一道三角形面積最值問題的多種解法

謝梅林

三角形面積的最值問題是各類試題的常見考點.此類問題的綜合性較強(qiáng)，側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯思維能力和綜合分析能力.本文以一道題為例，探討一下求解三角形面積最值問題的解法.

例題：求過點M（2，3）的直線l與x軸、y軸的正半軸所圍成的三角形面積的最小值及直線l的方程.

本題主要考查了直線與方程、三角形面積公式以及求最值的方法.要求得三角形的最值，我們需先分別求出直線l與x軸、y軸的交點坐標(biāo)，然后運(yùn)用三角形的面積公式求得三角形的面積，再根據(jù)面積的表達(dá)式求其最值.有如下四種方法：

一、基本不等式法

基本不等式是求最值問題的重要工具，運(yùn)用基本不等式求最值需把握三個條件：一正、二定、三相等.即一要確保兩個變量或式子為正值;二是通過恒等變換構(gòu)造出兩個變量或式子的和或積，使其一為定值;三是確保兩個變量或式子相等時等號成立.在運(yùn)用基本不等式求三角形面積的最值時，我們需先根據(jù)題意列出三角形的面積表達(dá)式，然后構(gòu)造出兩式的和或積，再利用基本不等式求出最值.

解法一：設(shè)直線l：y=k（x-2）+3（k<0），直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，則，B（0，3-2k），

則，

由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，

此時，l的方程為3x+2y-12=0.

我們先設(shè)出直線的斜截式方程，然后分別求出直線l與x軸、y軸的交點的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求得所求三角形的面積，通過恒等變換配湊出，進(jìn)而利用基本不等式求得最值.

解法二：設(shè)l的方程為，

因為M（2，3）在直線l上，

所以，即ab≥24，當(dāng)且僅當(dāng)，即a=4，b=6時等號成立，

這時，因此三角形的最小面積為12，方程為3x+2y-12=0.

解法二與解法一的思路基本一致，只是解法二采用直線的截距式方程來設(shè)出直線的方程，然后利用基本不等式建立新的關(guān)系式，求得a，b的值以及三角形面積的最值.

二、判別式法

判別式法是指利用一元二次方程的根的判別式建立不等式，通過解不等式求得最值的方法.在求三角形面積的最值時，需將三角形的面積S看作一元二次方程中的參數(shù)，然后根據(jù)S的取值范圍為實數(shù)建立關(guān)系式△≥0，解不等式即可求得S的取值范圍.

解：設(shè)直線l：y=k（x-2）+3（k<0），直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，則，B（0，3-2k）.

則，化簡得4k2+2Sk-12k+9=0，

由題意可知方程有實數(shù)解，所以△=（2S-12）2-4×4×9≥0，解得S≥12，

即三角形面積的最小值為12.當(dāng)?shù)忍柍闪r，l的方程為3x+2y-12=0.

運(yùn)用判別式法解題看似簡單，其實運(yùn)算量太大，很容易出錯，同學(xué)們在解題要注意謹(jǐn)慎計算.

三、導(dǎo)數(shù)法

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求三角形面積最值的常規(guī)思路是，首先根據(jù)題意列出三角形面積的表達(dá)式，然后對表達(dá)式求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，進(jìn)而判定函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得最值.

解：設(shè)直線l：y=k（x-2）+3（k<0），直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，則，B（0，3-2k）.

則，對其求導(dǎo)得??? .

令S′=0，解得，

又因為k<0，所以，

當(dāng)時，S′<0;當(dāng)時，S′>0;

所以S′在處有最小值，即△AOB面積的最小值為12，此時直線l的方程為3x+2y-12=0.

我們通過分析導(dǎo)函數(shù)能快速分析出函數(shù)的單調(diào)性、最值、頂點等，進(jìn)而明確函數(shù)的變化趨勢，求得最值.

四、參數(shù)方程法

參數(shù)方程法是指借助直線的參數(shù)方程解題的方法.一般地，過點M（x￥￥0，y￥￥0）、傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）對于本題，我們可以根據(jù)直線的參數(shù)方程來設(shè)出直線與x、y軸交點的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式求出所求面積的表達(dá)式，然后根據(jù)三角函數(shù)中的公式、性質(zhì)來求得最值.

解：設(shè)直線的參數(shù)方程為t為參數(shù)，θ為傾斜角，且，

則直線與兩坐標(biāo)軸的交點為A（2-3cotθ，0），B（0，3-2tanθ），

.

此時，l的方程為3x+2y-12=0.

采用參數(shù)方程法解題，我們可以直接根據(jù)θ的值確定直線與坐標(biāo)軸之間的夾角以及直線的斜率.若遇到曲線問題，用參數(shù)方程法求解會很簡單.運(yùn)用參數(shù)方程法解題，需靈活運(yùn)用三角恒等變換技巧，但解題過程中的計算量有點大，同學(xué)們要小心運(yùn)算.

通過對上述問題的研究可以看出，對于此類有關(guān)直線與方程的三角形面積問題，可以分別從基本不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、參數(shù)方程等不同角度進(jìn)行探究，尋找解題的思路.在解題的過程中我們要合理運(yùn)用已學(xué)過的知識深入研究，這樣解題一定有顯著的效果.

（作者單位：江西省贛州市南康區(qū)第三中學(xué)）