基于Edgeworth級(jí)數(shù)法數(shù)控磨床電控系統(tǒng)可靠性指標(biāo)研究*

范晉偉 劉會(huì)普 秦 池 李偉華

(①北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124；②北京第二機(jī)床廠有限公司，北京 102444)

近些年，我國(guó)數(shù)控機(jī)床行業(yè)迅速發(fā)展，成為數(shù)控機(jī)床制造大國(guó),目前國(guó)產(chǎn)機(jī)床可滿足大部分用戶的使用需求，且價(jià)格低廉,然而較之國(guó)外數(shù)控機(jī)床行業(yè)，國(guó)產(chǎn)機(jī)床的性能、精度與可靠性等方面仍存在較大差距，高端機(jī)床市場(chǎng)占用率低[1]。數(shù)控磨床作為關(guān)鍵數(shù)控機(jī)床類型之一，廣泛應(yīng)用于航空航天、軍事國(guó)防和民計(jì)民生等精密零部件的加工中，因此，對(duì)數(shù)控磨床的可靠性建模研究具有重要意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)數(shù)控磨床可靠性建模展開了大量的研究工作：Hoseinie Seyed Hadi利用Weihull函數(shù)對(duì)液壓系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性建模[2]。Ronald R Y利用模糊方法建立了復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性模型[3]。劉超等人使用最小二乘法對(duì)數(shù)控磨床冷卻系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性建模，確定其符合指數(shù)分布模型[4]。羅靜等人使用MINIITAB軟件對(duì)數(shù)控磨床故障數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性建模，并對(duì)其進(jìn)行了故障樹分析[5]。劉勇軍等人使用線性回歸對(duì)數(shù)控磨床液壓系統(tǒng)進(jìn)行可靠性建模，并對(duì)平均無(wú)故障時(shí)間進(jìn)行了點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)[6]。黎剛剛對(duì)數(shù)控磨床砂輪架主軸系統(tǒng)進(jìn)行FMEA分析,確定其故障部位、故障模式、故障原因及故障影響[7]。

通過以上文獻(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)控磨床及其子系統(tǒng)的可靠性研究多為冷卻系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)和主軸系統(tǒng)，電控系統(tǒng)作為數(shù)控磨床關(guān)鍵子系統(tǒng)之一，尚未有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行可靠性指標(biāo)研究；此外，上述研究方法常利用典型函數(shù)分布(正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和二參威布爾分布)模型對(duì)故障數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，即利用線性回歸(最小二乘法)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，經(jīng)模型檢驗(yàn)和優(yōu)選后進(jìn)行可靠性指標(biāo)計(jì)算，存在適用范圍小和計(jì)算步驟繁瑣的缺點(diǎn)。因此，文章引入Edgeworth級(jí)數(shù)法，結(jié)合四階矩技術(shù)和Hermite多項(xiàng)式對(duì)數(shù)控磨床電控系統(tǒng)進(jìn)行可靠性指標(biāo)研究，旨在探索一種新的可靠性指標(biāo)研究方法。

1 可靠性指標(biāo)體系

可靠性可以被定義為在使用條件和規(guī)定時(shí)間內(nèi)，機(jī)械產(chǎn)品完成規(guī)定功能的能力，常用的可靠性指標(biāo)包括：可靠度、累積失效概率、故障概率密度函數(shù)和平均故障間隔時(shí)間[8]。

1.1 可靠度

可靠度是指在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，規(guī)定條件下，完成規(guī)定功能的概率，常用R(t)來表示，是對(duì)可靠性的定量描述。計(jì)算公式如下：

(1)

式中：N為樣本總數(shù)；n(t)為t時(shí)刻時(shí)故障樣本數(shù)。

1.2 累積失效概率

與可靠度相對(duì)應(yīng)，累積失效概率是指在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，規(guī)定條件下，未完成規(guī)定功能的概率，也稱不可靠度，常用F(t)來表示。計(jì)算公式如下：

(2)

1.3 故障概率密度函數(shù)

定義累積失效函數(shù)F(t)的一階導(dǎo)數(shù)為故障概率密度函數(shù)，常用f(t)來表示。計(jì)算公式如下：

f(t)=F′(t)=-R′(t)

(3)

1.4 平均故障間隔時(shí)間

平均故障間隔時(shí)間(MTBF)是指在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，規(guī)定條件下，系統(tǒng)正常運(yùn)行總時(shí)間與總故障次數(shù)之比，觀察值計(jì)算公式如下：

(4)

式中：ti為第i個(gè)故障間隔時(shí)間；n為故障總數(shù)。

引入故障概率密度函數(shù)f(t),點(diǎn)估計(jì)值計(jì)算公式如下：

(5)

2 故障數(shù)據(jù)的收集

文章的可靠性數(shù)據(jù)來源于北京第二機(jī)床廠MKS型號(hào)數(shù)控磨床現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及部分廠家實(shí)際生產(chǎn)過程中記錄的數(shù)據(jù)，在嚴(yán)格遵守《數(shù)控機(jī)床可靠性評(píng)定》[9]中相關(guān)原則前提下，共獲得364條真實(shí)可靠的故障數(shù)據(jù)，其中電控系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)69條，部分故障數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 電控系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)表

3 Edgeworth級(jí)數(shù)法

Edgeworth級(jí)數(shù)法能將服從任意分布類型的概率分布函數(shù)近似地展開為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，結(jié)合四階矩技術(shù)和Hermite多項(xiàng)式，可以獲得磨床電控系統(tǒng)的可靠度函數(shù)，進(jìn)而對(duì)其他的可靠性指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。

3.1 Edgeworth級(jí)數(shù)求解可靠度流程

對(duì)于任意故障數(shù)據(jù)t，在引入Edgeworth級(jí)數(shù)后，其可靠度概率分布函數(shù)可展開為以下形式[10]：

(6)

式中：φ(t)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，φ(t)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。μt、σt、θt和ηt為數(shù)控磨床電控系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)的前四階矩，即均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏差和峰度。Hi(t)為第i階Hermite多項(xiàng)式。相關(guān)公式如下：

(7)

(8)

(9)

(10)

θt=E{[t-E[t]3]}

(11)

ηt=E{[t-E[t]4]}

(12)

(13)

利用公式(6)計(jì)算可靠度R(t)時(shí)，當(dāng)可靠度R(t)<1可認(rèn)為Edgeworth級(jí)數(shù)已獲得足夠精確的解,但可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)過逼近使得R(t)>1，此時(shí)，引入經(jīng)驗(yàn)修正公式[11]：

利用Edgeworth級(jí)數(shù)法求解數(shù)控磨床電控系統(tǒng)的可靠度流程如圖1所示。

3.2 基于Edgeworth級(jí)數(shù)法電控系統(tǒng)可靠度計(jì)算

按照?qǐng)D2流程圖順序，首先采用z-score標(biāo)準(zhǔn)化法將表1數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換，標(biāo)準(zhǔn)化后故障數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 電控系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)化故障數(shù)據(jù)表

由公式(9)～(12)計(jì)算得到標(biāo)準(zhǔn)化故障數(shù)據(jù)的前四階矩分別為：

(15)

由公式(13)可遞推出Hermite第二、第三和第五階多項(xiàng)式分別為：

(16)

將結(jié)論(15)和(16)代入公式(6)，即可得到數(shù)控磨床電控系統(tǒng)可靠度概率分布函數(shù)為：

0.202 5t3+0.235 7t2+0.190 5t-0.235 7)

(17)

4 傳統(tǒng)方法

傳統(tǒng)的機(jī)電產(chǎn)品整機(jī)或關(guān)鍵子系統(tǒng)的可靠性分析思路為：首先將原始故障數(shù)據(jù)預(yù)處理后，然后利用典型函數(shù)分布(正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布和二參威布爾分布)模型對(duì)故障數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，接下來經(jīng)模型檢驗(yàn)和優(yōu)選后確定最優(yōu)模型，最后進(jìn)行可靠性指標(biāo)計(jì)算。

4.1 傳統(tǒng)方法求解可靠度流程

(1)故障數(shù)據(jù)預(yù)處理

常用經(jīng)驗(yàn)分析法對(duì)故障數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。對(duì)于含有n個(gè)增序排列的故障數(shù)據(jù)，可靠性的估計(jì)值可用中位秩計(jì)算[12]。可靠度函數(shù)R(ti)計(jì)算公式如下：

(18)

式中：n為故障總數(shù)，i為故障間隔時(shí)間。

(2)參數(shù)估計(jì)

常用最小二乘法[13]對(duì)故障數(shù)據(jù)分布模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，典型分布模型參數(shù)估計(jì)公式如表3所示：

表3 典型分布函數(shù)參數(shù)估計(jì)表

表3中，a0和a1為線性相關(guān)式y(tǒng)=a0+a1x的系數(shù)，可由最小二乘法線性回歸得到，相關(guān)公式如式(19)所示：

(19)

(3)擬合檢驗(yàn)

常用D檢驗(yàn)法[14](K-S檢驗(yàn)法)對(duì)模型進(jìn)行擬合檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)原始數(shù)據(jù)與擬合曲線之間是否存在線性關(guān)系。D檢驗(yàn)法相關(guān)公式如下：

(20)

表4 Dn,α經(jīng)驗(yàn)公式表(n>50)

(4)優(yōu)度檢驗(yàn)

當(dāng)兩種以上模型都經(jīng)過了擬合檢驗(yàn)，為評(píng)選出擬合最優(yōu)的模型，需要對(duì)其進(jìn)行優(yōu)度檢驗(yàn)。常用相關(guān)系數(shù)法[15]進(jìn)行模型優(yōu)度檢驗(yàn)，相關(guān)公式如下：

(21)

(5)求解MTBF和可靠度R

在確定故障數(shù)據(jù)可靠性模型后，可按照公式(1)和(5)計(jì)算電控系統(tǒng)的可靠度R和MTBF。

利用傳統(tǒng)方法求解數(shù)控磨床電控系統(tǒng)的可靠度流程如圖2所示。

4.2 基于傳統(tǒng)方法電控系統(tǒng)可靠度計(jì)算

按照?qǐng)D3流程圖，首先對(duì)故障數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，預(yù)處理部分結(jié)果如表5所示。

表5 經(jīng)驗(yàn)分析法數(shù)據(jù)計(jì)算表

電控系統(tǒng)典型分布模型擬合的參數(shù)估計(jì)、擬合檢驗(yàn)和優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果如表6所示：

表6 電控系統(tǒng)典型分布模型擬合表

由表6可知：指數(shù)分布和威布爾分布均通過擬合檢驗(yàn)，且優(yōu)度R指>R威，則證明指數(shù)分布模型對(duì)電控系統(tǒng)故障間隔時(shí)間的擬合更加精確，可靠性指標(biāo)如下：

(22)

從兩種方法對(duì)故障數(shù)據(jù)可靠度函數(shù)擬合效果來看，如圖3所示：Edgeworth法在[0,500],[1 000,2 500]區(qū)間處比傳統(tǒng)方法更加準(zhǔn)確。

從兩種方法MTBF點(diǎn)估計(jì)值與MTBF觀察值的誤差來看，由公式(4)得到MTBF觀察值為818.6 h，基于Edgeworth法MTBF點(diǎn)估計(jì)值為821.7 h，基于傳統(tǒng)方法MTBF點(diǎn)估計(jì)值為835.4 h，由此可知，基于Edgeworth法獲得的MTBF點(diǎn)估計(jì)值更加接近觀測(cè)值。

5 結(jié)語(yǔ)

文章利用Edgeworth級(jí)數(shù)法對(duì)數(shù)控磨床電控系統(tǒng)故障數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性指標(biāo)分析。首先結(jié)合四階矩技術(shù)和Hermite多項(xiàng)式將電控系統(tǒng)可靠度函數(shù)近似展開，計(jì)算得到電控系統(tǒng)可靠度函數(shù)及其平均故障間隔時(shí)間MTBF。然后利用傳統(tǒng)方法計(jì)算電控系統(tǒng)可靠度函數(shù)及其平均故障間隔時(shí)間MTBF。最后以故障數(shù)據(jù)觀察值為標(biāo)準(zhǔn)，比較兩種方法在可靠度函數(shù)擬合和MTBF計(jì)算上的優(yōu)劣。結(jié)果顯示Edgeworth級(jí)數(shù)法在保證計(jì)算精確性的前提下，能簡(jiǎn)化電控系統(tǒng)可靠性指標(biāo)求解過程，克服了傳統(tǒng)方法計(jì)算過程復(fù)雜、運(yùn)算量大的缺點(diǎn)。研究結(jié)果已反饋給廠家并獲得認(rèn)可，對(duì)提升數(shù)控磨床整機(jī)的可靠性水平有重要意義。