嚙合式磁阻電機(jī)非線性解析模型的建立

呂新明，王黎，楊升日

( 浙江華豐電動(dòng)工具有限公司，浙江 金華 321000 )

0 引言

提出一種新的電機(jī)結(jié)構(gòu)形式，特點(diǎn)是電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子由一對(duì)互相嚙合的內(nèi)外齒輪構(gòu)成。運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，定子和轉(zhuǎn)子始終嚙合在一起，這有別于其他類型電機(jī)。當(dāng)定子上的各相磁極按順序依次通斷，產(chǎn)生的電磁吸力驅(qū)使轉(zhuǎn)子與定子嚙合并旋轉(zhuǎn)，將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。這種電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)包含繞轉(zhuǎn)子中心自轉(zhuǎn)和繞定子中心公轉(zhuǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。根據(jù)機(jī)械原理，其自轉(zhuǎn)相當(dāng)于經(jīng)過(guò)一級(jí)減速，可提供低速大扭矩動(dòng)力。電機(jī)的詳細(xì)結(jié)構(gòu)見(jiàn)于文獻(xiàn)[1]。這種電機(jī)由磁阻效應(yīng)產(chǎn)生扭矩，又區(qū)別于普通的磁阻電機(jī)，因此命名為嚙合式磁阻電機(jī)（Gearing Reluctance Motor）。其結(jié)構(gòu)原理如圖1所示。

圖1 嚙合式磁阻電機(jī)結(jié)構(gòu)原理

設(shè)內(nèi)外齒輪齒數(shù)分別為Z2和Z1，則減速比為Z1/(Z2-Z1)。一般Z2-Z1=1~2，減速比隨Z1的取值一般在20~30左右或者更高。這種電機(jī)是磁阻電機(jī)與行星減速器的有機(jī)融合，利用較小的體積輸出較大的扭矩，在電動(dòng)工具領(lǐng)域具有應(yīng)用潛力。

為便于電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化，以及控制模式的仿真，建立電機(jī)模型是當(dāng)務(wù)之急。本文進(jìn)行了如下研究： 建立電機(jī)參數(shù)化氣隙磁導(dǎo)模型、電機(jī)磁通非線性解析模型，通過(guò)對(duì)樣機(jī)的測(cè)試，驗(yàn)證了正確性。

1 氣隙磁導(dǎo)計(jì)算

磁阻電機(jī)的主要原理是磁力線始終走磁阻最小的路徑，氣隙磁導(dǎo)隨著電機(jī)轉(zhuǎn)子位置而變化是產(chǎn)生扭矩的主要原因。研究氣隙磁導(dǎo)的變化規(guī)律是這類電機(jī)的研究基礎(chǔ)。

由圖1可見(jiàn)，嚙合式磁阻電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子中心不重合，為偏心安裝結(jié)構(gòu)，造成電機(jī)定轉(zhuǎn)子之間的氣隙在圓周方向上分布不均勻。嚙合處氣隙最小，氣隙磁導(dǎo)最大；與嚙合處相對(duì)的另一端氣隙最大，氣隙磁導(dǎo)最小。為便于建模，將互相嚙合的一對(duì)齒輪簡(jiǎn)化為一對(duì)偏心安裝的內(nèi)外圓，建立坐標(biāo)系如圖2所示。外圈圓作定子，斷開(kāi)適當(dāng)角度作為磁極；內(nèi)圈圓作轉(zhuǎn)子。兩圓的半徑分別采用內(nèi)齒輪齒根圓半徑和外齒輪齒頂圓半徑。以簡(jiǎn)化結(jié)果建模，可從本質(zhì)上模擬出這類電機(jī)的氣隙磁導(dǎo)變化規(guī)律。

圖2 坐標(biāo)系建立

各個(gè)坐標(biāo)值隨著θ的改變而變化，給出如下：

相鄰兩個(gè)定子極弧之間夾角為π/3，因此第i（i>1）個(gè)極弧 與轉(zhuǎn)子之間的氣隙磁導(dǎo)隨θ的變化規(guī)律比G1滯后(i-1) π/3，可直接表示如下：

即可獲得這類電機(jī)的氣隙磁導(dǎo)解析模型。

2 鐵芯磁化曲線的連續(xù)可導(dǎo)擬合方法

電機(jī)鐵芯磁阻隨著勵(lì)磁電流和磁通密度改變而變化，是一個(gè)復(fù)雜的非線性函數(shù)，因此需要對(duì)電機(jī)鐵芯的磁化曲線進(jìn)行擬合。

一般用材料的B-H曲線來(lái)描述材料的這種性質(zhì)。本文所做樣機(jī)的鐵芯材料為10#鋼，查磁化曲線手冊(cè)得到一組B-H離散點(diǎn)。為便于應(yīng)用，以B值乘以磁路截面積，H值乘以磁路長(zhǎng)度，得到φ-F曲線。根據(jù)本文電機(jī)樣機(jī)的實(shí)際尺寸，磁路截面積取為2.1×10-4m2，磁路長(zhǎng)度為0.072m，得到φ-F曲線離散點(diǎn)如圖3所示。

圖3 離散的φ-F 點(diǎn)及擬合方法

磁化曲線進(jìn)行擬合可采用分段擬合法，分為三段，第一段與第三段采用線性擬合即可，中間處采用一條二次曲線進(jìn)行擬合。具體到圖3中前9個(gè)點(diǎn)和后3個(gè)點(diǎn)分別采用兩條直線擬合，為值線l1和l2，直線方程由最小二乘法確定。設(shè)擬合后直線l1的方程為φ=k1F+φb1，直線l2的方程為φ=k2F+φb2，參數(shù)k1、k2和φb1、φb2均由最小二乘法確定，該方法較成熟不再贅述。以下討論圖3中第9至第15點(diǎn)之間二次曲線的獲得。

設(shè)第一條直線的末端點(diǎn)為（φ1，F(xiàn)1），第三條直線的起始點(diǎn)為（φ2，F(xiàn)2）。為保證整條擬合曲線連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)滿足以下約束條件：

1）二次曲線過(guò)（φ1，F(xiàn)1）和（φ2，F(xiàn)2）兩點(diǎn)；

2）二次曲線在兩點(diǎn)處的切線分別為直線l1和l2。

式（21）有兩個(gè)變量：磁勢(shì)F和磁通φ，其余均為已知量。圖3中的點(diǎn)為查表得到的離散點(diǎn)，實(shí)線為式（21）的擬合結(jié)果，兩者符合較好。

3 電機(jī)勵(lì)磁磁通的非線性可解析模型

磁化曲線是全部磁勢(shì)加給鐵芯的結(jié)果。在電機(jī)中，磁勢(shì)加在鐵芯磁導(dǎo)和氣隙磁導(dǎo)串聯(lián)的總磁導(dǎo)上，隨著電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)，磁通密度不斷變化，電機(jī)鐵芯磁化位置點(diǎn)確定是一個(gè)非線性難題。

文獻(xiàn)[3]給出了非線性問(wèn)題的試湊法：在磁路中的磁通取假設(shè)值，求出鐵磁材料的磁導(dǎo)，計(jì)算鐵磁部分磁壓降，以及氣隙部分磁壓降；若兩個(gè)磁壓降相加等于實(shí)際線圈磁勢(shì)，表明計(jì)算正確，否則修正磁通假設(shè)值重新計(jì)算。試湊法費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且無(wú)法用于自動(dòng)計(jì)算和動(dòng)態(tài)仿真，不可取。

本文提出一種可以實(shí)現(xiàn)鐵芯磁化點(diǎn)解析計(jì)算的方法，基本原理如圖4所示。

圖4 電機(jī)鐵芯磁化位置點(diǎn)原理圖

由于勵(lì)磁電流已知，因此磁路中總磁勢(shì)Fz=IN已知，式中N為繞組匝數(shù)，I為勵(lì)磁電流。

過(guò)圖4橫坐標(biāo)上（Fz，0）點(diǎn)作一條直線l，該直線與鐵芯磁化曲線的交點(diǎn)即為磁化位置點(diǎn)。過(guò)交點(diǎn)向下作垂線，將橫軸上的總磁勢(shì)Fz分為兩段，左段為施加于鐵芯上的磁勢(shì)，右段即為施加于氣隙上的磁勢(shì)，故直線l與橫軸夾角γ的正切值即為氣隙磁導(dǎo)，有：

由于氣隙磁導(dǎo)可由式（17）計(jì)算得出，直線l即為已知直線，其方程為：

直線l與磁化曲線的交點(diǎn)即為磁化位置點(diǎn)，式（23）與擬合曲線式（21）聯(lián)立求解，可得鐵芯中的磁通量，結(jié)果如下：

式（24）～式（26）建立了電機(jī)磁通量的非線性解析模型。其中氣隙磁導(dǎo)Gg為轉(zhuǎn)子位置角θ的函數(shù)，磁勢(shì)Fz是勵(lì)磁電流的I函數(shù)，所以該模型可計(jì)算電機(jī)在任何轉(zhuǎn)子位置和任何勵(lì)磁電流下的磁通。以此為基礎(chǔ)，可計(jì)算磁鏈、磁共能；磁共能對(duì)θ求導(dǎo)可獲得扭矩特性，為動(dòng)態(tài)仿真打下了基礎(chǔ)。

4 驗(yàn)證

磁通量不易測(cè)量，可轉(zhuǎn)化成較易測(cè)量的電感值L，將電感隨轉(zhuǎn)子位置和勵(lì)磁電流的變化而變化的L（θ，I）理論曲線與實(shí)測(cè)曲線作對(duì)比，以驗(yàn)證正確性。

根據(jù)式（17）計(jì)算出氣隙磁導(dǎo)Gg，代入式（24）～式（26），計(jì)算磁路總磁通φ，由式（27）計(jì)算電機(jī)勵(lì)磁相的電感：

由27式得出的L（θ，I）理論曲線見(jiàn)圖5。

圖5 L（θ，I）理論曲線與實(shí)測(cè)曲線對(duì)比

在單相導(dǎo)通模式下，試驗(yàn)電流I分別取1 A、3 A ，測(cè)量轉(zhuǎn)子在不同位置時(shí)的電感值，得到的L（θ，I）實(shí)測(cè)曲線見(jiàn)圖5。

圖5中比較平滑曲線為理論曲線，不平滑折線為實(shí)測(cè)曲線?？梢钥闯觯D(zhuǎn)子位置角度θ在[-90°，-40°] 區(qū)間內(nèi)，理論曲線與實(shí)測(cè)曲線吻合較好，該區(qū)間即為電感的主要上升段。

根據(jù)磁阻電機(jī)原理，電感的主升段即電機(jī)產(chǎn)生正扭矩的主要區(qū)域，在這個(gè)區(qū)域該模型與實(shí)測(cè)曲線非常近似，證明具有很好的應(yīng)用價(jià)值。

與文獻(xiàn)[4]算法相比，本文模型全為解析式，不含偏微分方程，無(wú)需繁雜的迭代過(guò)程，可直接計(jì)算結(jié)果，用于電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)和動(dòng)態(tài)仿真具備便捷優(yōu)勢(shì)。

本文所用樣機(jī)參數(shù)為：定子極弧半徑R1=14.15 mm，極弧角β＝π/4，轉(zhuǎn)子半徑R2=13.5 mm，線圈匝數(shù)N=100，鐵芯高度為30mm，鐵芯材料為10#鋼。樣機(jī)照片見(jiàn)圖6。

圖6 嚙合式磁阻電機(jī)樣機(jī)

5 結(jié)語(yǔ)

本文給出了嚙合式磁阻電機(jī)氣隙磁導(dǎo)的計(jì)算方法；給出了這類電機(jī)勵(lì)磁磁通的非線性可解析模型。制作了電機(jī)樣機(jī)，通過(guò)實(shí)測(cè)曲線與理論曲線的對(duì)比，驗(yàn)證了理論模型的正確性。