有關(guān)一元二次方程中字母系數(shù)問(wèn)題的求解思路

趙默

一元二次方程中字母系數(shù)的求法，涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，它與一元二次方程的定義、根的定義、根的判別式等都有著緊密的聯(lián)系，是一元二次方程問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn).為了幫助同學(xué)們提高解題效率，現(xiàn)對(duì)一元二次方程中字母系數(shù)的求解思路進(jìn)行歸納說(shuō)明，以供同學(xué)們參考.

一、利用一元二次方程的定義求解

只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，一般形式為 （a ≠ 0）. 根據(jù)一元二次方程的定義求方程中字母系數(shù)的值時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①弄清楚誰(shuí)是未知數(shù);②含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)必須是2;③最高次項(xiàng)的未知數(shù)的系數(shù)不為0.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握未知數(shù)的次數(shù)與系數(shù)是解題關(guān)鍵.

二、利用一元二次方程的根的定義求解

若 m 是關(guān)于 x 的一元二次方程 ax

2 + bx +

c = 0 的一個(gè)根，則可得? 的一個(gè)根，則可得 ;反之，若 ，則 m 是關(guān)于 x 的一元二次方程 的一個(gè)根.這就是一元二次方程的根的定義.當(dāng)已知一元二次方程的一個(gè)根或兩個(gè)根時(shí)，將其帶入原方程，構(gòu)造新的方程或方程組，解方程或方程組即可求得字母系數(shù)的值.

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的根的概念：能使一元二次方程左右兩

邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的根.

三、利用一元二次方程的求根公式求解

將一元二次方程 進(jìn)行配方， 式稱為一元二次方程的求根公式.若題目已知一元二次方程有兩個(gè)根，可將兩個(gè)根用含有字母系數(shù)的求根公式表示出來(lái)，然后根據(jù)根的情況確定字母系數(shù)的值或取值范圍.

例3 已知關(guān)于 x的方程

（1）討論此方程根的情況;

（2）若方程有兩個(gè)整數(shù)根，求正整數(shù) k的值.

分析：（1）由于 k 的值不能確定，故應(yīng)分k + 1=0 和 k + 1 ≠ 0 兩種情況進(jìn)行分類討論;（2）先根據(jù)求根公式用 k 表示出 x 的值，再根據(jù)方程有兩個(gè)整數(shù)根，求出正整數(shù) k的值即可.

解：（1）當(dāng) k= - 1 時(shí)，方程 -4x - 4=0 為一元一次方程，此方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根;

點(diǎn)評(píng)：一元二次方程的根是由系數(shù) a ，b ，c 決定的，求根公式體現(xiàn)了一元二次方程根與系數(shù)最直接的關(guān)系，若已知根的情況就可以求出字母系數(shù)的值.

四、利用一元二次方程的根的判別式求解

一元二次方程 的根的判別式為 .當(dāng) 時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根;當(dāng) 時(shí)，則一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根;當(dāng) 時(shí)，則一元二次方程無(wú)實(shí)根.利用根的情況求字母系數(shù)的值或范圍，一般是利用根的判別式和已知條件列出關(guān)于字母系數(shù)的方程或不等式，然后求解.要注意判別式的應(yīng)用條件，即二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

例 4 已知關(guān)于 x 的一元二次方程（ 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求 k 的取值范圍;

（2）如果此方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，請(qǐng)求出這個(gè)實(shí)數(shù)根.

分析：（1）先根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根知Δ>0，據(jù)此求出 k 的范圍，再結(jié)合一元二次方程的定義和二次根式有意義的條件可得答案;（2）由方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根知Δ=0，據(jù)此求出 k 的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得.

點(diǎn)評(píng)：若已知一元二次方程有實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根，可利用判別式求得字母系數(shù)的取值范圍.若已知一元二次方程有相等實(shí)數(shù)根，可利用判別式求得字母系數(shù)的值.

五、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.已知方程兩根的關(guān)系求字母系數(shù)的值時(shí)，先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系用待定的字母表示兩根之和與兩根之積，然后將已知兩根的關(guān)系式進(jìn)行變形，再將兩根的和與兩根的積整體代入，列出以字母系數(shù)為未知數(shù)的方程，進(jìn)而求出字母系數(shù)的值.

例5 關(guān)于 x的方程 是否存在負(fù)數(shù) k 使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的 k 的值;若不存在，說(shuō)明理由.

所以存在負(fù)數(shù) k = -1，滿足條件.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題的前提條件是方程有實(shí)數(shù)根，即Δ≥0.在利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程中的字母系數(shù)的值時(shí)，必須代入根的判別式中進(jìn)行檢驗(yàn).

六、構(gòu)造二次函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解

一元二次方程與二次函數(shù)是有緊密聯(lián)系的.解二次方程的實(shí)質(zhì)是求二次函數(shù)的零點(diǎn)，反映在圖象上，就是拋物線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值.因此，對(duì)于一元二次方程含字母系數(shù)的問(wèn)題，可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象的直觀性求解.

點(diǎn)評(píng)：可以把一元二次方程看作是二次函數(shù)中的一種特殊情況.根據(jù)一元二次方程根的情況，再利用二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)，可以快速便捷地求出方程中字母系數(shù)的取值范圍.