基于四邊形網(wǎng)格均值坐標(biāo)的K-2環(huán)網(wǎng)格曲面構(gòu)造

滕一劍，李亞娟，鄧重陽

基于四邊形網(wǎng)格均值坐標(biāo)的K-2環(huán)網(wǎng)格曲面構(gòu)造

滕一劍，李亞娟，鄧重陽

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

曲面造型；K-2環(huán)網(wǎng)格；四邊形網(wǎng)格均值坐標(biāo)；形狀控制；連續(xù)性

在計算機輔助設(shè)計中，基于控制點的方法是定義自由形式參數(shù)曲面的重要方法[1]。每個控制點與一個基函數(shù)相對應(yīng)，這些基函數(shù)決定了曲面的形狀和性質(zhì)。

1997年，ZHENG和BALL[2]提出在3-，5-，6-邊形區(qū)域上任意次Bézier曲面片的構(gòu)造方法，滿足1連續(xù)。1999年，PIEGL和TILLER[3]提出C連續(xù)NURBS曲面的構(gòu)造方法，并將其應(yīng)用于填充由NURBS曲線界定的任意邊域。2001年，COTRINA等[4]提出+1次參數(shù)曲面片的構(gòu)造方法，并將其應(yīng)用于填充控制網(wǎng)格環(huán)繞的邊孔。2005年，劉浩和廖文和[5]改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]所提出的算法，并將其應(yīng)用于C-C(Catmull-Clark)細(xì)分曲面正則部分圍成的邊域的構(gòu)造和填充，實現(xiàn)了用流形方法構(gòu)造的曲面和C-C細(xì)分曲面的融合，曲面滿足2連續(xù)。2008年，HAN等[6]基于Bézier曲線和曲面提出了Q-Bézier(Quasi-Bézier)曲線和曲面，這種新的曲線曲面構(gòu)造方法不僅保留了Bézier曲線和曲面的數(shù)學(xué)性質(zhì)，并且生成的曲線和曲面更逼近控制多邊形，滿足2連續(xù)的條件也比普通Bézier曲線更加靈活。同時Q-Bézier曲線設(shè)置了形狀參數(shù)，通過調(diào)整參數(shù)便可進(jìn)行形狀控制。2008年，LOOP和SCHAEFER[7]提出了一種用最小的雙三次曲面集逼近Catmull-Clark細(xì)分曲面的方法，生成的曲面滿足光滑性，但邊界處僅滿足0連續(xù)。同年，LOOP和SCHAEFER[8]還提出了一種對個雙三次B樣條曲面片組成的邊形域的二階光滑填充方法。

2017年，KOVáCS和VáRADY[13]在均值坐標(biāo)(mean value coordinates，MVC)[14]的基礎(chǔ)上利用一種新的基函數(shù)(P basis functions)構(gòu)造曲線曲面，將生成的曲線曲面稱為P曲線(P-curves)和P曲面(P-surfaces)，并設(shè)置了一個全局形狀參數(shù)控制P曲線或P曲面與給定控制結(jié)構(gòu)間的逼近程度。2018年，THIERY等[15]提出了四邊形網(wǎng)格均值坐標(biāo)(quad mean value coordinates，QMVC)，這是一種應(yīng)用于空間四邊形網(wǎng)格的特殊坐標(biāo)。已有許多實例表明，對同一空間四邊形網(wǎng)格模型，若分別使用QMVC，MVC以及Green Coordinates[16]進(jìn)行變形實驗，在使用QMVC時，強制三角剖分而引起的扭曲完全消失。

1 K-2環(huán)網(wǎng)格

給定一個四邊形網(wǎng)格，令一個四邊形面上的頂點為相關(guān)點。尋找點在四邊形網(wǎng)格中的所有相關(guān)點的集合1，記{1,}為點的K-1環(huán)網(wǎng)格。

尋找1在四邊形網(wǎng)格中的所有相關(guān)點的集合2，稱{2,1,}為點的K-2環(huán)網(wǎng)格。其中，K為頂點的度數(shù)，即K-1環(huán)網(wǎng)格包含四邊形的個數(shù)。圖1展示了中心點度數(shù)為6時的6-1環(huán)網(wǎng)格與6-2環(huán)網(wǎng)格。

圖1 中心點的6-1環(huán)與6-2環(huán)((a)中心點的6-1環(huán)；(b)中心點的6-2環(huán))

2 3D四邊形網(wǎng)格均值坐標(biāo)

之前已有的用于三角形網(wǎng)格的重心坐標(biāo)已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用并有著很好的效果。但當(dāng)其應(yīng)用于四邊形網(wǎng)格上時，例如在空間四邊形網(wǎng)格中使用這些坐標(biāo)進(jìn)行變形，就有可能導(dǎo)致在變形結(jié)果中出現(xiàn)扭曲，而文獻(xiàn)[15]提出的四邊形網(wǎng)格均值坐標(biāo)解決了這一問題。

將空間四邊形網(wǎng)格中的四邊形稱為邊界四邊形，網(wǎng)格中的頂點記為={}，根據(jù)點所處位置，計算其四邊形網(wǎng)格均值坐標(biāo)。

2.1 x在邊界四邊形面上

圖2 當(dāng)x在空間四邊形網(wǎng)格邊界四邊形面上((a) q為平面四邊形；(b) q為非平面四邊形)

2.2 x不在邊界四邊形面上

當(dāng)點不在邊界四邊形上，將每個邊界四邊形的頂點=(1,2,3,4)映射到以點為球心的單位球上，如圖3所示。并令

其中，Ni為四邊形q在點x處的法向量，qi為向量qix與向量qi+1x形成的空間夾角。

通過文獻(xiàn)[16]的研究，得到

可將式(1)寫為

其中，w為在每個包含頂點的四邊形內(nèi)，計算點關(guān)于頂點的四邊形網(wǎng)格均值重心坐標(biāo)，其坐標(biāo)之和即為w。

3 曲面生成算法

本文提出的基于四邊形網(wǎng)格均值重心坐標(biāo)的K-2環(huán)網(wǎng)格曲面構(gòu)造算法，保留了四邊形網(wǎng)格均值重心坐標(biāo)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，且與其他曲面構(gòu)造算法相比，無需三角化、移除中心點，只需要將四邊形網(wǎng)格利用細(xì)分得到簡單的K-2環(huán)網(wǎng)格。算法步驟如下：

步驟1.將給定的拓?fù)渚W(wǎng)格細(xì)分為一個中心點的K-2環(huán)，將中心點的K-2環(huán)作為控制網(wǎng)格。

圖4 中心點度數(shù)N=6時的平面網(wǎng)格G

圖5 G中部分點的移動過程((a)點往z軸正方向移動(b)點往z軸反方向移動)

圖6 N=4時的空間四邊形網(wǎng)格S

可得到

曲面為

4 實例分析

在圖8～13中，(a)展示了控制網(wǎng)格生成的曲面；(b)展示了添加斑馬紋標(biāo)記的曲面；(c)展示了高斯曲率圖，通過(b)和(c)可觀察到本文生成曲面具有良好的光滑性。圖8展示了=5時的控制網(wǎng)格生成的曲面，中心點向上凸起，曲率變化較大時斑馬紋依舊保持光滑。圖9和10展示了=6,7時的控制網(wǎng)格生成的曲面，可以看出，曲面與控制網(wǎng)格的逼近程度很高，在網(wǎng)格有較大角度的彎折時，斑馬紋也十分光滑，曲率也未發(fā)生振蕩。圖11～13展示了=8,10,10時的控制網(wǎng)格生成的曲面。當(dāng)中心點度數(shù)增加且控制網(wǎng)格更不規(guī)則時，曲面依舊十分光滑，斑馬紋未出現(xiàn)扭曲折疊。

圖14為本文曲面構(gòu)造方法與C-C (Catmull-Clark)細(xì)分曲面構(gòu)造方法在同一控制網(wǎng)格上生成的曲面對比，其中圖14(a1)，(b1)和(c1)所示為本文算法所生成的曲面圖、曲率圖和曲率局部放大圖；圖14(a2)，(b2)和(c2)所示為C-C細(xì)分所生成的曲面圖、曲率圖和曲率局部放大圖。從局部放大的曲率圖中可以觀察到，如圖14(c2)所示，通過迭代5次的C-C細(xì)分生成的曲面在局部會出現(xiàn)振蕩，而本文方法生成的曲面曲率圖如圖14(c1)所示，其中不同顏色之間過渡自然，未出現(xiàn)突變。且由生成的曲面可以看出，文本算法生成的曲面更加逼近控制網(wǎng)格。

圖7 取不同全局形狀因子h值時生成的曲面

圖8 當(dāng)N=5時的控制網(wǎng)格及曲面((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標(biāo)記；(c)高斯曲率圖)

圖9 當(dāng)N=6時的控制網(wǎng)格及曲面((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標(biāo)記；(c)高斯曲率圖)

圖10 當(dāng)N=7時的控制網(wǎng)格及曲面((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標(biāo)記；(c)高斯曲率圖)

圖11 當(dāng)N=8時的控制網(wǎng)格及曲面((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標(biāo)記；(c)高斯曲率圖)

圖12 當(dāng)N=10時的控制網(wǎng)格及曲面模型1 ((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標(biāo)記；(c)高斯曲率圖)

圖13 當(dāng)N=10時的控制網(wǎng)格及曲面模型2 ((a)曲面及控制點；(b)斑馬紋標(biāo)記；(c)高斯曲率圖)

圖14 相同控制網(wǎng)格生成的曲面對比((a)曲面及控制點；(b)高斯曲率圖；(c)局部放大高斯曲率圖)

5 結(jié)束語

[1] FARIN G E. Curves and surfaces for CAGD[M]. 5th ed. San Francisco: Margan Kaufmann, 2002: 1-499.

[2] ZHENG J J, BALL A A. Control point surfaces over non-four-sided areas[J]. Computer Aided Geometric Design, 1997, 14(9): 807-821.

[3] PIEGL L A, TILLER W. Filling N-sided regions with NURBS patches[J]. The Visual Computer, 1999, 15(2): 77-89.

[4] COTRINA J, PLA N, VIGO M. H-Sided patches with B-spline boundaries[R]. Politècnica de Catalunya: Universitat Politècnica de Catalunya, 2001.

[5] 劉浩, 廖文和. 用C-C細(xì)分法和流形方法構(gòu)造G2連續(xù)的自由型曲面[J]. 計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2005, 17(4): 644-650.

LIU H, LIAO W H. Modeling G2continuous free-form surfaces by C-C subdivision method and manifold method[J]. Journal of Computer Aided Design & Computer Graphics, 2005, 17(4): 644-650 (in Chinese).

[6] HAN X, MA Y C, HUANG X L. A novel generalization of Bézier curve and surface[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, 217(1): 180-193.

[7] LOOP C, SCHAEFER S. Approximating Catmull-Clark subdivision surfaces with bicubic patches[J]. ACM Transactions on Graphics, 2008, 27(1): 1-11.

[8] LOOP C, SCHAEFER S. G2Tensor product splines over extraordinary vertices[J]. Computer Graphics Forum, 2008, 27(5): 1373-1382.

[9] YAN L L. Modifiable composite curves and surfaces with automatic smoothness[J]. Journal of Information and Computational Science, 2014, 11(17): 6359-6367.

[10] VáRADY T, SALVI P, KARIKó G. A multi-sided bézier patch with a simple control structure[J]. Computer Graphics Forum, 2016, 35(2): 307-317.

[11] 唐月紅, 李森, 劉浩, 等. 細(xì)分曲面奇異點處的光滑過渡[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展, 2017, 6(9): 1163-1173.

TANG Y H, LI S, LIU H, GU Y P. Smooth Connection near Singular Points on Subdivision Surfaces[J]. Advances in Applied Mathematics, 2017, 6(9): 1163-1173 (in Chinese).

[12] VáRADY T, SALVI P, KOVáCS I. Enhancement of a multi-sided Bézier surface representation[J]. Computer Aided Geometric Design, 2017, 55: 69-83.

[13] KOVáCS I, VáRADY T. P-curves and surfaces: parametric design with global fullness control[J]. Computer-Aided Design, 2017, 90: 113-122.

[14] FLOATER M S, KóS G, REIMERS M. Mean value coordinates in 3D[J]. Computer Aided Geometric Design, 2005, 22(7): 623-631.

[15] THIERY J M, MEMARI P, BOUBEKEUR T. Mean value coordinates for quad cages in 3D[J]. ACM Transactions on Graphics, 2019, 37(6): 1-14.

[16] LIPMAN Y, LEVIN D, COHEN-OR D. Green coordinates[J]. ACM Transactions on Graphics, 2008, 27(3): 1-10.

Construction of K-2 ring mesh surface based on quad mean value coordinates

TENG Yi-jian, LI Ya-juan, DENG Chong-yang

(School of Science, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou Zhejiang 310018, China)

surface modeling; K-2 ring mesh; quad mean value coordinates; shape control; continuity

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021050784

A

2095-302X(2021)05-0784-06

2021-02-05；

2021-04-05

5 February，2021；

5 April，2021

國家自然科學(xué)基金項目(61872121，6191101102)

National Natural Science Foundation of China (61872121, 6191101102)

滕一劍(1996-)，男，浙江金華人，碩士研究生。主要研究方向為CAGD和CG。E-mail：t_yj0817@163.com

TENG Yi-jian (1996-), male, master student. His main research interests cover CAGD and CG. E-mail：t_yj0817@163.com

鄧重陽(1976-)，男，湖南隆回人，教授，博士。主要研究方向為CAGD和CG。E-mail：dcy@hdu.edu.cn

DENG Chong-yang (1976-), male, professor, Ph.D. His main research interests cover CAGD and CG. E-mail：dcy@hdu.edu.cn