基于混合蟻群算法的小波逼近

謝喜云 李宏民 李 文 曾 靖

1(湖南理工學(xué)院信息與通信工程學(xué)院 湖南 岳陽 414006)2(湖南理工學(xué)院物理與電子學(xué)院 湖南 岳陽 414006)

0 引 言

短時傅里葉變換(STFT)是分析非平穩(wěn)信號的常用方法，其基本思路是給信號加等長的時間窗，但窗長度難以確定，太長導(dǎo)致時間分辨率差，太短造成頻率分辨率低。針對STFT處理非平穩(wěn)信號中的不足，具有多分辨率分析特點(diǎn)的小波變換技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。小波變換是一種分析與處理非平穩(wěn)信號的理想工具，被廣泛應(yīng)用于信號處理領(lǐng)域。傳統(tǒng)小波變換采用數(shù)字方法實現(xiàn)，但其存在運(yùn)算量大而難以滿足實時性要求，同時需要A/D轉(zhuǎn)換，造成功耗高等缺點(diǎn)。為滿足低功耗、低電壓和實時性等應(yīng)用要求需要，研究模擬電路實現(xiàn)小波變換具有重要意義。

文獻(xiàn)[1-7]已利用模擬電路技術(shù)實現(xiàn)了小波變換，其首要任務(wù)是小波函數(shù)的逼近，逼近精度決定電路實現(xiàn)的質(zhì)量?？梢灾苯拥玫筋l域傳遞函數(shù)的頻域逼近法在實際應(yīng)用中較簡便，但逼近方法少。時域逼近法較多，獲得的逼近函數(shù)經(jīng)過H(s)變換后獲得頻域函數(shù)。文獻(xiàn)[8]提出了基于Pade變換的小波函數(shù)逼近法，該方法簡單且在頻域逼近中應(yīng)用廣泛。但存在以下問題，限制了其實用性：(1) Pade逼近法難以確定最優(yōu)逼近點(diǎn)s0，如果未選擇到合適的逼近點(diǎn)，會導(dǎo)致逼近效果差；(2) 有理函數(shù)的分子和分母中，多項式的次數(shù)不易選擇，難以確保逼近系統(tǒng)的穩(wěn)定性；(3) 時域和頻域的誤差精度無法同時保證。文獻(xiàn)[9]提出了基于L2的時域逼近法，該法在很多程度上克服了Pade逼近法現(xiàn)有的諸多缺陷，在時域優(yōu)化中，可以獲得較好精度的小波逼近函數(shù)。但該方法也存在不足：(1) 計算比較復(fù)雜；(2) 采用了局部最優(yōu)算法最小二乘法，初始值的選擇比較關(guān)鍵，否則容易陷入局部最優(yōu)。

針對上述文獻(xiàn)中小波函數(shù)逼近法出現(xiàn)的問題，文獻(xiàn)[2]提出了混合遺傳算法的小波逼近，不僅加快了收斂速度且在一定程度上提高了精度；文獻(xiàn)[6]提出基于改進(jìn)差分算法的小波逼近方法，但對于多峰值的小波函數(shù)而言，逼近效果較差。為了進(jìn)一步豐富小波逼近方法，得到更高精度的小波逼近函數(shù)，本文提出基于混合蟻群算法的小波逼近法?；旌舷伻核惴ㄊ墙鉀Q全局優(yōu)化問題的有效方法之一，該算法以一種用于快速全局優(yōu)化的蟻群算法[10]搜索全局最優(yōu)值，將該值作為SQP(序列二次規(guī)劃)的初始值，再用SQP精細(xì)搜索得到最優(yōu)解。利用混合蟻群算法，逼近的小波函數(shù)具有更好的精度。

1 小波變換原理

設(shè)小波基函數(shù)為ψ(t)，輸入信號f(t)∈L2(R)，及f(t)為平方可積函數(shù)，那么f(t)的連續(xù)小波變換(CWT)定義為：

(1)

式中：ψ*(t)是ψ(t)的復(fù)共軛，可以看出，小波變換包含兩個連續(xù)變量a和τ。其中：a為尺度因子，控制小波函數(shù)的伸縮，縮放得窄對應(yīng)高頻，提供隱藏在信號中的詳細(xì)信息，擴(kuò)展得寬對應(yīng)低頻并提供信號的全局信息；τ為平移因子，控制小波函數(shù)的平移。即尺度a對應(yīng)于頻率信息，平移量τ對應(yīng)于時間信息。根據(jù)模擬濾波器理論可知，式(1)可以看成是信號f(t)與小波基ψ(t)的卷積運(yùn)算。

只有小波變換逆變換存在時，小波變換(WT)才有意義，因此母小波要滿足容許條件：

(2)

從容許條件可推出Ψ(0)=0，即式(2)的同等條件為：

(3)

式中：Ψ(w)是ψ(t)的傅里葉變換。式(3)說明小波基函數(shù)必為震蕩波形且ψ(t)的平均值為零，這就是ψ(t)被稱為“小波”的原因。從頻域中看，容許條件的約束使得小波基的傅里葉變換具有帶通性質(zhì)，即小波函數(shù)在頻域相當(dāng)于帶通濾波器。如果輸入信號f(t)經(jīng)過濾波器后，相當(dāng)于f(t)與濾波器沖激響應(yīng)h(t)做卷積運(yùn)算，得到的輸出信號可表示為：

(4)

為清晰觀察和對比式(1)和(4)，對兩式做一定的數(shù)學(xué)變換，式(4)中，t和τ都表示連續(xù)變量，只是寫法不同，沒有本質(zhì)區(qū)別，因此將兩變量調(diào)換得：

(5)

同時，式(1)可以寫成：

(6)

從式(5)和式(6)可知，不同尺度a下的小波變換可看成是信號f(t)通過沖激響應(yīng)為h(t)的小波濾波器后的輸出：

(7)

只有滿足因果性的系統(tǒng)才可以用模擬電路實現(xiàn)。通常小波基函數(shù)都無因果性，因此必須將小波基做時移操作，使其具有因果性。模擬電路實現(xiàn)小波變換是一個近似的結(jié)果，誤差大小取決于對時延小波基函數(shù)的逼近程度，因此尋找小波基逼近函數(shù)非常關(guān)鍵。

2 混合蟻群算法的模擬小波基構(gòu)造

2.1 構(gòu)造模擬小波基的優(yōu)化模型

(8)

式(8)的最小化即最小均方誤差準(zhǔn)則下的連續(xù)時間模型：

(9)

根據(jù)線性系統(tǒng)理論可知，在時域中，有限階n的因果線性濾波器可以由脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)表示，其拉普拉斯變換為H(s)。對于具有不同極點(diǎn)的穩(wěn)定系統(tǒng)，一般情況下，沖激響應(yīng)h(t)可以寫成衰減指數(shù)信號和和指數(shù)衰減諧波信號線形組合的形式。因而對于低階次的系統(tǒng)而言，采用通用的h(t)表達(dá)式便于逼近小波函數(shù)。例如，N階濾波器沖激響應(yīng)h(t)可以寫成以下形式：

k+2m=N,t≥0

(10)

式中:ai,bi,cj,dj,fj和wj為實數(shù)，在式(3)中，已描述了小波函數(shù)的積分為零，即：

(11)

因此，逼近的小波函數(shù)也要滿足該條件，即對于逼近小波函數(shù)而言，需加上附加的約束條件：

(12)

(13)

式中:n表示采樣點(diǎn)數(shù)，M為采樣點(diǎn)總數(shù)，Δt為采樣時間間隔。由式(13)可知，這是一個非線性優(yōu)化問題，文獻(xiàn)[9]提出的最小二乘法對初值敏感易收斂，且容易陷入局部最優(yōu)，難以獲得全局最優(yōu)。智能優(yōu)化算法在求解復(fù)雜優(yōu)化問題表現(xiàn)得尤為強(qiáng)大，因此，采用混合蟻群算法來求解模型式(13)最優(yōu)解是一個很好的選擇。

2.2 混合蟻群算法

意大利學(xué)者M(jìn).Dorigo等在20世紀(jì)90年代提出的蟻群算法(ACO)是一種基于種群的啟發(fā)式隨機(jī)搜索算法。這個算法的基本原理是：當(dāng)螞蟻尋找食物時，它們會在通過的路徑上釋放一種特殊的物質(zhì)，該物質(zhì)稱為信息素，螞蟻通過信息素進(jìn)行交流，根據(jù)殘留在路徑上信息素的多少，找到離蟻穴路徑最短的食物源。蟻群算法采用分布式計算，魯棒性強(qiáng)且易與其他算法相結(jié)合，因此被廣泛應(yīng)用于解決優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[10]針對蟻群算法不適合求解連續(xù)問題，易陷入局部極值的缺點(diǎn)，提出了一種快速全局優(yōu)化的蟻群算法。該改進(jìn)蟻群算法采用的是在最優(yōu)解螞蟻附近進(jìn)行搜索且將本次獲得的最優(yōu)解作為起始解的搜索方式，用來擴(kuò)大搜索的范圍，避免陷入局部最優(yōu)。主要的不同在于將螞蟻移動的規(guī)則分成兩部分：(1) 將上次循環(huán)中未尋到最優(yōu)解的螞蟻往最優(yōu)解方向移動；(2) 讓尋得最優(yōu)解的螞蟻在最優(yōu)解附近進(jìn)行搜索，以便在以后的搜索中得到更加精確的解。其中，針對規(guī)則一設(shè)置轉(zhuǎn)移概率公式如下：

(14)

式中：t(i)為螞蟻i處的信息素，t(best)為螞蟻在最優(yōu)解處的信息素。針對規(guī)則二，移動公式如下：

(15)

式中：xbest為上次循環(huán)獲得最優(yōu)解，xtbest為當(dāng)前最優(yōu)解。在按照上述規(guī)則搜索后，對螞蟻i處的信息素更新，規(guī)則如下：

t(i)=ρ×t(i)+Δt(i) 0<ρ<1

(16)

Δt(i)=ka-f(xi)

式中：ρ為信息素?fù)]發(fā)系數(shù)，f(xi)表示目標(biāo)函數(shù)的最小值。

雖然改進(jìn)蟻群算法全局搜索能力得到改善，但是它仍然是一個隨機(jī)搜索方法，其局部搜索能力有限，而SQP算法有很強(qiáng)的局部搜索能力，可在很短的時間內(nèi)搜索到局部極值點(diǎn)。但對于多極值復(fù)雜的函數(shù)，SQP對初值非常敏感，易陷入局部最優(yōu)難以獲得全局最優(yōu)。因此，我們將改進(jìn)蟻群算法與SQP算法結(jié)合，形成互補(bǔ)的混合蟻群算法，該算法由兩部分組成：(1) 對優(yōu)化問題，用改進(jìn)蟻群算法求解得到全局解；(2) 將該全局解作為SQP的初始值，啟用該算法進(jìn)一步搜索精確值，得到全局最優(yōu)解。

3 常用小波函數(shù)逼近

為了驗證構(gòu)造的小波逼近函數(shù)模型和混合蟻群算法的優(yōu)化性能，本文以常見的小波為例進(jìn)行驗證。

(1) 高斯一階導(dǎo)數(shù)母小波為：

ψ(t)=-2(2/π)1/4te-t2

(17)

為了獲得因果系統(tǒng)，需要對小波函數(shù)進(jìn)行時移操作，時移的選擇需要在能量損失和延遲之間進(jìn)行平衡。在這里，對小波系統(tǒng)函數(shù)向右平移兩個單位，時移后的高斯一階導(dǎo)數(shù)母小波為：

ψ(t-2)=-2(2/π)1/4(t-2)e-(t-2)2

(18)

采用2.1節(jié)介紹的方法構(gòu)造逼近模型，在實際應(yīng)用中，階數(shù)越高會使電路設(shè)計變得復(fù)雜，階數(shù)低會降低逼近精度。因此，逼近階數(shù)和逼近精度之間要進(jìn)行綜合考慮，這里取逼近階數(shù)為5，則ψ(t-2)的5階逼近模型h(t)為：

h(t)=b1eb2t+b3eb4tsin(b5t)+b6eb4tcos(b5t)+

b7eb8tsin(b9t)+b10eb8tcos(b9t)

(19)

式中：bi(i=1,2,…,10)為待定系數(shù)，為了確保系統(tǒng)的穩(wěn)定，要求bi<0(i=2,4,8)。t∈[0,8]，定義h(t)與ψ(t-2)之差的平方L2范數(shù)為：

(20)

在t∈[0,8]等間隔取400個點(diǎn)，那么，h(t)與ψ(t-2)的逼近誤差平方和為：

(21)

式中：Δt為時間間隔，其值設(shè)為0.02。

根據(jù)式(13)建立數(shù)學(xué)模型：

(22)

這是一個復(fù)雜且?guī)в屑s束的10維度的非線性優(yōu)化問題，采用混合蟻群算法求解該模型。在混合的蟻群算法中，設(shè)定螞蟻個數(shù)為100，最大迭代次數(shù)為1 000，變量取值范圍為bi∈[-4,0],i=2,4,8，其余參數(shù)設(shè)置為[-4,4]，信息素?fù)]發(fā)系數(shù)ρ設(shè)置為0.9。經(jīng)過10次實驗，選出最優(yōu)的全局最優(yōu)解，將該最優(yōu)解作為SQP的初始值，執(zhí)行SQP算法，迭代次數(shù)設(shè)置為10。其搜索的最優(yōu)結(jié)果如表1所示。

表1 高斯小波逼近函數(shù)的最優(yōu)系數(shù)

將表1中的10個優(yōu)化參數(shù)代入式(19)，獲得小波逼近函數(shù)h(t)，并將h(t)進(jìn)行拉氏變換，獲得H(s)為：

(23)

采用本文方法求得的5階時域逼近函數(shù)波形與理想高斯小波的對比如圖1所示，混合蟻群算法的逼近誤差和為2.905×10-4。

圖1 高斯小波函數(shù)逼近

(2) 研究Morlet小波，其表達(dá)式為：

ψ(t)=cos(5t)e-0.5t2

(24)

由式(24)可知，實Morlet小波是一個偶函數(shù)，反褶以后的函數(shù)是本身，為了得到因果系統(tǒng)，將其平移3個單位，則預(yù)處理后的Morlet小波函數(shù)為：

ψ(t-3)=cos[5(t-3)]e-0.5(t-3)2

(25)

在這里取N=5，其有理逼近分式在時域中可寫成：

h(t)= [k1ek2t+k3ek4tsin(k5t)+k6ek4tcosk(k5t)+

k7ek8tsin(k9t)+k10ek8tcos(k9t)]cos[5(t-3)]

(26)

式中:ki(i=1,2,…,10)為待定系數(shù)，為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，待定系數(shù)k2、k4和k8必須小于零，在區(qū)間t∈[0,12]等間隔采樣600個點(diǎn)，h(t)與ψ(t-3)的逼近誤差平方和定義為：

(27)

式中：Δt=0.02，采樣點(diǎn)數(shù)為600，建立優(yōu)化逼近模型為：

(28)

采用混合蟻群算法進(jìn)行優(yōu)化求解，獲得逼近函數(shù)，求得的最優(yōu)解如表2所示，此時誤差為3.790×10-4。文獻(xiàn)[2]是在區(qū)間[0,6]取600點(diǎn)，用混合遺傳算法求解模型，逼近誤差為2.842 9×10-4，若采用混合蟻群算法求解，逼近誤差降低至3.066 7×10-5。在此區(qū)間內(nèi)，小波逼近函數(shù)都可以很好地擬合Morlet小波，但小波逼近函數(shù)未產(chǎn)生衰減。

表2 Morlet小波逼近函數(shù)的最優(yōu)系數(shù)

將表中的參數(shù)代入時域逼近函數(shù)，并做拉普拉斯變換，獲得H(s)為：

(29)

式中：

A0=8.276 4×106A1=1.524 7×106A2=1.966 5×106

A3=0.261 9×106A4=0.172 5×106A5=0.016 1×104

A6=0.007 1×106A7=423.364 4A8=137.089 2

A9=4.007 9B0=1.403 2×105B1=-1.787 2×104

B2=1.556 8×104B3=0.355 2×104B4=-0.028 1×104

B5=0.032 9×104B6=-0.003 9×104B7=7.197 3

B8=-0.476 32B9=0.034 1

小波逼近函數(shù)與理想Morlet小波對比如圖2所示?？梢钥闯?，本文采用的小波函數(shù)逼近方法能有效逼近小波基函數(shù)。

圖2 Morlet小波函數(shù)逼近

為了突出本文方法優(yōu)勢，現(xiàn)與已有的幾種方法構(gòu)造的小波基函數(shù)對比，結(jié)果如表3、表4所示?？梢钥闯?，混合蟻群算法逼近誤差均小于Pade逼近法、L2逼近法和混合遺傳算法[2]，其中，Pade法逼近誤差最大。因此，本文采用的混合蟻群方法優(yōu)于L2逼近法、Pade逼近法和混合遺傳算法。

表3 不同方法逼近小波基函數(shù)誤差比較1

表4 不同方法逼近小波基函數(shù)誤差比較2

4 結(jié) 語

為了在模擬電路中實現(xiàn)小波變換，提出了一種逼近小波基函數(shù)的新方法。首先，建立逼近小波基函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。然后，采用混合蟻群算法求解優(yōu)化問題。由于快速全局優(yōu)化的蟻群算法本身是一種求解優(yōu)化問題的最有效方法之一，具有收斂速度快，尋優(yōu)精度高，有更好的優(yōu)化結(jié)果，再把最優(yōu)結(jié)果作為QSP算法的初值，啟用QSP精細(xì)搜索得到最優(yōu)解。該方法克服了Pade逼近法和L2逼近法中的不足，能夠有效地逼近小波基函數(shù)，且逼近精度優(yōu)于pade法、L2逼近法和混合遺傳算法。