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    基于三維Copula函數的蝕坑預測模型

    2021-11-08 07:07:00喻宣瑞姚國文蔣一星李喬依
    建筑材料學報 2021年5期
    關鍵詞:鹽霧鋼絞線寬度

    喻宣瑞,姚國文,蔣一星,李喬依

    (重慶交通大學 土木工程學院,重慶 400074)

    在氯鹽環(huán)境下,由于氯離子對拉索中鋼絞線的侵蝕,使得鋼絞線發(fā)生腐蝕,是索承式橋梁破壞的重要原因.考慮荷載和環(huán)境對鋼絞線的耦合作用,研究鋼絞線的腐蝕機制,對于延緩鋼絞線的腐蝕、提高索承式橋梁在惡劣環(huán)境下服役的耐久性,具有重要的理論意義和實際工程價值[1].

    從宏觀層面上看,鋼絞線是由高強鋼絲經過淬火、鉸鏈等工藝制作而成,是纜索結構的重要組成部分.鋼絞線的出現(xiàn)推動了大跨徑橋梁的發(fā)展,同時也暴露出了相應的缺陷.其中一個最為致命的問題就是氯鹽對鋼絞線的腐蝕效應,即氯鹽在潮濕環(huán)境下易與鋼絞線發(fā)生電化學反應[1?2].

    Rebak等[3]、朱勁松等[4]、Faber等[5]將鋼絞線的腐蝕情況主要分為2種:吸氫腐蝕和吸氧腐蝕.在酸性環(huán)境下,易發(fā)生吸氫腐蝕;在堿性或者中性環(huán)境下,更容易發(fā)生吸氧腐蝕.Sun等[6]、Frankel等[7]、Vermaas等[8]發(fā)現(xiàn),蝕坑是影響鋼絞線腐蝕疲勞壽命的重要因素.在高應力作用下,蝕坑處會形成較為明顯的應力集中,使鋼絞線的疲勞壽命急劇下降,且下降幅度與蝕坑尺寸相關.如何精確預測蝕坑的分布規(guī)律,量化鋼絞線的腐蝕壽命就顯得尤為重要.為此,Tian等[9]、謝民滇等[10]從概率角度出發(fā),假設蝕坑長度、寬度和深度之間互不影響,發(fā)現(xiàn)蝕坑深度服從Gumbel極值分布,并利用線性回歸的方法得到了蝕坑深度與應力集中系數的關系.Valor等[11]通過機械學習法建立了馬爾可夫鏈模型,考慮腐蝕時間和應力幅對蝕坑發(fā)展的影響,發(fā)現(xiàn)腐蝕時間和應力幅對蝕坑的腐蝕速率影響顯著,但對蝕坑的分布規(guī)律影響較小,即可以認為不同時段下的蝕坑分布形式基本相同.

    由上述研究可知,無論是物理模型試驗還是具體工程案例,都表明蝕坑對鋼絞線的腐蝕疲勞壽命影響顯著.然而,絕大多數研究僅僅關注蝕坑深度這一單一方向,或分別考慮長度、寬度和深度對鋼絞線力學性能的影響,忽視了三者之間的相互關聯(lián).蝕坑的發(fā)展是一個三維演變過程,即蝕坑深度變化的同時,其長度、寬度也會衍生,三者共同變化,應視為一個有機的整體.僅從某一方面研究其分布規(guī)律,不能客觀反映蝕坑的發(fā)展規(guī)律.鑒于此,本文通過鹽霧腐蝕試驗來模擬鋼絞線的腐蝕情況,得到蝕坑長度、寬度和深度三者的獨立分布形式.并基于三維Copula函數得到其聯(lián)合概率分布函數,建立三維蝕坑預測模型,同時應用Kolmogorov?Smirnov檢驗(K?S檢驗)等方法來驗證該模型的合理性,以期為精確預測鋼絞線的疲勞壽命奠定基礎.

    1 試驗

    通過YC?200型鹽霧腐蝕試驗箱來模擬鋼絞線的腐蝕過程,考慮荷載和環(huán)境二者的耦合作用,鹽霧噴射速率為250 mL/(m2·h).鋼絞線由碳素鋼混合其他金屬材料制作而成,除Fe元素外,主要化學元素含量(質量分數,文中涉及的含量等除特別說明外均為質量分數或質量比)為:0.83%~0.86% C,0.62%~0.84% Mn,0.12%~0.20% Si.鋼絞線由7根高強鋼絲組成,直徑為15.2 mm,抗拉強度為1 860 MPa,二級松弛率,單根鋼絞線鍍鋅層質量不低于110 g/m2.鋼絞線兩端借助千斤頂和反力墻施加交變荷載,應力幅(Δσ)分別為100、200、300 MPa,荷載最大值為744 MPa[12],即0.4fptk(fptk為鋼絞線極限強度標準值).拉伸試驗采用WAW?1000型萬能試驗機,每2 h實現(xiàn)鋼絞線應力上下限轉換,4 h為1個加載周期.

    拉伸試驗完成后采用KYKY?2008B型工業(yè)電子顯微鏡(SEM)觀測鋼絞線的腐蝕形態(tài),得到3種應力幅下的蝕坑尺寸,以便定量分析蝕坑的分布規(guī)律.

    綜合考慮溫度、濕度等因素的影響,參考文獻[13]和ASTIM G85—94《Standard practice for modified salt spray(fog)testing》,鹽霧溶液由NaCl、冰醋酸、CuCl2·2H2O及蒸餾水組成,其中CuCl2·2H2O濃度為(0.26±0.02)g/L,最終濃度控制在(50±5)g/L;加入冰醋酸是為了保證鹽霧溶液的pH值在3.1~3.3之間;溫度設定為25℃.鹽霧腐蝕試驗完成后,在80℃下用鉻酸溶液清洗鋼絞線.為防止殘留氯離子對鋼絞線的腐蝕,可采用AgNO3溶液進行中和,再用自來水沖洗,冷風吹干靜置.

    2 結果與分析

    腐蝕時間和應力幅是影響鋼絞線力學性能的重要因素.為探究腐蝕時間對鋼絞線力學性能的影響,以應力幅Δσ=200 MPa為例,分別在鹽霧腐蝕試驗進行120、360、600、720 h時,測量鋼絞線的抗拉強度(fT)和延伸率(A).將鋼絞線進行切割,每段長約1 m.考慮到擴張力會對夾持在鋼絞線上的引伸計造成損壞,本試驗不采用夾持引伸計進行測量,而是用油缸位移代替引伸計伸長量.在預加載階段,采用2 mm/min的速率,達到目標荷載2 kN后,采用1 kN/s的加載速率進行定向拉伸,直至破斷.6根鋼絞線部分時段的靜態(tài)拉伸曲線如圖1所示.由圖1可見,隨著鋼絞線在鹽霧環(huán)境中暴露時間的延長,其抗拉強度出現(xiàn)了明顯下降.

    圖1 鋼絞線的應力-應變曲線Fig.1 Stress?strain curves of steel strands

    鋼絞線的腐蝕特征參數如表1所示.由表1可見:(1)當鹽霧腐蝕試驗進行到70 h時,鋼絲由于鍍鋅層的保護,幾乎未被腐蝕.鋼絞線兩端施加荷載約28 kN時,鋼絞線的抗拉強度為1 850~1 890 MPa,延伸率(包括鋼絞線的彈性變形)大于5.5%.(2)當鹽霧腐蝕試驗進行到120 h時,鋼絲鍍鋅層腐蝕,出現(xiàn)大量白銹,同時有極少量紅銹出現(xiàn),腐蝕失重為10~150 g/m2,鋼絞線的基體開始出現(xiàn)腐蝕.當荷載加載至27 kN時,其抗拉強度為1 710~1 860 MPa,延伸率為5.0%~5.5%.(3)當鹽霧腐蝕試驗進行到360 h時,鋼絲出現(xiàn)大量紅銹,去除腐蝕產物后可見少量蝕坑,腐蝕失重為150~300 g/m2.鋼絞線兩端施加荷載為25 kN時,其抗拉強度和延伸率開始出現(xiàn)明顯下降.(4)當鹽霧腐蝕試驗進行到600 h時,鋼絲出現(xiàn)較多銹蝕或損壞,部分截面出現(xiàn)削弱,去除腐蝕產物后可見密集蝕坑,腐蝕失重為300~400 g/m2.鋼絞線兩端施加荷載為21 kN時,其抗拉強度為1 350~1 550 MPa,延 伸 率 為3.2%~4.2%.(5)當鹽霧腐蝕試驗進行到720 h時,鋼絲出現(xiàn)大量嚴重銹蝕,鋼絞線兩端施加荷載為19 kN時,肉眼可見銹蝕空洞,小蝕坑之間相互貫穿形成較大蝕坑.去除腐蝕產物后可見大面積蝕坑,截面嚴重削弱,刮取少量腐蝕產物溶解于鹽酸溶液中,再滴入KSCN溶液,發(fā)現(xiàn)溶液呈現(xiàn)血紅色(Fe(SCN)3),說明該腐蝕產物含有大量Fe3+.

    表1 鋼絞線腐蝕特征參數Table 1 Corrosion parameters of steel strand

    為直觀反映應力幅對鋼絞線腐蝕程度的影響,在鹽霧腐蝕試驗進行到720 h時將試件取出,通過SEM來觀察鋼絞線的腐蝕形態(tài),結果如圖2所示.由圖2可見:應力幅為100 MPa時,鋼絞線表面較為平整,蝕坑深度較小,密度較大,個別蝕坑直徑約為40μm,部分鍍鋅層仍在;應力幅為200 MPa時,鋼絞線表面出現(xiàn)大量蝕坑,且蝕坑深度明顯比應力幅為100 MPa時大,個別蝕坑直徑約為55μm,部分蝕坑已聯(lián)合貫通,形成裂紋;應力幅為300 MPa時,鋼絞線表面出現(xiàn)大面積腐蝕,鍍鋅層已經被完全破壞,大量小蝕坑已聯(lián)合貫通形成較大蝕坑,個別蝕坑的直徑約為75μm,蝕坑位置處產生明顯裂紋,部分裂紋已經開始衍生,鋼絞線壽命將受到嚴重影響.

    圖2 鋼絞線的腐蝕形態(tài)Fig.2 Corrosion patterns of steel strand

    3 蝕坑的分布規(guī)律

    通過Valor等[11]的研究發(fā)現(xiàn),應力幅和腐蝕時間對蝕坑的分布形式不會產生顯著的影響,即在不同應力幅和不同時段下,蝕坑分布規(guī)律具有統(tǒng)一性.為便于測量蝕坑的尺寸,待鹽霧腐蝕試驗結束后(即鹽霧腐蝕試驗進行720 h),對所有試件表面的蝕坑尺寸進行統(tǒng)計.蝕坑的寬度、長度可采用SEM進行標記,如圖3所示.蝕坑深度可采用Bruker臺階儀進行測量,具體可參照文獻[14].分別采用不同的分布形式對蝕坑的長度、寬度、深度進行分析,并利用K?S檢驗,得到各種分布的誤差值(D),殘差值(RMSE)和赤城信號值(CAI),將各分布模型檢驗結果匯于表2.

    圖3 蝕坑的散點分布Fig.3 Distribution of scattered points of erosion pit

    由表2可見,蝕坑長度和深度的分布形式更符合Gumbel極值分布,寬度的分布形式更符合對數正態(tài)分布.圖4為概率模型的參數分布.

    圖4 概率模型的參數分布Fig.4 Parameter distribution of probability model

    表2 檢驗參數表Table 2 Inspection parameters

    Copula函數是不限定變量的邊際分布函數,通過Copula函數可以將任意K個獨立分布的邊際函數聯(lián)系起來,得到一個多變量聯(lián)合概率分布模型,能夠更為客觀地反映蝕坑分布規(guī)律.

    4 三維Copula函數理論

    迄今為止,Copula函數種類繁多,其主要類型大致分為3種:橢圓型、阿基米德族和二次型.其中,阿基米德族Copula函數結構簡單,計算簡便,可以構造出形式多樣、適應性強的多變量聯(lián)合分布函數,在實際中應用較多.阿基米德族Copula函數族是通過算子?(又稱生成函數,一個完全單調的函數)構造而成[15],n維阿基米德族Copula函數定義如下:

    本文以三維隨機變量為例,當n=3時,其表達式為:

    式中:C(u1,u2,u3)為多維Copula函數,表示隨機變量X1,X2,X3…Xn之 間 的 關 系ui=F(Xi);i=(1,2,3,…,n),表示單個隨機變量概率分布函數;?是一個連續(xù)、嚴格的遞減凸函數,滿足?(0)=+∞,?(1)=0;?-1(1)為?的逆函數,仍為一個單調遞減,且 連 續(xù) 的 反 函 數,滿 足?-1(∞)=0,?-1(0)=1.Copula函數的具體證明過程可參考文獻[16].

    4.1 Copula函數

    從式(1)、(3)中不難看出,通過求解算子式,進而可知Copula函數相應表達形式,不同算子式對應不同Copula函數.下面介紹幾種常見的Copula函數:

    稱為Frank Copula:

    (2)算子式?θ(t)=(-lnt)θ的Copula函數稱為 Gumbel?Hougard Copula:

    (3)算子式?θ(t)=t-θ-1的Copula函數稱為 Clayton Copula:

    4.2 參數估計

    采用參數估計法中的IFM法(極大似然法)對θ值進行求解[15],該過程由以下2步完成:

    (1)采用IFM法估計邊際分布中的參數a1、a2、a3.

    (2)采用IFM方法估計Copula中的參數θ.

    4.3 Copula函數運用流程

    (1)確定各參數適合的分布形式,通過K?S檢驗、均方根誤差等方式找到各參數的獨立分布形式.

    (2)判斷各參數之間的相關性,通過IFM方法確定適宜的Copula函數,明確Copula函數具體形式.

    (3)通過擬合優(yōu)度檢驗,從眾多Copula函數模型中確定出最為合理的Copula函數.

    5 檢驗分析

    各種Copula函數模型的線性相關性檢驗結果如表3所示.其中R為Pearson古典相關系數,S為Spearman相關系數,τ為Kendall’s秩相關系數.由表3可見,長度與寬度的相關性較高,而長度與深度、寬度與深度的相關性較低.根據阿基米德族Copula函數的結構特征,Clayton、Franck和Gumbel函數對線性相關檢驗結果更為適合.對這3種函數做優(yōu)度檢驗,得到其RMSE、CAI、D和θ值,如表4所示.由表4可見,Clayton Copula函數的RMSE、D和CAI值最小,對樣本的擬合效果最佳.

    表3 線性相關系數Table 3 Linear correlation coefficient

    表4 優(yōu)度檢驗參數Table 4 Goodness test parameters

    將Clayton Copula函數計算結果與經驗公式(式(10))計算結果作對比,結果如圖5所示,圖中的散點值為Clayton Copula函數計算結果.由圖5可見,各散點值都均勻分布在y=x這條斜線的兩側,在一定程度上說明了Clayton Copula函數計算結果的精確性.

    圖5 Clayton Copula函數計算值與經驗公式計算值對比Fig.5 Comparison between the calculated value of Clayton Copula function and the calculated value of empirical formula

    式中:X為蝕坑長度,mm;Y為蝕坑寬度,mm;Z為蝕坑深度,mm.

    為直觀反映蝕坑的三維預測結果,用xi,yi,zi這3個變量來描述蝕坑的長度、寬度、深度,得到當[P(xi,yi,zi)=P(X≤xi)=75%P(xi,yi,zi)=P(Y≤yi)=75%]時的各聯(lián)合概率分布,如圖6所示.從圖6中可以較為直觀地看出蝕坑長度、寬度和深度的分布規(guī)律,能夠較為精確地預測不同蝕坑尺寸發(fā)生的概率,為預測鋼絞線的腐蝕疲勞壽命提供參考.

    圖6 條件聯(lián)合概率分布值Fig.6 Conditional joint probability distribution

    6 結論

    (1)蝕坑長度和深度的分布形式符合Gumbel極值分布,寬度的分布形式符合對數正態(tài)分布.

    (2)Clayton Copula函數對實測數據的擬合效果最佳,其精度較經驗公式更高.

    (3)蝕坑三維預測模型的建立,可以更為客觀地反映蝕坑長度、寬度和深度的變化規(guī)律,大致預測不同蝕坑尺寸發(fā)生的概率,為進一步探究鋼絞線的腐蝕疲勞壽命提供參考.

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