Partial EIV模型的非負最小二乘方差分量估計

王樂洋，溫貴森

1. 東華理工大學測繪工程學院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌 330013

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Partial EIV模型的非負最小二乘方差分量估計

王樂洋1,2,3，溫貴森1,2

1. 東華理工大學測繪工程學院，江西 南昌 330013； 2. 流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013； 3. 江西省數(shù)字國土重點實驗室，江西 南昌 330013

Partial Errors-in-Variables(Partial EIV)模型是EIV模型的擴展形式，權陣構造簡單，當系數(shù)矩陣中存在非隨機元素和隨機元素時，Partial EIV模型的適用性更強。針對Partial EIV模型中隨機模型不準確的情況，將系數(shù)矩陣和觀測向量分別作為一類數(shù)據(jù)，本文在該模型的基礎上，使用最小二乘方差分量估計方法，推導相關計算公式及迭代算法，分別估計出相應的方差分量估值。并對出現(xiàn)的負方差使用非負最小二乘理論，增加約束條件，對隨機模型進行修正，得到更加合理的參數(shù)估值。試實驗結果表明，本文的方法與其他方差分量估計方法等價。

Partial EIV模型；EIV模型；最小二乘方差分量估計；非負最小二乘

總體最小二乘[1]是顧及了系數(shù)矩陣誤差的平差方法，是Errors-in-Variables(EIV)[2-3]模型的嚴密估計方法。在EIV模型的基礎上，文獻[4]將系數(shù)矩陣中不同的隨機元素提取并作為參數(shù)進行求解，提出了Partial Errors-in-Variables(Partial EIV)模型。文獻[5]將Partial EIV模型進行轉換，進行兩步間接平差法得到參數(shù)估值，在形式上比文獻[4]簡單。文獻[6]分析了Partial EIV模型算法與一般算法的優(yōu)勢分別為：①Partial EIV模型是EIV模型的更一般的表達式；②Partial EIV模型是將系數(shù)矩陣中不同的隨機元素提取并作為參數(shù)進行求解，因此Partial EIV模型系數(shù)矩陣中待改正量的個數(shù)要小于或等于對應EIV模型中待改正量的個數(shù)，提高了計算效率；③便利了后續(xù)的精度評定?？傮w最小二乘法在近年來發(fā)展迅速[7-13]，在平差時隨機模型的不準確對參數(shù)估值有很大的影響，方差分量估計可以對隨機模型進行修正從而得到更加合理的參數(shù)估值。方差分量估計(VCE)方法主要有赫爾默特估計[14-15](Helmert)、最小范數(shù)二次無偏估計[16](MINQUE)、最優(yōu)不變二次無偏估計[17-18](BIQUE)及最小二乘方差分量估計[19-22](LS-VCE)；最小二乘方差分量估計(LS-VCE)方法是Teunissen提出，該方法使用的是最小二乘準則，經(jīng)過轉換將方差分量作為參數(shù)進行解算，得到的方差分量估值具有無偏性，且便利了后續(xù)工作。文獻[20]給出了不同情形下的最小二乘方差分量估計方法并探索其特性。文獻[21]將最小二乘方差分量估計應用于EIV模型中，將加權總體最小二乘參數(shù)解的表達式寫成標準化的最小二乘形式，結合最小二乘方差分量估計方法確定方差分量估值，然而算例部分函數(shù)模型的系數(shù)矩陣既有隨機元素又有非隨機元素，使用更具有一般性的Partial EIV模型解算更具有代表性。與其他方差分量估計方法相似，在計算中可能出現(xiàn)負方差，函數(shù)模型多余觀測量的不足和隨機模型結構的不正當是出現(xiàn)負方差的主要原因，在最小二乘方差分量估計方法的基礎上，文獻[22]結合非負最小二乘理論，將非負最小二乘方差分量估計應用到GPS時間序列中，方差分量估計方法在本質上是相同的。文獻[15]指出由MINQUE可以導出嚴密的Helmert估計公式。文獻[23]針對概括函數(shù)平差模型進行公式推導，總結了不同方差分量估計方法并指出最小二乘方差分量估計方法的一般性，通過公式推導得到了MINQUE、Helmert和BIQUE方法均是最小二乘方差分量估計的特例。相比于其他方法的方差分量計算公式推導，LS-VCE方法過程更加簡單、易于理解、具有較強的應用價值。

本文在文獻[5]參數(shù)估計方法的基礎上，結合最小二乘方差分量估計方法計算系數(shù)矩陣與觀測向量的方差分量估值，在迭代過程中更新協(xié)因數(shù)陣，從而達到修正參數(shù)估值的效果。針對估計中出現(xiàn)的負方差，增加非負約束條件，使用非負最小二乘方差分量估計方法計算方差分量估值。通過算例試驗對本文方法進行驗證，并與已有方差分量估計方法進行比較。與文獻[14]相比，本文方法不需要引入權比因子，在計算參數(shù)估值時迭代次數(shù)要更少，且方便了后續(xù)方差分量估值的精度評定，當計算中出現(xiàn)負方差時，文獻[14]的方法則會出現(xiàn)不可估的現(xiàn)象。與文獻[21]相比，本文方法繼承了原有Partial EIV模型的優(yōu)勢。

1 Partial EIV模型算法

在某些實際應用中，EIV[24-25]模型中系數(shù)矩陣由一些非隨機元素與隨機元素組成，文獻[4]對系數(shù)矩陣進行處理，提取了系數(shù)矩陣中的隨機元素，將EIV模型改寫成Partial EIV模型[4]

函數(shù)模型

(1)

隨機模型

(2)

文獻[5]對式(1)進行變形得到

(3)

將觀測值a作為參數(shù)進行平差，計算得到[5]

(4)

(5)

經(jīng)計算得到[5,26]

(6)

(7)

式中，根據(jù)協(xié)方差傳播律可得到Qy1=QC。進而可得到標準化最小二乘形式的參數(shù)估值表達式[5,26]

(8)

進而得到觀測量估值及殘差[21]

(9)

2 Partial EIV模型的非負最小二乘方差分量估計

2.1 最小二乘方差分量估計

最小二乘方差分量估計[19-23]由Teunissen提出，使用的是最小二乘準則，解算出的方差分量估值具有無偏性；文獻[14]在Partial EIV模型中引入權比因子，使用赫爾默特方差分量估計方法確定權比因子，并通過算例驗證了與其他方差分量估計方法的等價性。文獻[14]在參數(shù)計算過程中使用的是文獻[4]的算法，在表達形式上相對較復雜，且文獻[5]指出該算法收斂較慢，影響計算效率；方差分量估計的本質是相同的，都是對隨機模型進行修正，即修正觀測值的權，從而達到修正參數(shù)估值的效果，最小二乘方差分量估計是更為一般的方差分量估計方法，而且最小二乘方差分量估計有利于后續(xù)對方差分量估值的精度評定及其他方面的應用，如出現(xiàn)負方差時可以增加約束條件使其成為附有約束條件的最小二乘平差，處理出現(xiàn)負方差的情況，而出現(xiàn)負方差時，其他方差分量估計方法會出現(xiàn)不可估的情況。針對總體最小二乘中系數(shù)矩陣與觀測量有不同方差分量的情況，使用LS-VCE對隨機模型進行修正更加合理。

(10)

(11)

式中，協(xié)因數(shù)陣QC如式(5)所示，經(jīng)過相應的變換可以得到方差分量的關系[19-22]為

E(yvh)=Avhσ

(12)

式中，Avh和yvh均表示對矩陣進行vh[21]操作后的矩陣和向量，σ表示方差分量組成的向量。根據(jù)文獻[20]可得

(13)

(14)

式中，nkj、lk分別表示矩陣N,L中的某一元素；Qk、Ql都表示為系數(shù)矩陣或觀測量的協(xié)因數(shù)陣；Q0為已知的矩陣，一般為零矩陣。

在Partial EIV模型中，觀測向量和系數(shù)矩陣在某些情況具有不同的方差分量，對于式(2)的隨機模型存在

(15)

式中，σ1、σ2分別為觀測向量和系數(shù)矩陣誤差的方差分量；Qy1、Qa1為給定的觀測量和系數(shù)矩陣的協(xié)因數(shù)陣。

將式(5)改寫成線性求和形式，即

(16)

Partial EIV模型是顧及了系數(shù)矩陣誤差的總體最小二乘模型，文獻[20]從經(jīng)典的Gauss-Markov模型出發(fā)分析了最小二乘方差分量估計方法，相比于Partial EIV模型的數(shù)學模型，Gauss-Markov的數(shù)學模型可以表示為

(17)

對式(17)進行平差解算可得到參數(shù)的表達式

(18)

誤差向量ey可以表示成多個分量求和的形式。在Partial EIV模型的解算中，式(8)和式(18)與Gauss-Markov模型解算得到的參數(shù)表達式及協(xié)因數(shù)陣的形式相同，這與文獻[21]中EIV模型的最小二乘方差分量估計是一致的。

迭代計算分為參數(shù)估計和方差分量估計，具體的迭代步驟為：數(shù)據(jù)準備：A、y、Qy、Qa、h、a、B、收斂條件ε=10-10。

外循環(huán)：

(3) 用式(15)更新Qy和Qa；設計迭代次數(shù)j=0；

內循環(huán)：

(2) 由式(5)更新QC；

(5) 由式(16)更新QC；

(7) 由式(14)更新N和L，計算σ(i+1)=N-1L，i=i+1；

2.2 非負最小二乘方差分量估計

最小二乘方差分量估計方法是根據(jù)最小二乘準則使得其誤差平方和取最小，與其他方差分量估計方法類似，在進行方差分量解算時也會出現(xiàn)負方差，這與方差分量的自身含義是相互沖突的，出現(xiàn)負方差的原因有兩種[22]：①函數(shù)模型觀測量的不足，即多余觀測量的不足。多余觀測量也叫自由度，增加模型的多余觀測量可以提高數(shù)據(jù)解算精度。②結構不正當?shù)碾S機模型，隨機模型又表現(xiàn)在觀測值的權中，然而觀測數(shù)據(jù)初始的權往往是不精確的，嚴重影響了平差結果的精度。非負最小二乘方法[27-28]是在最小二乘準則下增加非負約束條件而得，在最小二乘方差分量估計的基礎上增加約束條件使得方差分量非負，因此可以將非負最小二乘方差分量估計作為附有約束條件的最小二乘問題，其準則[22,28]為

(19)

(20)

式中，u是拉格朗日乘子，對式(20)求偏導計算得到

ui+1=Nσi+1-L

(21)

(22)

(23)

式中，n(:,k)表示矩陣N的第k列。

由式(23)可以看出，迭代計算出的方差分量估值，若某一分量出現(xiàn)負值，通過式(23)進行約束。非負最小二乘方差分量估計可以當成附有約束條件的最小二乘方差分量估計，其約束條件可以表達成

(24)

在計算參數(shù)協(xié)因數(shù)陣時，根據(jù)附有約束條件的平差方法，由協(xié)因數(shù)傳播律可得到方差分量估值的協(xié)因數(shù)陣為

(25)

具體迭代步驟為：

外循環(huán)：

(3) 用式(14)更新N和L；令σ(0)=0，u(0)=-L；設計迭代次數(shù)j=0；

內循環(huán)：

(1) 用式(22)計算σ(j+1)；式(23)計算u(j+1)；

(2) 更新u(j)=u(j+1)，j=j+1；

(4) 更新σ(i+1)=σ(j+1)，i=i+1；

(7) 由式(25)計算方差分量估值的協(xié)因數(shù)陣。

3 算例與分析

3.1 算例1

數(shù)據(jù)采用文獻[5,21]直線擬合數(shù)據(jù)，已知坐標觀測值(xi,yi)和相應的權值(pxi,pyi)，見表1。

表1 坐標觀測值及相應的權值[5,21]

Tab.1 Coordinate observations and corresponding weights[5,21]

點號觀測數(shù)據(jù)權值yixipyipxi15．90．01．01000．025．40．91．81000．034．41．84．0500．044．62．68．0800．053．53．320．0200．063．74．420．080．072．85．270．060．082．86．170．020．092．46．5100．01．8101．57．4500．01．0

直線擬合的模型[5,21]為

(26)

[ξ1ξ2]T為待估參數(shù)，直線擬合模型是常見的含有非隨機元素與隨機元素的模型，在使用Partial EIV模型進行解算時還需要給出向量h和固定矩陣B，由式(26)可知，向量h和矩陣B的形式為

(27)

表2 算例1中不同方法的解算結果

圖1 算例1的方差分量估值變化圖Fig.1 The changes of estimates variance components of the first example

文獻[14]與文獻[15]推導了方差分量估值的方差公式為

(28)

(29)

方差分量估計是針對隨機模型不準確進而修正隨機模型并再次平差的方法，本文以Partial EIV模型為基礎的的最小二乘方差分量估計方法重新確定了兩類觀測值的權陣，得到的權值見表3，可以發(fā)現(xiàn)與文獻[14]和文獻[21]重新確定的權值是相等的。

表3 修正后的觀測值權值

3.2 算例2

模擬一個二維仿射變換，對文獻[29]的數(shù)據(jù)進行改化，已知6個轉換參數(shù)真值a1=0.9，b1=-0.8，c1=1，a2=0.6，b2=0.7，c2=0.5和原始坐標、目標坐標的真值，相應的協(xié)因數(shù)陣為Qa=0.005·diag([1 1 2 2 3 3 1 1 5 5 4 4 2 2 7 7 1 1 8 8 3 3 6 6]T)，Qy=0.005·diag([1 1 3 3 6 6 1 1 1 1 8 8 4 4 3 3 6 6 5 5 4 4 5 5 2 2]T)，用Matlab軟件mvnrnd函數(shù)給真值加上均值為0，協(xié)方差分別為Qy和3Qa的隨機誤差，得到隨機一組坐標值見表4。

表4 原始坐標和目標坐標模擬坐標值

二維仿射變換模型[29]為

(30)

表4中提供了26組坐標，向量h和確定矩陣B、y、a的形式分別為

(31)

圖2 算例2的方差分量估值變化圖Fig.2 The changes of estimates variance components of the second example

LSVCENNLSVCE＾σ2t-0．39928613740．2272864028＾σ2s4．82001357904．2378998227var(＾σ2t)2．4171895145var(＾σ2s)5．6349152342

圖中，LS-VCE的迭代次數(shù)都為37次，NNLSVCE的迭代次數(shù)為14次，而在使用文獻[14]方法進行求解時，因為方差分量出現(xiàn)負值的現(xiàn)象，計算時則出現(xiàn)不收斂的情況。

3.3 算例分析

(1) 由表2可以看出本文方法與文獻[14、21]得到的待估參數(shù)結果及方差分量估值相等，對應的方差分量估值方差也相等，圖1顯示了方差分量估值的變化圖，兩種方法的迭代次數(shù)都為21次，表3顯示了修正方差分量所對應的權值。在不考慮方差分量估計情況下，文獻[5]的參數(shù)估計需要迭代7次，文獻[30]需要迭代8次；文獻[14]計算中進行參數(shù)估計時需要迭代267次，而本文只需要94次，在一定程度提高了計算效率，且在計算方差時本文只需要根據(jù)協(xié)方差傳播律獲得，如式(25)，相對更簡單。

(2) 用最小二乘方法計算算例2方差分量估值時出現(xiàn)負值，而文獻[14]的方法則出現(xiàn)不可估的情況，使用非負最小二乘理論得到的方差分量估值變化圖見圖2。在非負約束下，通過解算其余方差分量估值從而達到準則下的整體最優(yōu)解。非負最小二乘方差分量估計可以看成為附有限制條件的間接平差，在結合LS-VCE后，非負方差分量估計實質上就為非負最小二乘估計，因此本文方法與文獻[22]方法是等價的。

(3) Partial EIV模型是將系數(shù)矩陣中的重復的隨機元素提取，使得模型需要改正的待改正量個數(shù)相對更少。對于Partial EIV模型的隨機模型，其協(xié)因數(shù)陣構造簡單，更具有一般性的Partial EIV模型在解算海量數(shù)據(jù)時更能體現(xiàn)其優(yōu)勢。在式(5)計算協(xié)因數(shù)陣時，BQaBT與EIV模型的系數(shù)矩陣的協(xié)因數(shù)陣QA相等，與文獻[30]求解公式一致，相應的在進行方差分量估計時是等價的。

4 結 論

本文以Partial EIV模型為基礎，當觀測數(shù)據(jù)的隨機模型不準確時，結合最小二乘方差分量估計方法對隨機模型進行修正，推導了以Parial EIV模型為基礎的最小二乘方差分量估計公式，將觀測向量誤差和系數(shù)矩陣誤差分別作為一類數(shù)據(jù)，從而計算出兩個方差分量估值；并且當方差分量估值出現(xiàn)負的時候，使用非負最小二乘理論，增加非負約束條件，可以處理方差分量出現(xiàn)負值的現(xiàn)象。計算過程分為參數(shù)估計與方差分量估計，Partial EIV模型的優(yōu)勢是減少了待估參數(shù)的個數(shù)，如算例1直線擬合在不考慮方差分量估計時Partial EIV模型解算的迭代次數(shù)比EIV模型少，雖然對Partial EIV模型進行解算之后參數(shù)的表達式與文獻[29]等價，但是使用更具一般性的Partial EIV模型更能體現(xiàn)其代表性。將Partial EIV模型與最小二乘方差分量估計結合可以得到與EIV模型一樣的結果，但在參數(shù)估計上使用Partial EIV模型一定程度上提高運算效率，該方法繼承了Partial EIV模型原有的優(yōu)點，對總體最小二乘理論進行了必要的完善。本文只討論了Partial EIV模型系數(shù)矩陣與觀測向量不相關時出現(xiàn)負方差的處理，而針對相關觀測情況及負方差產(chǎn)生的具體原因及分析是今后需要研究的工作。

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(責任編輯：陳品馨)

Non-negative Least Squares Variance Component Estimation of Partial EIV Model

WANG Leyang1,2,3,WEN Guisen1,2

1. Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang 330013, China; 2. Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring, NASG, Nanchang 330013, China; 3. Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province, Nanchang 330013, China

As an extended form of the errors-in-variables (EIV) model, and the weight matrix is easy to structure, the applicability is stronger when both non-random elements and random elements exist in the coefficient matrix. According to the inaccurate stochastic model in the Partial EIV model, the coefficient matrix and observation vector are used as a kind of data respectively. The least squares variance component estimation method based on Partial EIV model is used and the relevant calculated formulas and iterative algorithm are derived. Then the corresponded variance components are estimated. The non-negative least squares is used when the negative variance appears, then add constraint condition to correct the rand model, so the estimated parameters are more reasonable. The experiments show that the results obtained by the method of this paper and other methods are equivalent.

Partial EIV model; EIV model; least squares variance component estimation; non-negative least squares

National Natural Science Foundation of China (Nos.41664001; 41204003); Support Program for Outstanding Youth Talents in Jiangxi Province (No.20162BCB23050); National Key Research and Development Program(No.2016YFB0501405); Science and Technology Project of the Education Department of Jiangxi Province (No.GJJ150595); the Project of Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province(No.DLLJ201705); Innovation Fund Designated for Graduate Students of ECUT(No.DHYC-2016005)

WANG Leyang (1983—), male, PhD, associate professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing.

王樂洋，溫貴森.Partial EIV模型的非負最小二乘方差分量估計[J].測繪學報，2017,46(7)：857-865.

10.11947/j.AGCS.2017.20160501. WANG Leyang,WEN Guisen.Non-negative Least Squares Variance Component Estimation of Partial EIV Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(7):857-865. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160501.

P228

A

1001-1595(2017)07-0857-09

國家自然科學基金(41664001;41204003)；江西省杰出青年人才資助計劃項目(20162BCB23050)；國家重點研發(fā)計劃(2016YFB0501405)；江西省教育廳科技項目(GJJ150595)；江西省數(shù)字國土重點實驗室開放研究基金資助項目(DLLJ201705)；東華理工大學研究生創(chuàng)新專項資金資助項目(DHYC-2016005)

2016-10-11

王樂洋(1983—)，男，博士，副教授，主要研究方向為大地測量反演及大地測量數(shù)據(jù)處理。

E-mail： wleyang@163.com

修回日期： 2017-05-27