具有不確定性平差算法

王志忠，陳丹華，宋迎春

1. 中南大學(xué)地球信息科學(xué)與物理學(xué)院，湖南 長沙 410083； 2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410083

?

具有不確定性平差算法

王志忠1,2，陳丹華2，宋迎春1

1. 中南大學(xué)地球信息科學(xué)與物理學(xué)院，湖南 長沙 410083； 2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410083

觀測不確定性常常影響參數(shù)估計的有效性。將不確定度作為參數(shù)融入平差模型，可以有效地降低不確定性的影響。本文提出有界不確定性誤差約束下，隨機(jī)誤差與不確定性誤差平方和最小的平差準(zhǔn)則，并給出了一個不確定性平差模型迭代算法。通過仿真實例，對不確定性最小二乘法與總體最小二乘法進(jìn)行了比較。結(jié)果顯示：在一定程度上，不確定性最小二乘方法的估計結(jié)果要略優(yōu)于總體最小二乘方法，且在不確定性較大時，該方法有較好的適用性。

平差模型；平差準(zhǔn)則；不確定性；總體最小二乘估計；先驗信息

測繪數(shù)據(jù)獲取過程中，常存在復(fù)雜的不確定性[1]，它通常以不確定信息形式表現(xiàn)出來。它比一般的噪聲更復(fù)雜，其分布、均值和方差等統(tǒng)計特性不清楚[2]，描述非常困難。不確定度是對不確定性的一種度量，它可以用方差、均方差、誤差區(qū)間、誤差橢圓、誤差橢球來表示[3,4]。在測繪數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域，應(yīng)用不確定度理論，研究不確定度評定方法，尋找減小不確定度的算法等已成為研究熱點[5-10]。文獻(xiàn)[11—13]對測量不確定度理論進(jìn)行了研究，拓展了測量平差數(shù)據(jù)處理的理論與方法。整體平差算法也可以看成是對于不確定性平差算法的一種探索，它在一定程度上減弱了不確定性因素的影響[14-18]。由于不確定性的統(tǒng)計信息(如均值和方差等)和概率分布函數(shù)無法確定，人為地確定它們的統(tǒng)計性質(zhì)本身就在增加新的不確定性，從而影響參數(shù)估計的可靠性[19-20]。

利用先驗信息來抑制不確定性是不確定性觀測數(shù)據(jù)平差的有效方法，但是，測繪工程中基于先驗信息的平差算法比較復(fù)雜[21]。文獻(xiàn)[22]直接將不確定度作為一個參數(shù)融入函數(shù)模型中，建立min-max平差準(zhǔn)則，即讓殘差中的最大不確定性達(dá)到最小，從而使得參數(shù)解中的不確定性達(dá)到最小化，在算法中對不確定度進(jìn)行抑制，引入嶺參數(shù)對模型進(jìn)行求解，得到了較好的效果。本文在該方法的基礎(chǔ)上，基于隨機(jī)誤差和不確定性誤差平方和最小的新平差準(zhǔn)則，提出了一種新的迭代求解算法，簡化了文獻(xiàn)[22]中的算法，同時也避免了迭代不收斂的情況。

1 不確定性平差模型及平差準(zhǔn)則

考慮更廣一類平差模型，即不確定性平差模型

(1a)

(1b)

不確定性誤差的有界性可看成是A和L已知的先驗信息。不確定性往往不具有統(tǒng)計性質(zhì)，可以用區(qū)間來評定。文獻(xiàn)[22]中，分別用以A、L為圓心，α、β為半徑的圓來描述A、L的不確定性，本文沿用此種方法；在文獻(xiàn)[22]中，采用min-max準(zhǔn)則對有界不確定性平差模型進(jìn)行解算，該準(zhǔn)則的缺點是不能用觀測信息和先驗有界信息估計不確定誤差ΔA和ΔL，同時，未知參數(shù)X的估計結(jié)果中不含不確定度β，即不確定誤差ΔL對平差解算結(jié)果沒有影響。為了解決這個問題，本文建立了在有界不確定性誤差約束下隨機(jī)誤差和不確定性誤差平方和最小準(zhǔn)則，簡稱為不確定性最小二乘準(zhǔn)則，即

(2a)

s.t.

(2b)

(2c)

參照文獻(xiàn)[13]中對帶線性不等式約束平差模型的簡單算法及文獻(xiàn)[25—26]中解算總體最小二乘問題的Euler-Lagrange逼近法，本文引入Lagrange乘子，結(jié)合庫恩-塔克條件，對上述二次規(guī)劃問題進(jìn)行求解。

應(yīng)用廣義Lagrange法構(gòu)造如式(3)所示的目標(biāo)函數(shù)

(3)

式中，λ、μ≥0、u≥0都是Lagrange乘子。不確定性最小二乘估計由庫恩-塔克條件確定，即

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

(4e)

(4f)

(4g)

式中，?表示Kronecker積；μ≥0；u≥0。將式(4a)、式(4b)和式(4d)代入式(4g)，整理得到

(5)

由式(4a)、式(5)可得

(6)

由式(5)可得到法方程式

(7)

將式(4c)和式(6)代入式(7)整理得

(8)

式中

(9)

由式(8)變形得到

(10)

將式(6)代入式(4d)得

(11)

將式(6)代入式(4b)得到

(12)

(1)μ>0，u>0。由式(4e)和(4f)得

(13a)

(13b)

由式(13)解方程組得

(14a)

(14b)

將μ和u代入式(11)和式(12)可得到不確定性ΔL和ΔA。

(15)

不確定性ΔL和ΔA可表示為

(16a)

(16b)

式中，u由式(15)確定。

(3)μ>0，u=0(u<0視為u=0)。由式(7)解方程得

(17)

不確定性ΔL和ΔA可表示為

(18a)

(18b)

式中，μ由式(17)確定。

(4)μ=0(μ<0視為μ=0)，u=0(u<0視為u=0)，不確定性ΔL和ΔA可表示為

(19a)

(19b)

(20)

(21)

式中

(22)

由式(4a)和式(5)可得到

(23)

將式(23)代入式(22)和式(9)得到

(24)

(25)

將式(24)和式(25)代入式(21)得到

(26)

(27)

(28)

此時，迭代算法是收斂的。

在上述不確定性平差模型中，若假設(shè)β=0，α→+∞，即為總體最小二乘模型，由(4e)有μ=0，μ*=1，再由式(15)有，u=+∞，u*=0。式(8)簡化為

(29)

與文獻(xiàn)[25]中式(3.3.27)一致。

2 不確定性平差模型解算方法

不確定性平差問題求解采用不確定性最小二乘逼近法。

輸入：系數(shù)矩陣A，觀測值L，不確定度α和β，精度要求為ε。

step 1：選定初始值V(0)=0,μ(0)=0,u(0)=0，置k=0。

如果μ=0,u=0

置μ(k+1)=0,u(k+1)=0。

step 5：計算

step 6：計算

3 不確定性平差模型解算與分析

為了檢驗算法的有效性，本文以2D仿射變換的數(shù)學(xué)模型為例進(jìn)行模擬分析。建立如下的2D仿射變換不確定性平差模型

假定變換參數(shù)的真實值為X=[0.8-0.521]，無誤差的觀測數(shù)據(jù)，即坐標(biāo)真實值如表1所示。

表1 無誤差觀測數(shù)據(jù)

考慮到觀測誤差的存在，利用Matlab數(shù)學(xué)軟件，隨機(jī)生成服從N(0,0.193 8)的相對誤差序列，即保證相對誤差以99%的概率落在[-50%,50%]的區(qū)間內(nèi)，不確定度α=4.77、β=9.90，由此得到絕對誤差Δat、Δbt、Δas、Δbs，由真實值加上絕對誤差計算得到帶不確定性的觀測數(shù)據(jù)，見表2。雖然從模擬數(shù)據(jù)中生成了不確定性誤差ΔA、ΔL，但算法認(rèn)為它們是未知的。本文采用總體最小二乘方法(total least-squares,TLS)和不確定性最小二乘方法(uncertainty least-squares,ULS)進(jìn)行參數(shù)求解，并分析和比較兩種方法的效果。

表2 帶不確定性觀測數(shù)據(jù)

圖1 TLS與ULS擬合結(jié)果Fig.1 TLS and ULS fitting results

為檢驗不確定性最小二乘方法的適用性，本文對上述實驗獨立重復(fù)進(jìn)行1000次，得到該方法優(yōu)于總體最小二乘方法的概率為0.531。同時，經(jīng)本文研究發(fā)現(xiàn)，不確定性的大小對實驗結(jié)果有一定影響。在不同的相對誤差下，重新計算α、β的大小，進(jìn)行上述試驗，得到不確定性最小二乘方法優(yōu)于總體最小二乘方法的概率p、不確定性最小二乘估計結(jié)果的誤差error與β取值大小的關(guān)系見表3及圖2。從圖2可以看出，不確定性越大，不確定性最小二乘方法優(yōu)于總體最小二乘方法的概率越高。

圖2 ULS估計結(jié)果性質(zhì)Fig.2 Character of ULS estimate results

Tab.3 The relationship between ULS estimate results and uncertainty

4 結(jié) 論

在測量數(shù)據(jù)的獲取過程中，經(jīng)常存在不確定性，影響參數(shù)估計的可靠性。目前的測量平差方法是基于“觀測值的不確定性就是隨機(jī)性”這一基本假設(shè)的，實際測量工程中有許多不同于隨機(jī)誤差的不確定性因素。擴(kuò)展誤差理論與測量平差方法處理測量數(shù)據(jù)中的不確定度，必須對觀測中不確定性因素進(jìn)行數(shù)值化、參數(shù)化，把它們?nèi)谌肫讲钅Ｐ椭?，這需要有理論和方法上的突破。

本文將不確定性作為參數(shù)融入函數(shù)模型中，將不確定信息轉(zhuǎn)化為先驗約束信息，利用殘差中不確定性傳播規(guī)律，建立了一種有界不確定性誤差約束下隨機(jī)誤差和不確定性誤差平方和最小的平差準(zhǔn)則，并用迭代算法得到了不確定性平差模型的解算方法，稱為不確定性最小二乘方法。本文通過仿真實例求解，對總體最小二乘方法和不確定性最小二乘方法的估計結(jié)果進(jìn)行了比較，認(rèn)為在一定程度上，不確定性最小二乘方法的估計結(jié)果要優(yōu)于總體最小二乘方法，并且在不確定性較小時，該方法有較好的估計精度。

[1] 楊元喜. 衛(wèi)星導(dǎo)航的不確定性、不確定度與精度若干注記[J]. 測繪學(xué)報, 2012, 41(5): 646-650. YANG Yuanxi. Some Notes on Uncertainty, Uncertainty Measure and Accuracy in Satellite Navigation[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2012, 41(5): 646-650.

[2] BRAVO J M, ALAMO T, REDONDO M J, et al. An Algorithm for Bounded-error Identification of Nonlinear Systems Based on DC Functions[J]. Automatica, 2008, 44(2): 437-444.

[3] Bureau International des Poids et Mesures. JCGM 104: 2009. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement[S]. Berne: Bureau International des Poids et Mesures, 1993.

[4] 鄒永剛, 翟京生, 劉雁春, 等. 利用不確定度的海底數(shù)字高程模型構(gòu)建[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版), 2011, 36(8): 964-968. ZOU Yonggang, ZHAI Jingsheng, LIU Yanchun, et al. Seabed DEM Construction Based on Uncertainty[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2011, 36(8): 964-968.

[5] 史玉峰, 史文中, 靳奉祥. GIS中空間數(shù)據(jù)不確定性的混合熵模型研究[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版), 2006, 31(1): 82-85. SHI Yufeng, SHI Wenzhong, JIN Fengxiang. Hybrid Entropy Model of Spatial Data Uncertainty in GIS[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2006, 31(1): 82-85.

[6] 張正祿, 范國慶, 張松林, 等. 測量的廣義可靠性研究[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版), 2012, 37(5): 577-581. ZHANG Zhenglu, FAN Guoqing, ZHANG Songlin, et al. General Reliability of Measurement[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2012, 37(5): 577-581.

[7] 賈帥東, 張立華, 宋國大, 等. 基于區(qū)域平均垂直不確定度的自適應(yīng)網(wǎng)格水深建模方法[J]. 測繪學(xué)報, 2012, 41(3): 454-460. JIA Shuaidong, ZHANG Lihua, SONG Guoda, et al. A Method for Constructing an Adaptive Grid Digital Depth Model Based on Mean Vertical Uncertainty of Area[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2012, 41(3): 454-460.

[8] 陳偉. 最小不確定度估計理論及其應(yīng)用[D]. 武漢: 武漢大學(xué), 2005. CHEN Wei. Least Uncertainty Estimation Theory with Applications[D]. Wuhan: Wuhan University, 2005.

[9] 陳偉, 王新洲. 最小不確定度估計原理及其病態(tài)問題解法研究[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版), 2008, 33(7): 752-754. CHEN Wei, WANG Xinzhou. Least Uncertainty Estimation Theory and Its Applications to Resolving Morbid Problems[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2008, 33(7): 752-754.

[10] 王新洲. 最小不確定度約束下的極大可能性估計[J]. 測繪工程, 2003, 12(1): 5-8. WANG Xinzhou. Maximum Possibility Estimation Restricted by Least Uncertainty[J]. Engineering of Surveying and Mapping, 2003, 12(1): 5-8.

[11] 陶本藻. 精確度和不確定度估計及應(yīng)用[J]. 勘察科學(xué)技術(shù), 2003(5): 24-27. TAO Benzao. Estimation of Accuracy and Uncertainty and Its Application[J]. Site Investigation Science and Technology, 2003(5): 24-27.

[12] 楊元喜. 關(guān)于“新的點位誤差度量”的討論[J]. 測繪學(xué)報, 2009, 38(3): 280-282. YANG Yuanxi. Discussion on “A New Measure of Positional Error”[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2009, 38(3): 280-282.

[13] 宋迎春, 左廷英, 朱建軍. 帶有線性不等式約束平差模型的算法研究[J]. 測繪學(xué)報, 2008, 37(4): 433-437. SONG Yingchun, ZUO Tingying, ZHU Jianjun. Research on Algorithm of Adjustment Model with Linear Inequality Constrained Parameters[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2008, 37(4): 433-437.

[15] SCHAFFRIN B, WIESER A. On Weighted Total Least-squares Adjustment for Linear Regression[J]. Journal of Geodesy, 2008, 82(7): 415-421.

[16] 邱衛(wèi)寧, 齊公玉, 田豐瑞. 整體最小二乘求解線性模型的改進(jìn)算法[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版), 2010, 35(6): 708-710. QIU Weining, QI Gongyu, TIAN Fengrui. An Improved Algorithm of Total Least Squares for Linear Models[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2010, 35(6): 708-710.

[17] 孔建, 姚宜斌, 吳寒. 整體最小二乘的迭代解法[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版), 2010, 35(6): 711-714. KONG Jian, YAO Yibin, WU Han. Iterative Method for Total Least-squares[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2010, 35(6): 711-714.

[18] FANG Xing. Weighted Total Least Squares: Necessary and Sufficient Conditions, Fixed and Random Parameters[J]. Journal of Geodesy, 2013, 87(8): 733-749.

[19] EL GHAOUI L, LEBRET H. Robust Solutions to Least-squares Problems with Uncertain Data[J]. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 1997, 18(4): 1035-1064.

[20] CHANDRASEKARAN S, GOLUB G H, GU M, et al. Parameter Estimation in the Presence of Bounded Data Uncertainties[J]. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 1998, 19(1): 235-252.

[21] 宋迎春, 金昊, 崔先強(qiáng). 帶有不確定性的觀測數(shù)據(jù)平差解算方法[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版), 2014, 39(7): 788-792. SONG Yingchun, JIN Hao, CUI Xianqiang. Adjustment Algorithm about Observation Data with Uncertain[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2014, 39(7): 788-792.

[22] 宋迎春, 謝雪梅, 陳曉林. 不確定性平差模型的平差準(zhǔn)則與解算方法[J]. 測繪學(xué)報, 2015, 44(2): 135-141. DOI: 10.11947/j.AGCS.2015.20130213. SONG Yingchun, XIE Xuemei, CHEN Xiaolin. Adjustment Criterion and Algorithm in Adjustment Model with Uncertain[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2015, 44(2): 135-141. DOI: 10.11947/j.AGCS.2015.20130213.

[23] 王志忠, 朱建軍. 污染模型下的最優(yōu)估計[J]. 測繪學(xué)報, 1999, 28(1): 51-56. WANG Zhizhong, ZHU Jianjun. Optimal Estimation under Contaminated Error Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 1999, 28(1): 51-56.

[24] 朱建軍. 污染誤差模型下的測量數(shù)據(jù)處理理論[D]. 長沙: 中南工業(yè)大學(xué), 1998. ZHU Jianjun. The Theory of Surveying Adjustment under Contaminated Error Model[D]. Changsha: Central South University of Technology, 1998.

[25] 魯鐵定. 總體最小二乘平差理論及其在測繪數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[D]. 武漢: 武漢大學(xué), 2010. LU Tieding. Research on the Total Least Squares and Its Applications in Surveying Data Processing[D]. Wuhan: Wuhan University, 2010.

[26] SCHAFFRIN B, FELUS Y A. On Total Least-squares Adjustment with Constraints[M]∥SANSF. A Window on the Future of Geodesy. Berlin: Springer, 2005: 417-421.

[27] SCHAFFRIN B, LEE I P, FELUS YA, et al. Total Least-squares (TLS) for Geodetic Straight-line and Plane Adjustment[J]. Bollettino di Geodesia e Scienze Affini, 2006, 65(3): 141-168.

(責(zé)任編輯：叢樹平)

An Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty

WANG Zhizhong1,2，CHEN Danhua2，SONG Yingchun1

1. School of Geosciences and Info-physic, Central South University, Changsha 410083, China；2. School of Mathamatic and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China

The uncertainty of observation often affects the validity of parameter estimation, and the effects of uncertainty can be reduced effectively by incorporating uncertainty into the adjustment model as an observation error parameter. An adjustment criterion is proposed under the bound constrain of uncertainty, in which the sum of squares of random error and uncertainty error should be minimized, and provided an iteration algorithm to solve the adjustment model. With simulation examples, the estimation results of uncertainty least-square method are compared with that of total least-square method. The results show that the estimation results of uncertainty least-square method are better than that of total least-square method to a certain extent and more applicable when uncertainty is greater.

adjustment model；adjustment criterion；uncertainty；total least-squares estimation；prior information

The National Natural Science Foundation of China (No. 41574006)

WANG Zhizhong(1963—)，male, PhD, PhD supervisor, majors in surveying data processing.

SONG Yingchun

王志忠，陳丹華，宋迎春.具有不確定性平差算法[J].測繪學(xué)報，2017,46(7)：834-840.

10.11947/j.AGCS.2017.20160522. WANG Zhizhong，CHEN Danhua，SONG Yingchun.An Algorithm in Adjustment Model with Uncertainty[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2017,46(7):834-840. DOI:10.11947/j.AGCS.2017.20160522.

P207

A

1001-1595(2017)07-0834-07

國家自然科學(xué)基金(41574006)

2016-10-12

王志忠(1963—)，男，博士，博士生導(dǎo)師，研究方向為測量數(shù)據(jù)處理。

E-mail： wzz8713761@163.com

宋迎春

E-mail： csusyc@csu.edu.cn

修回日期： 2017-02-27