巧用曲線的參數(shù)方程解答解析幾何問題

李紅紅

解析幾何問題的運算量一般都比較大，為了簡化運算，我們需另辟蹊徑.而在解題時，靈活運用曲線的參數(shù)方程，能將解析幾何問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象、公式即可解題.這樣能有效地簡化運算，提升解答解析幾何問題的效率.

運用曲線的參數(shù)方程解答解析幾何問題，一般有以下幾個步驟：

1.根據(jù)已知條件設(shè)出曲線的參數(shù)方程，確定參數(shù)的取值范圍;

2.根據(jù)參數(shù)方程，用參數(shù)表示出曲線上的點;

3.將點的坐標(biāo)代入題設(shè)中，建立關(guān)系式，并用參數(shù)表示所求目標(biāo).必要時可靈活運用點到直線的距離公式、兩點間的距離公式等來建立關(guān)系式;

4.合理進行三角恒等變換，化簡目標(biāo)式;

5.利用三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象求得問題的答案.

下面舉例說明.

例1.已知直線l的傾斜角為α，且過點P（0，-2），曲線C的方程為（x-2）2+y2=4.設(shè)直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，求的最大值.

解：由已知得直線l的參數(shù)方程為??? （t為參數(shù)）

由于M和N是直線l上兩點，所以可設(shè)M（t1cosα，-2+t1sinα），N（t2cosα，-2+t2sinα），

則，

由圖可知t1>0，t2>0，則，

將參數(shù)方程與曲線C的方程聯(lián)立，可得t2-4（cosα+sinα）t+4=0，

而t1，t2是該一元二次方程的兩根，

根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，

由于直線與圓相交，所以，

所以當(dāng)時，取最大值1，即t1+t2的最大值為??? .

一般地，傾斜角為α且過點P（x0，y0）的直線l的參數(shù)方程是??? （t為參數(shù)）將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，可得關(guān)于t的一元二次方程，然后根據(jù)方程中根與系數(shù)關(guān)系建立關(guān)系式，求得的表達式，再利用正弦函數(shù)的有界性就能求得的最大值.

例2.已知直線l的方程為，曲線C的方程為??? .設(shè)點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最大值.

解析：橢圓的參數(shù)方程是??? （α為參數(shù)）其中α∈R.可根據(jù)該參數(shù)方程設(shè)出橢圓上任一點的坐標(biāo)（acosα，bsinα），再根據(jù)點到直線的距離公式來建立關(guān)系式，利用三角函數(shù)的有界性便可求得最值.

解：由于點P是曲線C上的一個動點，所以可設(shè)，

則P到直線l的距離??? .

因為α∈R，所以-1≤sin（α+φ）≤1，

當(dāng)sin（α+φ）=1時，點P到直線l的距離取最大值??? .

將曲線上動點的坐標(biāo)用關(guān)于參數(shù)α的三角函數(shù)式表示出來，可將求P到直線l的距離的最大值轉(zhuǎn)化為求一個三角函數(shù)式最值問題，這樣易于求解.

由此可見，巧用曲線的參數(shù)方程來解答解析幾何問題，能有效地簡化運算，優(yōu)化解題的方案.尤其是在解答與曲線上動點有關(guān)的最值問題時，根據(jù)曲線的參數(shù)方程設(shè)出動點的坐標(biāo)，將其代入題設(shè)中進行求解，能將問題轉(zhuǎn)化三角函數(shù)問題，達到化難為易、化繁為簡的效果.

（作者單位：陜西省神木市第七中學(xué)）