洪水頻率分析中歷史洪水和古洪水排位方法的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)研究

康 有

(中國(guó)電建集團(tuán)成都勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川 成都 610072)

1 研究背景

科學(xué)合理的設(shè)計(jì)洪水是水利水電工程規(guī)劃設(shè)計(jì)的首要任務(wù)，一直是工程水文設(shè)計(jì)領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題之一[1]。目前，國(guó)內(nèi)外設(shè)計(jì)洪水主要包括數(shù)理統(tǒng)計(jì)法和成因分析法。數(shù)理統(tǒng)計(jì)法即為洪水頻率分析途徑，根據(jù)實(shí)測(cè)洪水系列，采用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理和方法，直接計(jì)算設(shè)計(jì)洪水[2]。成因分析法即為水文氣象分析途徑，首先根據(jù)實(shí)測(cè)暴雨系列，計(jì)算設(shè)計(jì)暴雨；然后結(jié)合流域產(chǎn)匯流過(guò)程，間接計(jì)算設(shè)計(jì)洪水[2]。目前我國(guó)設(shè)計(jì)洪水主要采用洪水頻率分析途徑，直接利用實(shí)測(cè)洪水系列估計(jì)洪水理論總體分布的參數(shù)，并據(jù)此將頻率曲線外延，推求稀遇頻率的洪水設(shè)計(jì)值[3]。

通過(guò)在實(shí)測(cè)洪水樣本系列中加入歷史洪水或古洪水資料，進(jìn)一步擴(kuò)展洪水考證期，組成不連序洪水樣本系列，進(jìn)行洪水頻率分析，為確定洪水頻率曲線在稀遇頻率的外延趨勢(shì)提供了有力支撐，顯著提高了洪水頻率分析的可靠性和穩(wěn)定性，這已成為我國(guó)水利水電工程設(shè)計(jì)洪水的寶貴經(jīng)驗(yàn)[4]。我國(guó)曾廣泛開展了大規(guī)模的歷史洪水調(diào)查和歷史文獻(xiàn)查閱工作，積累了豐富的歷史洪水資料，其考證期一般在100～200 a，使得洪水考證期得到大幅擴(kuò)展[5]?，F(xiàn)行SL 44—2006《水利水電工程設(shè)計(jì)洪水計(jì)算規(guī)范》中針對(duì)考慮歷史洪水的非連序洪水系列，采用錢鐵(1964年)提出的經(jīng)驗(yàn)頻率修正公式(簡(jiǎn)稱“錢穆公式”)計(jì)算實(shí)測(cè)和歷史洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率[6]。古洪水研究能夠得到比歷史洪水考證期年代更遠(yuǎn)的距今數(shù)千年的稀遇洪水記錄，其考證期一般在1 000～2 000 a，可使設(shè)計(jì)洪水從外延變?yōu)閮?nèi)插，有效提高了設(shè)計(jì)洪水的可靠性[7]。實(shí)際中常將古洪水資料和歷史洪水資料同等看待，進(jìn)行洪水分級(jí)排位，其經(jīng)驗(yàn)頻率采用錢穆公式進(jìn)行計(jì)算。但是，古洪水研究得到的洪水常為極端的、稀遇的非常洪水，其量級(jí)顯著大于實(shí)測(cè)洪水和歷史洪水[8]。在古洪水的考證期內(nèi)往往會(huì)遺漏同等量級(jí)的古洪水，其排位存在不可忽略的誤差；且距離首大歷史洪水的時(shí)間間隔非常長(zhǎng)。在歷史洪水的考證期內(nèi)遺漏較大的歷史洪水的可能性較小，其排位誤差可以忽略不計(jì)；且距離首大實(shí)測(cè)洪水的時(shí)間間隔相對(duì)較短。因此，以往將古洪水看作一般量級(jí)的歷史洪水，組成一個(gè)歷史洪水系列，按照錢穆公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)頻率，進(jìn)行洪水頻率分析將可能存在系統(tǒng)性的偏差。

本文采用我國(guó)洪水頻率分析推薦使用的P-Ⅲ型分布，采用統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)途徑研究古洪水和歷史洪水資料在洪水頻率分析中的排位方法對(duì)洪水設(shè)計(jì)值的影響，以便進(jìn)一步提高設(shè)計(jì)洪水成果質(zhì)量。以長(zhǎng)江干流宜昌水文站設(shè)計(jì)洪水為例，計(jì)算其不同排位情況下的洪水設(shè)計(jì)值，以期為長(zhǎng)江流域水利水電工程規(guī)劃設(shè)計(jì)提供更加可靠合理的設(shè)計(jì)洪水依據(jù)。

2 方法原理

2.1 理論分布線型

假定所研究的洪水隨機(jī)變量X服從P-Ⅲ型分布，記作X～Г(x;a，α，β)。假設(shè)洪水隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本為(X1，X2，…，Xn)，定義X(m)取(X1，X2，…，Xn)中從大到小排列的第m項(xiàng)數(shù)值，令P(Xm)=P(m)，則有從小到大排列的頻率序列P(1)≤P(2)≤…≤P(n)，稱P(m)為頻率次序統(tǒng)計(jì)量[9]。我國(guó)現(xiàn)行規(guī)范中規(guī)定：采用頻率次序統(tǒng)計(jì)量P(m)的期望值E(P(m))作為適線法的繪點(diǎn)位置，其計(jì)算公式為E(P(m))=m/(n+1)。E(P(m))只與樣本容量n和次序m有關(guān)，而與采用的概率分布函數(shù)形式無(wú)關(guān)。

2.2 洪水頻率分析

構(gòu)建基于SCE-UA算法的優(yōu)化適線法，以P-Ⅲ型分布作為理論總體概率分布，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，稱為優(yōu)化適線法(Curve Fitting Optimization，簡(jiǎn)稱“CFO”)。其中，優(yōu)化變量選取Ex、Cv與Cs/Cv，適線準(zhǔn)則采用離差絕對(duì)值和準(zhǔn)則，求解算法采用精度高且運(yùn)行效率快的SCE-UA算法。連序洪水系列的繪點(diǎn)位置采用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行計(jì)算，非連序洪水系列的繪點(diǎn)位置采用錢穆公式進(jìn)行計(jì)算[10]。

2.3 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法

采用一種基于拉丁超立方抽樣的蒙特卡洛統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法(即Latin Hypercube Sampling & Monte Carlo Statistical Test，簡(jiǎn)稱“LM”)，根據(jù)給定的洪水頻率總體分布統(tǒng)計(jì)參數(shù)，進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)抽樣生成500個(gè)服從P-Ⅲ型分布的洪水模擬系列，計(jì)算每個(gè)系列的統(tǒng)計(jì)參數(shù)值(Ex、Cv與Cs)和給定頻率P的洪水設(shè)計(jì)值XP，以檢驗(yàn)各種方法的優(yōu)劣[11]。

設(shè)定P-Ⅲ型總體分布參數(shù)的取值Ex=100，Cv=0.3、0.4、0.5，Cs=2.5、3.0、3.75Cv、4Cv、5Cv，見(jiàn)表1。統(tǒng)計(jì)參數(shù)值和頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性及有效性分別以標(biāo)準(zhǔn)平均絕對(duì)誤差(NMAE)和標(biāo)準(zhǔn)均方根誤差(NRMSE)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，見(jiàn)表2。各組方案的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)Ns取500次，樣本容量n取50，設(shè)計(jì)頻率P取1%，0.5%，0.2%，0.1%。

表1 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)選用的洪水頻率分布統(tǒng)計(jì)參數(shù)

表2 參數(shù)估計(jì)方法優(yōu)劣評(píng)價(jià)指標(biāo)及其含義

在各種統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方案中，將古洪水或歷史洪水作為已知，其量級(jí)和考證期均保持不變，分析各統(tǒng)計(jì)參數(shù)方案下的洪水設(shè)計(jì)值變化規(guī)律，設(shè)置6種古洪水和歷史洪水計(jì)算方案如下：①基準(zhǔn)方案U，不考慮古洪水和歷史洪水。②方案A，古洪水個(gè)數(shù)取1個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/1 000設(shè)計(jì)值；歷史洪水個(gè)數(shù)取1個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/150設(shè)計(jì)值。③方案B，古洪水個(gè)數(shù)取1個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/1 000設(shè)計(jì)值；歷史洪水個(gè)數(shù)取2個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/150、P=1/120設(shè)計(jì)值。④方案C，古洪水個(gè)數(shù)取1個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/1 000設(shè)計(jì)值；歷史洪水個(gè)數(shù)取3個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/150、P=1/120、P=1/100設(shè)計(jì)值。⑤方案D，古洪水個(gè)數(shù)取3個(gè)，量級(jí)取P=1/1 000、P=1/900、P=1/800設(shè)計(jì)值；歷史洪水個(gè)數(shù)取1個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/150設(shè)計(jì)值。⑥方案E，古洪水個(gè)數(shù)取3，量級(jí)取頻率P=1/1 000、P=1/900、P=1/800設(shè)計(jì)值；歷史洪水個(gè)數(shù)取2個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/150、P=1/120設(shè)計(jì)值，其考證期N2=150。⑦方案F，古洪水個(gè)數(shù)取3個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/1 000、P=1/900、P=1/800設(shè)計(jì)值；歷史洪水個(gè)數(shù)取3個(gè)，量級(jí)取頻率P=1/150、P=1/120、P=1/100設(shè)計(jì)值。

3 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)

3.1 排位方法

古洪水和歷史洪水的洪水分級(jí)排位方法一：古洪水考證期內(nèi)不進(jìn)行洪水系列排位，各古洪水的重現(xiàn)期等于各自的考證期；歷史洪水考證期內(nèi)進(jìn)行洪水系列排位，各歷史洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算；實(shí)測(cè)洪水期內(nèi)進(jìn)行洪水系列排位，各實(shí)測(cè)洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用錢穆公式計(jì)算。

古洪水和歷史洪水的洪水分級(jí)排位方法二：古洪水考證期內(nèi)進(jìn)行洪水系列排位，各古洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算；歷史洪水考證期內(nèi)進(jìn)行洪水系列排位，各歷史洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算；實(shí)測(cè)洪水期內(nèi)進(jìn)行洪水系列排位，各實(shí)測(cè)洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用錢穆公式計(jì)算。

古洪水和歷史洪水的洪水分級(jí)排位方法三：古洪水考證期內(nèi)進(jìn)行洪水系列排位，各古洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算；歷史洪水考證期內(nèi)進(jìn)行洪水系列排位，各歷史洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用錢穆公式計(jì)算；實(shí)測(cè)洪水期內(nèi)進(jìn)行洪水系列排位，各實(shí)測(cè)洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用錢穆公式計(jì)算。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

(1)參數(shù)值統(tǒng)計(jì)特性。從參數(shù)值的無(wú)偏性來(lái)講，相對(duì)于基本方案U，方案A可以顯著地提高CFO方法的無(wú)偏性；隨著古洪水或歷史洪水個(gè)數(shù)增加，CFO方法的無(wú)偏性變劣，見(jiàn)圖1～3。從參數(shù)值的有效性來(lái)講，相對(duì)于基準(zhǔn)方案U，方案A可以顯著地提高CFO方法的有效性；但是隨著古洪水或歷史洪水個(gè)數(shù)的增加，均會(huì)降低CFO方法的有效性，見(jiàn)圖1～3。

圖1 CFO方法參數(shù)值的無(wú)偏性和有效性(方法一)

圖2 CFO方法參數(shù)值的無(wú)偏性和有效性(方法二)

圖3 CFO方法參數(shù)值的無(wú)偏性和有效性(方法三)

(2)設(shè)計(jì)值統(tǒng)計(jì)特性。從設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性來(lái)講，相對(duì)于基本方案U，方案A可以顯著地提高CFO方法的無(wú)偏性；隨著古洪水或歷史洪水個(gè)數(shù)增加，CFO方法的無(wú)偏性變劣；見(jiàn)圖4～6。從設(shè)計(jì)值的有效性來(lái)講，相對(duì)于基準(zhǔn)方案U，方案A可以顯著地提高CFO方法的有效性；但是隨著古洪水或歷史洪水個(gè)數(shù)的增加，均會(huì)降低CFO方法的有效性；見(jiàn)圖4～6?？紤]古洪水或歷史洪水的CFO方法計(jì)算的設(shè)計(jì)值有效性整體上優(yōu)于沒(méi)有考慮古洪水或歷史洪水的CFO方法。

圖4 CFO方法設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性和有效性(方法一)

圖5 CFO方法設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性和有效性(方法二)

圖6 CFO方法設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性和有效性(方法三)

3.3 對(duì)比分析

從參數(shù)值的無(wú)偏性來(lái)講，3種排位方法的參數(shù)值無(wú)偏性指標(biāo)NMAE分別為-8.06、-0.76、-5.41；參數(shù)值有效性指標(biāo)NRMSE分別為15.89、11.06、13.63，見(jiàn)圖7。由此可見(jiàn)，基于排位方法二的CFO方法在參數(shù)值統(tǒng)計(jì)特性方面最優(yōu)。

圖7 基于3種排位方法的CFO方法的參數(shù)值無(wú)偏性和有效性

從設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性來(lái)講，3種排位方法的設(shè)計(jì)值無(wú)偏性指標(biāo)NMAE分別為0.88、2.35、3.66；設(shè)計(jì)值有效性指標(biāo)NRMSE分別為1.23、2.58、3.72，見(jiàn)圖8。由此可見(jiàn)，基于排位方法一的CFO方法在設(shè)計(jì)值統(tǒng)計(jì)特性方面最優(yōu)。

圖8 基于3種排位方法的CFO方法的設(shè)計(jì)值無(wú)偏性和有效性

綜上所述，從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值和頻率設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性及有效性整體上來(lái)講，基于排位方法二的CFO方法統(tǒng)計(jì)特性方面整體上最優(yōu)。另外，古洪水或歷史洪水的個(gè)數(shù)增加均會(huì)使CFO方法統(tǒng)計(jì)特性變劣。因此，在實(shí)際工作中應(yīng)根據(jù)資料條件開展歷史洪水調(diào)查或古洪水研究工作，重點(diǎn)放在確定首大洪水的量級(jí)和考證期上，以進(jìn)一步提高設(shè)計(jì)洪水成果質(zhì)量。

4 實(shí)例分析

4.1 洪水樣本系列

宜昌水文站位于長(zhǎng)江三峽水利樞紐三斗坪壩址下游約43 km，控制流域面積100.55萬(wàn)km2，占全流域面積的55%，是控制長(zhǎng)江上中游來(lái)水來(lái)沙的咽喉。宜昌站的水文資料觀測(cè)始于1877年4月，其資料系列長(zhǎng)且翔實(shí)，并具有可靠的歷史洪水資料。考慮到三峽水庫(kù)于2003年開始蓄水，采用宜昌站1877年～2002年共計(jì)126 a年最大洪水系列，8次可定量估計(jì)流量的歷史大洪水，以及3次古洪水(包含1870年大洪水)。20世紀(jì)90年代，經(jīng)過(guò)古洪水研究后，距今2 500 a以來(lái)未發(fā)現(xiàn)比1870年更大的洪水，則1870年大洪水的考證期為2 500 a[12]。

4.2 無(wú)歷史洪水的洪水頻率分析

根據(jù)宜昌站1877年～2002年共計(jì)126 a年最大洪水系列，首先采用線性矩法計(jì)算統(tǒng)計(jì)參數(shù)初始值；然后采用基于SCE-UA算法的優(yōu)化適線法，繪點(diǎn)位置采用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算，優(yōu)化變量選取Ex、Cv與Cs/Cv，適線準(zhǔn)則采用離差絕對(duì)值和準(zhǔn)則；不考慮歷史洪水和古洪水的宜昌站洪水頻率曲線見(jiàn)圖9。

圖9 宜昌站洪水頻率曲線示意(實(shí)測(cè)洪水)

4.3 有歷史洪水的洪水頻率分析

將宜昌站126 a實(shí)測(cè)洪水系列、8個(gè)歷史洪水及3個(gè)古洪水(包含1870年大洪水)共同組成一個(gè)非連序洪水系列，進(jìn)行年最大洪水頻率分析計(jì)算。根據(jù)第3節(jié)中3種古洪水和歷史洪水的洪水分級(jí)排位方法，計(jì)算統(tǒng)計(jì)參數(shù)值及洪水設(shè)計(jì)值?？紤]歷史洪水和古洪水的宜昌站洪水頻率曲線見(jiàn)圖10。

圖10 宜昌站洪水頻率曲線示意 (實(shí)測(cè)洪水+歷史洪水+古洪水)

4.4 對(duì)比分析

對(duì)比有無(wú)歷史洪水時(shí)宜昌水文站的統(tǒng)計(jì)參數(shù)值(Ex、Cv、Cs)和設(shè)計(jì)洪水值XP見(jiàn)表3。

由表3可知，基于排位方二的CFO方法計(jì)算的頻率P=1%、0.5%、0.2%、0.1%的洪水設(shè)計(jì)值與不考慮歷史洪水的CFO方法計(jì)算的洪水設(shè)計(jì)值之間相對(duì)百分比平均值為15.4%。這說(shuō)明，加入歷史洪水或古洪水資料后，洪水設(shè)計(jì)值將會(huì)變大。

表3 宜昌站洪水頻率分析計(jì)算成果

5 結(jié) 論

本文研究了古洪水和歷史洪水資料在洪水頻率分析中排位方法對(duì)洪水設(shè)計(jì)值的影響，并分析評(píng)價(jià)了古洪水和歷史洪水對(duì)設(shè)計(jì)洪水的作用，為具有古洪水和歷史洪水資料的非連序洪水樣本系列的洪水頻率分析計(jì)算提供了試驗(yàn)依據(jù)，其研究結(jié)論如下：

(1)考慮古洪水或歷史洪水的CFO方法的統(tǒng)計(jì)特性整體上優(yōu)于不考慮古洪水或歷史洪水的CFO方法，尤其以有效性改善最為顯著；隨著古洪水或歷史洪水個(gè)數(shù)的增加，均會(huì)降低CFO方法的無(wú)偏性、提高有效性。

(2)從統(tǒng)計(jì)參數(shù)值和洪水設(shè)計(jì)值的無(wú)偏性及有效性整體上來(lái)講，基于排位方法二的CFO方法統(tǒng)計(jì)特性方面整體上最優(yōu)；也就是，古洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算，歷史洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算，實(shí)測(cè)洪水的經(jīng)驗(yàn)頻率采用錢穆公式計(jì)算。

(3)在實(shí)際工作中應(yīng)根據(jù)資料條件開展歷史洪水調(diào)查或古洪水研究工作，重點(diǎn)放在確定首大洪水的量級(jí)和考證期上，以進(jìn)一步提高設(shè)計(jì)洪水成果質(zhì)量。