根據(jù)抽氣系統(tǒng)階躍響應(yīng)情況可知，系統(tǒng)初始運行時會有較長的調(diào)節(jié)時間，在獲取動態(tài)數(shù)據(jù)時，需連續(xù)發(fā)送兩個M序列實驗信號。第一個M序列用來消除調(diào)節(jié)過程，得到的系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)不用于參數(shù)辨識，系統(tǒng)的第二個M序列響應(yīng)數(shù)據(jù)用于參數(shù)辨識。依據(jù)6級移位寄存器結(jié)構(gòu)示意圖，利用LabVIEW編寫M序列碼生成程序[12]，初始序列設(shè)為101010，產(chǎn)生長度為 126，輸出‘0’和‘1’的 M 序列值。為保證每一個碼值都能有效的輸入抽氣系統(tǒng)，程序?qū)序列碼值以一定時間間隔逐點連續(xù)輸出。

選取M序列幅值A(chǔ)0=±10 mm/min，在原設(shè)定運行速度20 mm/min基礎(chǔ)上，當(dāng)M序列產(chǎn)生碼值‘1’時 賦 30 mm/min，碼 值 ‘0’時 賦 10 mm/min。 在LabVIEW程序中將速度命令按“S3××W”格式以字符串形式發(fā)送至下位機，其中“××”即為賦值的運行速度值。長度為126的M序列01碼值和生成程序如圖6和圖7所示。

圖6 M序列01碼幅值圖

圖7 M序列產(chǎn)生程序

2.2 直流分量處理

對采樣得到的抽氣系統(tǒng)響應(yīng)信號進行頻譜分析，結(jié)果表明，輸出信號中包含有直流分量。為了使建立的模型能充分反映系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此必須把信號中的直流分量去除。圖8顯示了在輸入M序列后抽氣系統(tǒng)響應(yīng)信號在去除直流分量前的波形。將采集得到的輸出時域信號用快速傅里葉變換（fast Fourier transformation，簡稱 FFT）法變換到頻域信號，將信號中頻率為0的分量置為0后，再將信號進行傅里葉逆變換，即可得到不含直流分量的輸出信號，再經(jīng)過濾波和平滑處理得到圖9所示的波形。此時的輸出信號值用作系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的參數(shù)辨識。

圖8 響應(yīng)信號去除直流分量前波形和FFT波形

圖9 響應(yīng)信號去除直流分量后波形和FFT波形

3 梯度校正法

梯度校正法進行參數(shù)辨識的基本思想是沿著準(zhǔn)則函數(shù)的負(fù)梯度方向，逐漸修正模型參數(shù)的估計值，直至準(zhǔn)則函數(shù)達(dá)到最小值[13-15]。算法結(jié)構(gòu)是在舊的估計值基礎(chǔ)上，將增益矩陣和新息的乘積求和而得到新的估計值。梯度校正法具有算法簡單、計算量小等優(yōu)點。

已知抽氣系統(tǒng)的模型階次na=nb=2，真時延d=2，在不考慮噪聲的情況下，設(shè)抽氣系統(tǒng)模型方程的差分形式為：

將式（4）改寫成矩陣形式為：

其中：

式中：y(k)——抽氣系統(tǒng)的輸出值；

u(k)——輸入值；

k——采樣次數(shù)；

a1，a2，b1，b2——待辨識參數(shù)；

h(k)——測量矩陣；

θ——參數(shù)矩陣。

梯度校正法的目標(biāo)就是根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)來確定參數(shù) θ和h(k)，并以此確定估計值使得準(zhǔn)則函數(shù)J(θ)沿著負(fù)梯度方向不斷修正的值，直到J(θ)達(dá)到最小值。

其中：

R(k)——N維加權(quán)矩陣，且N=4；

ΛN(k)——對角陣元素。

將去除直流分量后的輸出數(shù)據(jù)按梯度校正法進行參數(shù)辨識，辨識算法流程如圖10所示。使用Matlab編寫模型辨識程序，程序開始執(zhí)行后，程序會先給待辨識參數(shù) θ和h(k)賦初值；按照式（8）計算加權(quán)矩陣R(k)；下一步根據(jù)J(θ)表達(dá)式和表達(dá)式計算出估計值；之后計算出模型輸出值y(k)，再計算系統(tǒng)輸出值y(k)與模型輸出值ym(k)之間的偏差ey；之后再計算準(zhǔn)則函數(shù)的梯度，判斷是否達(dá)到設(shè)定循環(huán)次數(shù)，如果沒有則回到權(quán)矩陣計算那一步，直到程序運行到設(shè)定的循環(huán)次數(shù)；達(dá)到設(shè)定循環(huán)次數(shù)后，將各項數(shù)值輸出，繪制圖形，結(jié)束程序。

圖10 梯度校正法參數(shù)辨識算法流程圖

待辨識參數(shù)梯度校正變化情況如圖11所示，系統(tǒng)輸出值與模型輸出值偏差如圖12所示。圖11表明，當(dāng)辨識過程進行到11次時，待辨識參數(shù)基本達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，圖12也表明此時系統(tǒng)輸出值與模型輸出值的誤差基本達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。參數(shù)辨識結(jié)果顯示，待辨識參數(shù)a1=0.1185，a2=0.0569，b1= ?0.013 2，b2=0.0031。由此得到抽氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

圖11 待辨識參數(shù)梯度校正變化情況

圖12 系統(tǒng)輸出值與模型輸出值偏差

4 數(shù)學(xué)模型的實驗驗證

抽氣系統(tǒng)是燃?xì)鉄嶂禍y量裝置的組成部分，位于石英玻璃燃燒器的下游，由尾氣收集裝置、管道、測控器件等部分組成，圖13是尾氣收集裝置和石英玻璃燃燒器的實物圖。圖中左側(cè)的尾氣收集裝置，通過伺服電機驅(qū)動運動塊上下移動的方式將燃燒室排出的尾氣抽入缸內(nèi)。系統(tǒng)工作時只需要控制尾氣收集裝置內(nèi)活塞移動速度即可控制玻璃燃燒室進、排氣口兩端壓差。

圖13 尾氣收集裝置（左）和石英玻璃燃燒器（右）實物圖

為驗證數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，分別進行了兩組抽氣實驗，第一組是抽氣系統(tǒng)同時通入甲烷、氧氣、氬氣進行抽氣，第二組是供氣接口斷開抽取空氣，之后分別將兩組實驗中抽氣時系統(tǒng)的輸出與數(shù)學(xué)模型仿真的輸出進行對比。圖14是用LabVIEW中控制與仿真模塊下的PID子模塊結(jié)合抽氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型編寫程序進行仿真。

圖14 數(shù)學(xué)模型LabVIEW仿真程序

在抽氣實驗中，設(shè)定條件如下：

1）以系統(tǒng)開始供氣作為0時刻，供氣時使用甲烷、氧氣、氬氣三種氣體，其體積流量比例為65∶156∶240。

2）尾氣收集裝置運動塊運行的初始速度設(shè)為20 mm/min。

3）將期望的壓差值設(shè)為35 Pa，PID控制器中設(shè)置比例系數(shù)Kp=4.2219，積分系數(shù)Ki=0.01407，微分系數(shù)Kd=0.000282。

三種氣體供氣抽氣實驗和抽空氣實驗輸出壓差變化情況與LabVIEW仿真程序輸出壓差變化情況分別如圖15、圖16所示。從兩圖可以看出，抽氣實驗輸出和數(shù)學(xué)模型仿真輸出均在20 s左右達(dá)到設(shè)定值附近。從抽氣實驗輸出波形和數(shù)學(xué)模型輸出波形達(dá)到較為穩(wěn)定時來看，二者輸出波形較為接近。三種氣體供氣抽氣實驗輸出波形出現(xiàn)波動，是因為供氣不穩(wěn)導(dǎo)致，但輸出波形仍在設(shè)定壓差上下波動。模型輸出和抽氣實驗的輸出結(jié)果對比表明，數(shù)學(xué)模型能比較準(zhǔn)確的反映系統(tǒng)輸入輸出情況。

圖15 數(shù)學(xué)模型輸出壓差和三種氣體抽氣實驗輸出壓差

圖16 數(shù)學(xué)模型輸出壓差和抽空氣實驗輸出壓差

圖17反映抽空氣實驗和三種氣體抽氣實驗工況下的模型誤差變化情況。抽空氣時，數(shù)學(xué)模型輸出結(jié)果與抽氣實驗輸出結(jié)果的平均相對誤差為0.42%，壓差值平均絕對誤差約為0.15 Pa；三種氣體抽氣實驗時，數(shù)學(xué)模型輸出結(jié)果與抽氣實驗結(jié)果的平均相對誤差為0.45%，壓差值平均絕對誤差約為0.16 Pa。

圖17 模型相對誤差變化圖

5 結(jié)束語

以梯度校正法為基本原理，理論和實驗相結(jié)合，在LabVIEW和Matlab等工具軟件的輔助下建立了燃?xì)鉄嶂禍y量裝置的抽氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。以梯度校正法的數(shù)學(xué)原理設(shè)計辨識程序，具有代碼量小、計算速度快、通用程度高等優(yōu)點。文中首次通過建立抽氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方式研究燃?xì)鉄嶂禍y量裝置抽氣控制問題；以燃燒室進、排氣口壓差作為反饋信號，實現(xiàn)了抽氣系統(tǒng)的恒壓控制。抽氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型仿真結(jié)果表明，在PID控制下模型輸出結(jié)果與實際抽氣控制傳感器測得結(jié)果基本吻合。在抽空氣實驗中，數(shù)學(xué)模型與實驗輸出平均相對誤差為0.42%；在抽三種氣體實驗中，數(shù)學(xué)模型與實驗輸出平均相對誤差為0.45%。表明文中所采用梯度校正法建立抽氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的正確性，能滿足實際控制需求，為以后設(shè)計抽氣系統(tǒng)的數(shù)字控制器提供了理論依據(jù)。