重聯(lián)想 強操作 深探究

孫丹妍 童衛(wèi)華

摘要：近年來，中考數(shù)學(xué)試卷在矩形問題的考查方面出現(xiàn)了許多創(chuàng)新題，這些創(chuàng)新題具有情景的新穎性、設(shè)問的靈活性等特點。其中，折疊、旋轉(zhuǎn)是矩形問題的主旋律，發(fā)現(xiàn)、探索是考查的著力點。在平時的復(fù)習中，教師應(yīng)將知識點穿成知識鏈，將知識鏈編織知識網(wǎng)，不斷豐富學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：重聯(lián)想;強操作;深探究

一、原題呈現(xiàn)

二、解法探究

本題以矩形折疊為背景，以求線段長度為手段，全面考查初中“圖形與幾何領(lǐng)域”的核心內(nèi)容，涉及矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識。

在求線段長度時，常用的方法是三角形全等、面積法、勾股定理、相似法。這些都是課標要求的基礎(chǔ)知識與基本技能。題中所給的圖形蘊含著許多常見的基本圖形，如“雙平等腰模型”“8字形”“直角三角形子母相似”，解答本題需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等能力，對學(xué)生學(xué)業(yè)水平有較好的檢驗和評價作用。

折疊的本質(zhì)是軸對稱變換，它是圖形四大變換之一，在初中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習內(nèi)容中均有體現(xiàn)，如七年級上冊角平分線的概念，就是由折疊引入的，七年級下冊平行線中的折疊，八年級、九年級也都出現(xiàn)了折疊，2021年的期中考試中三個年級均出現(xiàn)了折疊問題。

圖形折疊的結(jié)果會出現(xiàn)完全重合和部分重合兩種情況，既是分類，又滲透了數(shù)學(xué)的等量關(guān)系和不等量關(guān)系。借助將紙片折疊這一數(shù)學(xué)活動，將數(shù)學(xué)操作進行數(shù)學(xué)抽象，由具體實物抽象成幾何圖形，實現(xiàn)由具體形象思維到抽象邏輯思維的跨越。

以上是我們對折疊的理解，下面我們開始解題。

題中出現(xiàn)了折疊，折痕為角平分線，結(jié)合矩形平行的性質(zhì)，聯(lián)想到雙平等腰模型，等腰三角形也是解決線段相等的一個基本圖形，于是有了解法二。（如圖2所示）

折疊可得為直角，直角讓人聯(lián)想到勾股定理和高，雙高聯(lián)想到面積法，于是有了解法三。（如圖3所示）

無論是全等三角形還是等腰三角形，都是直觀想象的體現(xiàn)。

在解答了第一問后，題中就知道了兩條線段的長度，求BE的長度就轉(zhuǎn)化為知二求一，知二求一常見的方法是勾股定理、相似三角形的比例線段。觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)BE雖然在直角三角形中，但求解BE仍很困難，結(jié)合條件折疊，把BE轉(zhuǎn)化成EF，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。把AE，DF，EF這三條線段集中在一起，這讓我們聯(lián)想到三角形相似，所以得到了求EF的解法。在解題時，設(shè)線段長為x，運用方程求解，綜合考查了學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

三、變式反思

題后的反思是一種重要的學(xué)習方法。在總結(jié)回顧中，我們發(fā)現(xiàn)，BE=EF=? ? ? ? ? 這個答案很奇特，竟然跟黃金比? ? ? ? ? ? 很相像，竟然就是黃金比，這里面還藏著什么秘密呢？讓我們再看一次題目，看我們是否疏忽了什么。題中“點D，E，F(xiàn)三點在同一條直線上”這個條件比較奇怪，究竟是這個現(xiàn)象導(dǎo)致了這個特殊的比值，還是這個特殊的比值確定了三點共線？

我們用幾何畫板進行了探究。

如圖4所示，將一個一般的矩形進行折疊，D，E，F(xiàn)三點不在同一直線上，△ADF和△DFC都不是直角三角形，DF和AE的等量關(guān)系也不存在。當矩形兩邊滿足特殊關(guān)系時，D，E，F(xiàn)三點共線，DF與AE存在等量關(guān)系，特殊的比值也存在，根據(jù)三角形相似，矩形的短邊與對角線的比也是黃金比。這種由一般到特殊的研究方法，符合幾何學(xué)習的一般規(guī)律。

矩形折疊中還有沒有類似的特殊結(jié)構(gòu)導(dǎo)致特殊的結(jié)論？

變式1：如圖5所示，在矩形ABCD中，點E是DC邊上一點，連接BE，將△BCE沿BE對折，點C落在邊AD上點F處，BE與對角線AC交于點M.

針對不同年級段有不同的題型，如

七年級：如圖5所示，∠AFB比∠DFE大10°，求∠AFB的度數(shù)。

八年級上：如圖5，已知AB=6，BC=10，求①DF的長;②求DE的長。

八年級下：如圖6所示，已知AB=6，BC=10，求①證明四邊形FMCE是菱形;②求菱形的面積。

九年級中考：如圖6，在矩形ABCD中，點E是邊DC上一點，連接BE，將△BCE沿BE對折，點C落在邊AD上點F處，BE與對角線AC交于點M，連接FM，若FM//CD，BC=10.求AF的長.

比較條件，發(fā)現(xiàn)八年級下與九年級中考均為求線段長度，但八年級是知二求一，用勾股定理比較容易解決，九年級是知一求一，此時線段還不相等，解題難度增加，猜想，是否還有隱藏條件未找出？

我們?nèi)匀挥脦缀萎嫲鍋眚炞C是否還含有隱藏的特殊條件。如圖7所示，一般矩形經(jīng)過折疊后，F(xiàn)M與CD并不平行，此時四邊形FMCE是個箏形，只有當矩形兩邊滿足特殊關(guān)系時，F(xiàn)M才和CD平行，四邊形由箏形變成了菱形，矩形的短邊與對角線的比是黃金比。

在平時教學(xué)中，我們還碰到過以下現(xiàn)象，只要我們重新畫一遍圖，有些題目竟然迎刃而解，豁然開朗，這又是為什么呢？原來是通過畫圖，將復(fù)雜圖形簡化成基本圖形，再把基本圖形組合成復(fù)雜圖形，在這個過程中我們捋清了條件之間的邏輯順序，找到了條件之間的隱藏關(guān)系，豐富了解題線索，最終解決了問題。在幾何圖形的教學(xué)中，強調(diào)了識圖、標圖，可能疏忽了畫圖能力的培養(yǎng)。

因此，教師應(yīng)用知識點穿成知識鏈，用知識鏈編織知識網(wǎng)，不斷豐富學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

參考文獻：

[1]卜以樓.取勢 明道 優(yōu)術(shù)：初中函數(shù)圖像的教學(xué)分析及思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（10），

（責任編輯：奚春皓）